Probabilità e Statistica
Prova del 02/02/2017
Esercizio 1
Tizio e Caio giocano con due monete. La moneta di Tizio è onesta, la moneta di Caio, invece, ha
probabilità di testa pari a 1/3. Tizio effettua 2 lanci e Caio effettua 3 lanci. Si indichino con X1 e X2 il
numero di teste ottenute nei lanci a disposizione rispettivamente da Tizio e da Caio.
Alla fine dei lanci, Tizio vince il gioco se ha ottenuto un numero di teste maggiore o uguale a quelle
ottenute da Caio. Caio vince il gioco se ha ottenuto più teste di Tizio.
• Calcolare e rappresentare le pmf di X1 e X2
• Calcolare la correlazione tra X1 e X2
• Calcolare la probabilità di vittoria di Tizio.
Esercizio 2
Si consideri la variabile aleatoria continua X con la seguente cdf:
𝐹
"𝑥 =
%%%%%%%%%%0%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%𝑥 ≤ 6
𝑥)+𝑎𝑥 + 𝑏%%%%6 < 𝑥 ≤ 7
%%%%%%%%%%%%1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%𝑥 > 7%
• Calcolare il valore di 𝑎 e di 𝑏 affinchè 𝐹
"𝑥 sia una valida cdf;
• rappresentare la pdf di X;
• calcolare la media di X;
• calcolare il 30-esimo percentile di X;
• calcolare la moda di X.
Esercizio 3
Si considerino due variabili aleatorie statisticamente indipendenti X e Y. La variabile X è
uniformemente distribuita nell’intervallo [0,3], mentre Y è uniformemente distribuita nell’intervallo
[0,1].
• Calcolare e rappresentare la pdf di X
• Calcolare e rappresentare la cdf di Y
• Calcolare la pdf congiunta di X e Y
• Calcolare la covarianza di X e Y
• Calcolare la pdf della variabile aleatoria W=-log(Y)
