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Dipartimento di Economia Marco Biagi
Corso di Laurea in Economia e Finanza
Matematica e Matematica Finanziaria
Prima prova parziale
Compito C
Esercizi
E1 (^) Sia f : D → R la funzione definita dalla legge f (x) = x^3 (4 − 3 ln x).
a (^) Si determini il suo dominio naturale D. b Si stabilisca se f ammette asintoti orizzontali e/o verticali, giustificando la risposta. c (^) Si studino gli intervalli in cui f e crescente/decrescente precisando, se esistono, le coordinate (x, y) dei punti di massimo e minimo relativo. d Si studino gli intervalli in cui fe concava/convessa e si determinino le coordinate (x, y) degli eventuali punti di flesso, precisando se si tratta di flessi orizzontali oppure obliqui. e (^) Si disegni il grafico di f.
E2 (^) Si consideri la funzione f : D → R definita dalla legge f (x) = x
x^2 + 1 + xe^3 x^ + 1. a (^) Si determini il suo dominio naturale D. b (^) Si determini l’equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa x = 0. c (^) Si dimostri che l’equazione x
x^2 + 1+xe^3 x^ +1 = 0 ammette almeno una soluzione reale, mostrando il procedimento seguito. Si dia inoltre un’approssimazione del valore di tale soluzione. d (^) Si trovi una primitiva di f.
E3 In figura `e riportato il grafico della funzione f (x) =
√ x x + 2
Si calcoli l’area della regione tratteggiata.
E4 (^) Devi recintare una superficie di forma rettangolare situata su un’area libera, senza vincoli sulle dimensioni. Su uno dei lati la recinzione costa 120 e/m, mentre sui restanti tre lati il costo e di 80 e/m. Quale l’area rettangolare massima che riesci a recintare, supponendo di avere a disposizione 16. 000 e per il costo di tutta la recinzione?
Teoria
T1 (^) Si spieghi cosa significa che una successione numerica diverge a −∞, fornendo anche una definizione rigorosa.
T2 (^) La funzione f (x) = −x + 4 ammette punti di massimo e/o minimo assoluto nell’intervallo [0, 1]? E nell’intervallo (0, 1]? Si giustifichino le risposte.
T3 (^) Si disegni il grafico delle seguenti funzioni (qualora non sia possibile lo si indichi nella risposta):
a (^) una funzione f non continua in un punto x 0 del suo dominio; b una funzione g derivabile, ma non continua, in un punto x 0 del suo dominio; c (^) una funzione h continua, ma non derivabile, in un punto x 0 del suo dominio.
T4 (^) Si dimostri che la derivata di f (x) = x^3 `e f ′(x) = 3x^2 senza usare le regole di derivazione.
T5 (^) Si disegni il grafico di una funzione f , derivabile due volte su R, tale che f (x) > 0, f ′(x) > 0 e f ′′(x) > 0 per ogni x ∈ R. Si spieghi la soluzione proposta.
T6 a^ Si disegni il grafico della funzione f (x) = sin x nell’intervallo [− 2 π, 2 π], indicando sul grafico le coordinate dei punti di massimo/minimo relativo e dei punti di intersezione con gli assi. b Si discuta l’invertibilit`a di f (x) = sin x e si definisca la funzione f (x) = arcsin x. c (^) Esistono punti del grafico di f (x) = sin x in cui la retta tangente ha coefficiente angolare 3? Si giustifichi la risposta.
T7 a^ Si definisca cosa si intende per funzione invertibile nel suo dominio.
b Si disegni il grafico di una funzione f invertibile e di una funzione g non invertibile. A partire dal grafico di f , come si puo ottenere, per via geometrica, il grafico di f −^1? c (^) Sia f : (a, b) → R. Se fe invertibile, allora e monotona? Se fe monotona, allora `e invertibile? Si risponda alle precedenti domande, fornendo esempi e/o controesempi.
Soluzioni
E1 a^ D = (0, +∞).
b Poich´e D = (0, +∞), per verificare l’esistenza di eventuali asintoti `e necessario calcolare i limiti per x → +∞ e per x → 0 +. Poich´e lim x→+∞
x^3 (4 − 3 ln x) = −∞,
non esistono asintoti orizzontali. Inoltre, ponendo t = (^1) x e successivamente usando la gerarchia degli infiniti, si ha che lim x→ 0 +^
x^3 (4 − 3 ln x) = lim t→+∞
t^3
[
4 − 3 ln
t
)]
= lim t→+∞
4 + 3 ln t t^3
= lim t→+∞
ln t( (^) ln^4 t + 3) t^3
Pertanto, non esistono asintoti verticali. c (^) La derivata prima e f ′(x) = 9x^2 (1−ln x). Studiandone il segno, si deduce che fe crescente in (0, e] e decrescente in [e, +∞). Pertanto, esiste un punto di massimo relativo di coordinate (e, e^3 ) ≈ (2. 72 , 20 .09). Non esistono minimi relativi. d (^) La derivata seconda e f ′′(x) = 9x(1 − 2 ln x). Studiandone il segno, si deduce che fe convessa in (0, e 12 ] e concava in [e
(^12) , +∞). Pertanto, esiste un punto di flesso di coordinate (e
(^12) , 52 e
(^32) ) ≈ (1. 65 , 11 .20). Poich´e f ′(e
(^12) ) = 92 e 6 = 0, tale flesso e obliquo. e (^) Il grafico di fe riportato in figura.
E2 a (^) D = R.
b (^) La derivata prima `e f ′(x) =
x^2 + 1+ x
2 √ x^2 +1 +e
3 x (^) +3xe 3 x. La retta tangente richiesta passa per P (0, f (0)) = (0, 1)
e ha coefficiente angolare m = f ′(0) = 2; pertanto, la sua equazione e y = 2x + 1. c (^) L’equazione ammette almeno una soluzione reale se e solo se il grafico di f interseca l’asse x in almeno un punto. Poich´e fe continua, f (0) = 1 > 0 e f (−1) = −
2 − e−^3 + 1 < 0, per il teorema degli zeri f interseca l’asse x in almeno un punto c ∈ (− 1 , 0). Pertanto, l’equazione ammette almeno una soluzione reale compresa fra −1 e 0. d Tenendo presente che, integrando per parti, ∫ xe^3 x^ dx =
xe^3 x^ −
e^3 x^ dx =
xe^3 x^ −
3 e^3 x^ dx =
xe^3 x^ −
e^3 x^ + c,
l’insieme di tutte le primitive di f `e dato da ∫ (x
x^2 + 1 + xe^3 x^ + 1) dx =
2 x
x^2 + 1 dx +
xe^3 x^ dx +
1 dx =
(x^2 + 1)^3 +
xe^3 x^ −
e^3 x^ + x + c.
Per trovare una primitiva basta quindi fissare c. Ponendo, per esempio, c = 0, si ha
F (x) =
(x^2 + 1)^3 +
xe^3 x^ −
e^3 x^ + x.
E3 (^) L’area della regione tratteggiata e positiva ede quindi data da
0
x √ x + 2
dx. Per calcolare l’integrale si procede per
sostituzione, ponendo
x = t, e successivamente eseguendo la divisione fra polinomi: ∫ (^4)
0
x √ x + 2
dx =
0
t t + 2
2 t dt =
0
2 t^2 t + 2
dt =
0
2 t − 4 +
t + 2
dt = [t^2 − 4 t + 8 ln |t + 2|]^20 = 8 ln 2 − 4 ≈ 1. 545.
E4 (^) Chiamiamo, per esempio, x la lunghezza della base e y la lunghezza dell’altezza del rettangolo. Poich´e il costo totale della recinzione e pari a 16.000 e, si ha che 120x + 80x + 80y + 80y = 16.000, da cui y = 16.^000160 −^200 x. Pertanto, l’area del rettangoloe A(x) = x
( (^16). 000 − 200 x 160
. Si osservi che il dominio di A(x) `e (0, 80): infatti, la lunghezza della base deve essere positiva (per ragioni geometriche) e inferiore a 80 m (altrimenti il solo costo delle due basi sarebbe maggiore o uguale a 16.000 e). Studiando il segno di A′(x) = 16.^000160 −^400 x, si trova che A(x) ha un punto di massimo assoluto in x = 40. Pertanto, il rettangolo richiesto ha base 40 m e altezza 50 m.
