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prova di esame di matematica generale
Tipologia: Prove d'esame
1 / 9
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Prima prova intermedia: simulazione 2
Ogni risposta deve essere adeguatamente motivata. Soluzioni non motivate non verranno prese in
considerazione.
1 [20 punti] Si consideri la funzione f (x) =
ln x
(a) Il dominio naturale della funzione `e:
(b) La funzione `e positiva sull’intervallo:
(c) Si calcolino (se possibile) i seguenti limiti:
lim
x→ 1
−
f (x) =
lim
x→ 0
f (x) =
lim
x→−∞
f (x) =
lim
x→+∞
f (x) =
(d) La derivata prima `e:
f
′ (x) =
quindi la funzione `e:
strettamente crescente sull’insieme:
strettamente decrescente sull’insieme:
e ammette i seguenti estremi locali:
(e) La retta tangente al grafico della funzione nel punto x 0 = e ha equazione:
(f) La derivata seconda `e:
f
′′ (x) =
quindi la funzione `e:
strettamente convessa sull’insieme:
strettamente concava sull’insieme:
e ammette i seguenti punti di flesso:
(g) Se g(y) =
1
y
− y si ha
g(f (x)) =
1 [20 punti] Si consideri la funzione f (x) =
ln x
(a) Il dominio naturale della funzione `e:
(b) La funzione `e positiva sull’intervallo: (1, +∞).
(c) Si calcolino (se possibile) i seguenti limiti:
lim
x→ 1 −
f (x) = −∞.
lim
x→ 0
f (x) = 0.
lim
x→−∞
f (x) = non si pu`o calcolare.
lim
x→+∞
f (x) = 0.
(d) La derivata prima `e:
f
′ (x) = −
1
x (ln x) 2
quindi la a funzione `e:
strettamente crescente sull’insieme: ∅
strettamente decrescente sull’insieme: D
e ammette i seguenti estremi locali: non ammette estremi locali
(e) La retta tangente al grafico della funzione nel punto x 0 = e ha equazione:
y = −
x
e
(f) La derivata seconda `e:
f
′′ (x) =
ln x + 2
x
2 (ln x)
3
quindi la funzione `e:
strettamente convessa sull’insieme: (0, e
− 2 ) ∪ (1, +∞)
strettamente concava sull’insieme: (e
− 2 , 1)
e ammette i seguenti punti di flesso: (e
− 2 , − 1 /2)
(g) Se g(y) =
1
y
− y si ha
g(f (x)) = ln x −
ln x
1 Studio della funzione f (x) =
1
ln x
Il dominio del logaritmo e (0, +∞). La funzionee inoltre definita solo se ln x 6 = 0, ossia x 6 = 1
quindi il dominio naturale `e D = (0, 1) ∪ (1, +∞).
Il dominio non `e simmetrico quindi non ci sono simmetrie.
x = 0 6 ∈ D quindi non ci sono intersezioni con l’asse delle ordinate (x = 0).
f (x) 6 = 0 per ogni x ∈ D quindi niente intersezioni con asse delle ascisse (y = 0).
f (x) > 0 ⇐⇒ ln x > 0 ⇐⇒ x > 1.
lim
x→ 0
1
ln x
1
−∞
lim
x→ 1
−
1
ln x
1
0
Analogamente lim
x→ 1
1
ln x
1
0
= +∞ quindi x = 1 `e un asintoto verticale.
lim
x→+∞
1
ln x
1
+∞
= 0 quindi y = 0 `e un asintoto orizzontale per x → +∞.
lim
x→−∞
1
ln x
non e definito perche la funzione non `e definita per x < 0
d
dx
ln x
(ln x)
2
x
x(ln x)
2
< 0 per ogni x ∈ D
Ne segue che la funzione `e strettamente decrescente sull’intero dominio e non ammette punti
di estremo locale o globale.
Poich´e f (e) = 1 e f
′ (e) = −
1
e
, la retta tangente al grafico della funzione nel punto X 0 = e
ha coefficiente angolare m = −
1
e
e passa per il punto (e, 1). La sua equazione `e dunque:
y = −
x
e
a/convessitad
2
dx
2
ln x
d
dx
x(ln x)
2
x
2 (ln x)
4
d
dx
(x(ln x)
2 )
x
2 (ln x)
4
(ln x)
2
2 x ln x
x
ln x + 2
x
2 (ln x)
3
Poich´e ln x + 2 > 0 per x ≥ e
− 2 = 0.135 e x
2 (ln x)
3
0 per x > 1 si ha
f
′′ (x) < 0 per e
− 2 < x < 1 quindi f (x) `e strettamente concava in (e
− 2 , 1) ;
f
′′ (x) > 0 per 0 < x < e
− 2 oppure x > 1 quindi f (x) `e strettamente convessa in (0, e
− 2 ) ∪
La funzione ammette un punto di flesso in (e
− 2 , − 1 /2)
Il grafico della funzione `e:
x
y
x = 1 asintoto verticale
Infine, per g(y) =
1
y
− y si ha
g(f (x)) =
1
ln x
ln x
= ln x −
ln x