Istruzioni Tutti gli studenti sono tenuti a rispondere a tutte le domande proposte. La valutazione della prova terr‡ comunque conto della distinzione tra corso da 6 crediti e corso da 9 crediti.

PARTE 1: ALGEBRA LINEARE

DOMANDA 1

Il Metodo di eliminazione Gaussiana di un sistema lineare Ax = b: (i) Cominciate col ricordare quali sono le tre operazioni Gaussiane, e poi spiegate (riferendovi ad un teorema visto in classe) perchÈ queste operazioni sono ìleciteî. (ii) Spiegate poi come funziona il metodo di Gauss. Ovvero, dato il sistema Ax = b cosa dobbiamo fare applicando le operazioni Gaussiane per arrivare a trovare una soluzione del sistema?

DOMANDA 2 Data una matrice A 2 M (n): (i) DeÖnite la matrice inversa di A. Dimostrate che (AB)^1 = B^1 A^1. (ii)Calcolate líinversa della seguente matrice:

A =

DOMANDA 3

Dato un sistema lineare Ax = b, con A 2 M (n) e b 2 Rn: (i) Che condizione deve soddisfare la matrice A (a proposito della sua inversa A^1 ) a¢ nchË esista una soluzione x del sistema? Esprimete la soluzione x come funzione di A^1 (dimostrando tale uguaglianza). Líesistenza della soluzione dipende da b? (ii) Data la matrice A dellíesercizio precedente, trovate la soluzione del sistema per b = [4; 1 ; 5].

PARTE 2: CALCOLO DIFFERENZIALE E OTTIMIZZAZIONE

DOMANDA 1

(i) DeÖnire le nozioni di massimo e minimo per una funzione f : X Rn^! R, quindi enunciare le condizioni del primo e del secondo ordine per la ricerca di tali estremanti. (ii) Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange per la soluzione di un problema di ottimo vincolato con due variabili ed un vincolo.

DOMANDA 2 Trovare gli eventuali massimi e minimi della funzione:

f (x; y; z) = x y^2 z^2 ex+y+z

DOMANDA 3

Risolvere il seguente problema di ottimo vincolato:

f (x; y; z) = x 13 y^3

sub. x^2 + y^2 + z^2 = 2

PARTE 3: CALCOLO FINANZIARIO

(N.B.: nella soluzione delle domande 2 e 3 gli importi in euro devono avere almeno 2 cifre decimali esatte e per le altre variabili che possono assumere valori con decimali, come i tassi díinteresse, i risultati vanno riportati con 4 cifre signiÖcative esatte.)

DOMANDA 1 (i) Illustrare la nozione di Valore Attuale Netto (VAN) di una operazione Önanziaria e il suo utilizzo come criterio di scelta tra operazioni Önanziarie. (ii) Illustrare la nozione di duration e il suo utilizzo come indicatore di volatilit‡ del prezzo di un titolo obbligazionario.

DOMANDA 2 Una Önanziaria concede un prestito di 8000 e contro líimpegno del debitore a versare 2 rate semestrali costanti posticipate di 4200 e ciascuna. Determinare T AE e T AEG dellíoperazione nellíipotesi che vi siano spese di istruzione della pratica, pari a 230 e, da sostenere subito e spese di incasso delle rate, da versare assieme alle rate stesse, pari allí1% di ogni singola rata.

DOMANDA 3 Un macchinario con prezzo di listino 20000 e viene venduto a rate contro il pagamento di un anticipo in contanti pari al 10% del prezzo e di 3 rate semestrali posticipate. Il tasso díinteresse composto e§ettivo contrattuale Ë lí 8 ; 16% annuo. Determinare le rate nellíipotesi che il loro proÖlo sia descritto dal vettore [1 2 3], calcolare il monte interessi e costruire il piano díammortamento dellíoperazione.