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(a/b)(c/d): =(ac)/(bd) 1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...: 1/(1-1/2) Affinché un portafoglio composto da un attivo x e un passivo y sia immunizzato al tempo zero, è necessario che sia: V(0, x) = V(0, y) e D(0, x) = D(0, y) Al crescere del tasso i, indicare come si comporta il tempo di raddoppio di un capitale: Diminuisce Al fine di realizzare un arbitraggio, la funzione valore a pronti deve seguire necessariamente una legge: Inusuale nella letteratura finanziaria Comunque presi tre istanti successivi t,T,s una legge finanziaria scindibile ha la rispettiva funzione valore v: Tale che v(t,T,s)=v(T,s) manca la t minuscola (indipendente da t) Comunque presi tre istanti successivi t,T,s,, la funzione valore a termine v(t,T,s): v(t,TT)= Con riferimento ad un contratto a pronti descritto dalla funzione v(t,s), l’intensità di rendimento a scadenza h è: – log(v(t,s))/(s – t) Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,2), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: indipendente da t; Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse sia: Indipendente dalla variabile t Consideriamo la funzione di utilità che ad ogni importo associa la radice quadrata. In tal caso l'utilità attesa del gioco di San Pietroburgo (con prima vincita possibile pari a 2) è pari a: 2. Consideriamo la funzione z=exp(2x+y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a zero: Per ogni valore di x e y Consideriamo la funzione z=exp(x+y). La relativa matrice hessiana ha componenti: Zero Consideriamo la funzione z=xexp(y). La relativa matrice hessiana ha componenti sulla diagonale principale: Pari rispettivamente a 0 e xexp(y) Consideriamo la funzione z=xy+exp(x-1)+exp(y-1). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a zero se: X=y= Consideriamo la funzione z=xy+exp(y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a: - 1 Consideriamo la serie di termine generale a(1)+a(2)+ +a(n); essa è convergente se: Il limite L della radice n-esima di a(n) è minore di 1 Consideriamo tre titoli a cedola nulla aventi valori pari, rispettivamente, a (90, 8, 35) e scadenze pari, rispettivamente, a (1, 2, 3), a partire da oggi. Inoltre essi garantiscano gli importi pari, rispettivamente, a (100, 10, 50) euro. Confrontando una legge a capitalizzazione composta, la struttura per scadenza prevede i seguenti tassi annui: 11%, 12%, 13% consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all'istante T>0. La sua duration riferita allo stesso istante T è: 0 Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante T. La sua duration, riferita all’istante t, è T-t Consideriamo un portafoglio che prevede una posta S all’istante T. La sua dura offerta all’istante t, è: t–T Consideriamo un'obbligazione acquistata alla pari (ossia tale che il prezzo sia pari al valore di rimborso); in tal caso il tasso interno di rendimento è pari: Al tasso cedolare Consideriamo un'operazione finanziaria che preveda un flusso di n importi costanti ed equidistanti del tempo: la scadenza media aritmetica è pari a: (n + 1)/ Consideriamo un'operazione finanziaria che preveda un solo flusso capitale, pari a C, ad una scadenza t. In tal caso, la duration in t sarà pari a: 0
Consideriamo un’obbligazione acquistata al prezzo P pari al valore del rimborso con n cedole annue pari a I. In tal caso il tasso interno di rendimento è pari a: I/P" Consideriamo un’operazione finanziaria che preveda un solo flusso di capitale, pari a C, ad una scadenza t>0. In tal caso la duration, calcolata all’istante 0, sarà pari a: T" Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi dello stesso grado: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : Al rapporto dei due coefficienti di grado massimo Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi di cui il numeratore è quello di grado maggiore: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : A + infinito oppure - infinito Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi di cui il numeratore è quello di grado minore: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : A zero Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi dello stesso grado: il limite, al tendere di x a + infinito è pari: Al rapporto dei due coefficienti di grado massimo Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi di cui il numeratore è quello di grado maggiore: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : A + infinito oppure – infinito Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi di cui il numeratore è quello di grado minore: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : A zero Consideriamo una successione di termine n-esimo a_n, convergente verso un numero a positivo. Allora esisterà un indice k tale che : Se n>k a_n > 0 D(1/f(x))=: - Df(x)/(f(x)f(x)) D(exp(x))=: Exp(x) D(f(x)+g(x))=: Df(x)+Dg(x) D(f(x)g(x))=: G(x)Df(x)+f(x)Dg(x) D(log(x))=: 1/x Dal punto di vista operativo, in generale, la vita a scadenza è un indice: Rozzo Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V = (1, 2), p= (1/2, 1/2), essa, per il criterio del valore atteso, risulta preferibile a: V = (1, 2), p= (3/4, 1/4) Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V= (1,3) p(0.5, 0.5), essa, per il criterio del valore atteso, risulta preferibile a V=(1,3) p=(3/4, 1/4) Data l'operazione finanziaria con vettore dei flussi pari a (3, 1, 6), e vettore delle scadenze pari a (2, 4, 6), il suo valore all'istante 3 secondo la legge esponenziale, con parametro 0.3, è: 72. Data l'operazione finanziaria con vettore dei flussi pari a (3, 1, 6), e vettore delle scadenze pari a (2, 4, 6), il suo valore all'istante 3 secondo la legge esponenziale, con parametro 0.3, è: 7. Data l'operazione finanziaria X=(2,4,6), t= (1 2 3) e l’operazione Y= (2 4 6), t= (1 2 4), l’operazione somme S è pari a (4 8 6 6) ( 1 2 3 4) Data l’operazione finanziaria X = (2,4,6), t = (1,2,3) e l’operazione Y = (2,4,6), t = (1,2,4), l’operazione somma S è pari a: (4,8,6,6,) (1,2,3,4); Data l’operazione finanziaria X=(2,4,6), t= (1 2 3) e l’operazione Y= (2 4 6), t= (1 2 4), l’operazione somme S è pari a (4 8 6 6) ( 1 2 3
Data la (nota)legge finanziaria C(t) = C(1+It), il tasso di interesse , relativo al capitale maturato nel periodo (0, T) è pari a: I/C
Data un'operazione finanziaria x valutata (all'istante zero) in funzione dell'intensità istantanea, la variazione relativa è anche data da: – D(0, x) Data un'operazione finanziaria, la duration del secondo ordine è pari: Alla media pesata dei quadrati delle durate delle singole operazioni componenti, con pesi proporzionali ai valori attuali delle operazioni componenti Data un'operazione finanziaria, la vita a scadenza è pari alla differenza tra: L'ultima scadenza e l'istante di valutazione Data un'operazione finanziaria, la vita a scadenza, la scadenza media aritmetica e la duration, in generale, coincidono se essa: Prevede una sola scadenza Data un'operazione finanziaria, se l'istante di valutazione è zero, la scadenza media (aritmetica) è pari alla media: Pesata delle scadenze, con pesi proporzionali agli importi relativi alle scadenze Data un’operazione finanziaria x valutata ( all’istante zero) in funzione all’intensità istantanea, la variazione relativa è anche data da: 1/D(0,x) Data una funzione f definita in un sottoinsieme X di R e, detti x e y due punti di X, il rapporto incrementale R(x,y) è pari a: (f(y)- f(x))/(y-x) Data una funzione f definita in un sottoinsieme X di R e, detti x e y due punti di X, la sua derivata (in x) è pari: Al limite di R(x,y) al tendere di x a y Data una funzione f definita su un insieme X e sia z un punto di accumulazione per X. Diremo che il limite per x tendente a z di f(x) è pari ad L se : Per ogni intorno J di L esiste un intorno I di z tale che, per ogni x (tranne al più z) appartenente a I, f(x) apparterrà a J Data una funzione f definita su un insieme X e un punto z di accumulazione per X. Diremo che f è continua in z se : F(z) è pari al limite di f per x tendente a z Data una funzione f differenziabile, se s(x,p)= f(x) - f(p) - grad f(p)(x - p), si ha che il limite di s(x,p)/|x-p|, per x tendente a p, è pari a: 0 Data una funzione f(x) definita in un sottoinsieme X di R, a valori reali non negativi, l'integrale di f è pari: All'area della regione compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di f(x) Data una legge di capitale c(t)=Exp 80,5t) dove in generale exp(x) indica il numero e elevato a x) l’intensità istantanea di interesse dopo 3 anni è pari a 0. Data una legge finanziaria a tre variabili con funzione valore v(t,T,s), l'intensità di rendimento a scadenza è pari a: - log(v(t,T,s))/(s-T) Data una matrice quadrata A (nxn), diremo che il numero b è un autovalore di A se: Esiste un vettore v (nx1) tale che Av=bv Data una rendita perpetua unitaria anticipata al tasso i, in un regime a capitalizzazione composta, il valore attuale è dato da; (1+i)/i; Data una rendita posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta del 2%, il relativo valore attuale è pari a? 89. (8.983?) Data una rendita posticipata perpetua in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 0.045% il valore attuale è pari a: 22.22 oppure 1/0. Data una rendita posticipata perpetua in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 10% il valore attuale è pari a: 1 0 oppure 1/0. Data una rendita unitaria anticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a:
Data una rendita unitaria anticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il montante è pari a:
Data una rendita unitaria anticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso generico i, il valore attuale è pari a: (1+ i)/ i
Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni in un regime a capitale composto al tasso del 2% il montante è pari: 109. Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore è pari a: 8. Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il relativo valore attuale è pari a: 10.9497; Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a: 8.98 26 Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il montante è pari a:
Data una rendita unitaria posticipata di 12 anni in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il relativo valore attuale è pari a: 10. Data una rendita unitaria posticipata di 13 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il relativo valore attuale è pari a: 14.97394; Data una rendita unitaria posticipata perpetua in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 2% il valore attuale è pari a: 50 oppure 1/0. Data una rendita unitaria posticipata perpetua, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a: 45.286 5 Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso generico i, il valore attuale è pari a: 1/ i Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 0.045%, il valore attuale è pari a: 4. Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 4.5%, il valore attuale è pari a: 22. Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 1,6%, il valore attuale è paria a: 62.5; Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 4,7%, il valore attuale è paria a: 212,8; Data una rendita unitaria posticipata perpetua, in un regime a capitalizzazione composta al tasso generico i, il valore attuale è pari a: 1/ i Data una rendita unitaria, posticipata, perpetua in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 3%, il valore attuale è pari a: 33. Date due istanti di valutazione differenti t e t', le duration di una stessa operazione finanziaria x sono legate dalla relazione (ammesso che la legge finanziaria sottostante sia scindibile): D(t', x) = D(t, x) + t – t' Date due operazioni di investimento R, e S, il criterio del tasso interno di rendimento dice che R è preferibile ad S se: R ha un tasso interno di rendimento maggiore Date due operazioni di investimento R, e S, il criterio del tasso interno di rendimento dice che R è preferibile ad S se: R ha un tasso interno di rendimento maggiore Date due successioni a_n e b_n convergenti rispettivamente ad a e b. La successione a_n +b_n convergerà a: A+b Date due successioni a_n e b_n convergenti rispettivamente ad a e b. La successione a_nb_n convergerà a: Ab Dati due eventi disgiunti, A e B, la probabilità dell'evento unione è pari a: P(A) + P(B)
Il debito residuo D(k), all'istante k, in un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: D(k) = D(k−1) − C, dove C indica la quota capitale Il determinante di una matrice quadrata, avente due righe identiche è: 00 Il determinante di una matrice quadrata, avente una riga nulla, è: 0 Il determinante di una matrice quadrata: è una somma di più termini: ogniuno è il prodotto di elementi in modo che ne siano presi uno per ogni riga e per ogni colonna Il determinante di una matrice triangolare è: Pari al prodotto degli elementi diagonali Il dominio della funzione f(x,y)=1/(x+y) è: L'insieme dei punti del piano privati della retta x=-y Il dominio della funzione f(x,y)=log(xy) è: L'insieme dei punti del piano appartenenti al primo e al terzo quadrante, privati delle rette x=0 e y= Il grafico della funzione esponenziale con base strettamente compresa tra 0 ed 1: Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione logaritmo: Presenta un andamento che dipende dalla base (del logaritmo). Il grafico della funzione potenza con esponente a (0 <a <1 ): Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione potenza con esponente dispari: Presenta un andamento strettamente crescente Il grafico della funzione potenza con esponente pari: È simmetrico rispetto all'asse delle ordinate Il grafico della funzione potenza con esponente strettamente negativo: Presenta un andamento strettamente decrescente Il leasing è un contratto che, in cambio del pagamento di un canone periodico: Consente, di avere la disponibilità di un bene e di esercitare, al termine del contratto, un'opzione di acquisto del bene stesso per una cifra pattuita, inferiore al valore di mercato del bene Il limite, al tendere di x a 1, della funzione f(x) = 3x+4 è: 7 Il limite, al tendere di x a zero, della funzione f(x) = (log(1+x))/x è: 1 Il mercato dei capitali è caratterizzato dal fatto che in esso: Vengono trattati titoli di durata superiore ai 12 mesi Il montante m(t,s) (t < s) è uguale: Al prodotto dei montanti a termine relativi ai singoli periodi unitari Il numero di Nepero è pari al limite, per n tendente a più infinito, di: 1+1/n elevato ad n Il numero di Nepero è pari alla somma: 1+1/2!+1/3!+1/4!+... Il prodotto della matrice A per la matrice identica I è pari a: A Il rateo di un'obbligazione è: L'interesse maturato su una cedola in maturazione che non è ancora scaduta Il rendimento di un'obbligazione dipende: Dal tasso di interesse e dal prezzo di acquisto Il rischio di credito: è assente in tutti i mercati finanziari ideali Il risultato del confronto di operazioni mediante il criterio del valore attuale netto: Dipende dal tasso di valutazione scelto Il sistema 4x+2y=4, 2x+y=6: È impossibile Il sistema x+y=4, 2x+y=6: Ha per soluzione x=2, y= Il TAEG ( Tasso Annuo Effettivo Globale): è una misura del costo complessivo del finanziamento. Il TAEG è comprensivo di eventuali oneri accessori, quali spese di istruttoria, e spese assicurative, che sono a carico del cliente
Il tasso interno di rendimento esiste ed è unico: Se il vettore dei pagamenti presenta una sola variazione di segni Il tasso interno di rendimento NON è (indicare l'affermazione sbagliata): Il tasso medio di crescita dei flussi attivi di un'operazione finanziaria Il termine n esimo di una serie è: Pari alla somma dei primi n termini di una data successione Il valore atteso del gioco di San Pietroburgo è: + infinito In base alla legge dei grandi numeri, ogni compagnia assicurativa: Ha interesse a stipulare il maggior numero di polizze possibili, se i rischi degli assicurati sono indipendenti tra loro In caso di funzione di utilità logaritmica, l'utilità attesa del gioco di San Pietroburgo (con prima vincita possibile pari a 2) è pari a: 2log(2) In genere i contratti assicurativi hanno rendimento positivo "solo se accade l’evento assicurato" In genere l’importo relativo all’ultimo pagamento previsto da un’obbligazione con cedola C e valore di rimborso R è R+C In genere l’importo relativo all’ultimo pagamento previsto da un’obbligazione è maggiore di tutti gli importi previsti In genere le assicurazioni sulla vita hanno durata: Gli eventuali errori (accidentali) commessi durante l'attività lavorativa In genere le assicurazioni sulla vita hanno durata: Medio-lunga In genere, il flusso di importi che riceve il possessore di un'obbligazione, pagata una cifra P, con cedola C e valore di rimborso R, è: (-P,C,C,C…,C,C+R) In genere, l’importo, relativo all’ultimo pagamento, previsto da un’obbligazione con cedola C e valore di rimborso R, è: R+C; In genere, la legge esponenziale è usata perché: le corrispondenti grandezze assumono una forma alquanto semplice In genere, un contratto forward, stipulato in un'istante 0: Obbliga il possessore ad acquistare un bene in un istante successivo T > In genere, un'opzione, stipulata in un'istante 0: Dà la facoltà, al possessore, di acquistare (o vendere) un bene in un istante successivo T > In genere, una polizza United Linked è caratterizzata: Dall'essere collegata al valore di un fondo In prima approssimazione, se x è piccolo, Exp(x) (dove in genere l'exp(x) indica il numero e elevato ad x) è pari a 1+x In regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari all'1.2% prendo in prestito un certo capitale. Il tempo necessario affinchè il mio debito venga raddoppiato e': 1/0. In un mercato finanziario ideale, le quantità di titoli da trattare sono: Sempre infinitamente divisibili In un mercato finanziario ideale: Non ci sono costi per le transazioni, né tassazioni In un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, il debito residuo D(k) al generico istante k è dato dalla seguente formula D(k)= S-kC dove S è il capitale prestato e C è la quota capitale In un piano di ammortamento a rate anticipate in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i la quota capita C(k) all’istante k è pari alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all'istante k+1 / all’anno successivo, C(k)=D(k)-D(K+1) In un piano di ammortamento a rimborso unico: Il capitale viene restituito alla scadenza e le rate vengono corrisposte solo a titolo di interesse In un piano di ammortamento composto da n rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta a tasso annuo i; la relativa quota capitale è pari: al rapporto tra la rata iniziale ed n;
Investo un capitale all’istante t=0; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante All’istante t= Investo un capitale all’istante t=20; le leggi della capitalizzazione semplice e composta producono lo stesso montante: all’istante t=21; Investo un capitale unitario nell'anno 2024 supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.4. Nel 2034 mi ritroverò una cifra (in euro) pari a: Circa 55 euro Investo un euro supponendo che sia vaida la legge di capitalizzazione composta al teso del 6.1%, l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: log(1.061) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso de l0,79%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: Log(1.0079) Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso (annuo) del 2%; il tasso semestrale equivalente è: Un po' meno di 0. Investo un euro supponendo che sia valida la legge di capitalizzazione composta al tasso del 2%; l'intensità istantanea di interesse corrispondente è: Log(1.02) l debito residuo D(k), all'istante k, in un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: D(k) = D(k−1) − C, dove C indica la quota capitale l limite, al tendere di x a zero, della funzione f(x) = (log(1+x))/x è: 1 L'area della regione compresa tra l'asse x e la curva y = x, tra l'origine e la retta x=3, è pari a: 4. L'assicurazione RC professionale protegge l'assicurato contro: Gli eventuali errori (accidentali) commessi durante l'attività lavorativa L'equivalente certo è : La vincita certa avente utilità pari all'utilità attesa dalla lotteria L'insieme Q dei numeri razionali è formato da: Tutte le coppie del tipo a/b, con a e b numeri interi (b diverso da zero) L'integrale della funzione f(x)=(x+5)/(x+1)) è pari a: X + 4log|x+1| L'integrale della funzione f(x)=1/((x+1)(x+2)) è pari a: Log|x+1|-log|x+2| L'integrale indefinito della funzione f(x)=1/x è pari a: Log(x) L'integrale indefinito della funzione f(x)=exp(a+x) è pari a: Exp(a+x) L'integrale indefinito della funzione f(x)=exp(ax) è pari a: Exp(ax)/a L'integrale indefinito della funzione f(x)=log(x) è pari a: Xlog(x)-x L'integrale indefinito della funzione f(x)=log(x)/x è pari a: Log(x)log(x)/ L'integrale indefinito della funzione f(x)=xexp(x) è pari a: Xexp(x)-exp(x) L'integrale indefinito di f'(x) g(x) è pari a: F(x)g(x) meno l'integrale di f(x)g'(x) L'interesse rappresenta: Un guadagno per chi ha prestato un certo capitale L'inversa B di una matrice A è una matrice tale che: AB=BA=I, dove I è la matrice identica L'inversa di una matrice A è pari: Alla trasposta della matrice dei cofattori divisa per il determinante di A L'ipotesi della preferenza per la liquidità implica che: i titoli di durata più lunga siano considerati i più rischiosi. L'ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termine afferma che: t ≤ T ≤ s => v(t,T) v(t,T,s) = v(t,s)
L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, – 2, – 2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente equa: Se l'intensità istantanea di interesse è pari a zero L'operazione finanziaria con flusso di importi pari a (2, 2, 2, 2) con scadenze pari a (1, 2, 3, 4) è sicuramente non equa: Per qualunque valore dell'intensità istantanea L'operazione finanziaria x = (‒ 4, ‒ 6, 10), t= (1, 2, 3): Ha sicuramente uno dei suoi tassi interni di rendimento che è nullo L'operazione finanziaria x = (4, 6, 10), t= (1, 2, 3): Ha tassi interni di rendimento immaginari L'operazione finanziaria x=(-13,8,10,7) t= (0 1 2 3) ha sicuramente uno dei suoi tassi di rendimento interno che è nullo L’ipotesi della preferenza per la liquidità implica che: I titoli di durata più lunga siano considerati i più rischiosi; L’ultima quota capitale non nulla, in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti), di durata pari ad n, in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: alla rate; L’ultima quota capitale versata dal debitore, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al rapporto tra la rata e il fattore montante. L'intensità istantanea di interesse, relativa allo legge v(t,s) = 1 − k(s − t), è: K/(1 − k(s − t)) La condizione da imporre sulle derivate parziali seconde di una funzione f, di due variabili x e y, per avere un massimo è: La derivata seconda di f rispetto ad x deve essere negativa e il determinante dell'hessiano positivo La derivata della funzione f(x)=xxx è pari a: 3xx La derivata di una funzione f(x) costante è pari a: 0 La derivata parziale della funzione exp(x)log(y) rispetto ad x è pari a: Log(y)exp(x) La derivata parziale della funzione log(x+y) rispetto ad x è pari a: 1/(x+y) La derivata parziale della funzione xlog(y) rispetto ad y è pari a: X/y La derivata seconda della funzione y=x(x-1)è pari a: 2 La derivata terza della funzione y=3exp(x) è pari a: 3exp(x) La derivata terza della funzione y=exp(x-1) è pari a: Exp(x-1) La duration di secondo ordine è una misura di: Dispersione La duration di un portafoglio, valutato all’istante 0 (quindi le scadenze coincidono con le vite a scadenza) è T (La media pesata di tutte le scadenze (i pesi sono sproporzionali ai valori attuali delle rispettive poste)). La duration di una rendita a rata costante R è indipendente dal valore di R La duration di una rendita, valutata ad un tasso di interesse pari a zero, e' Pari alla scadenza media aritmetica La franchigia è sempre: Minore rispetto al massimale La funzione di risarcimento, in un contratto con franchigia, è: Crescente rispetto al danno La funzione esponenziale con esponente frazionario n/m è pari: Alla radice m-esima della funzione potenza con esponente n La funzione potenza con esponente pari a - 0.5: Assume valori reali solo su numeri positivi La funzione potenza con esponente pari ad 1/2: Assume valori reali solo su numeri positivi La funzione v(t,T,s) deve essere tale che: v(t,T,T) =
La quota capitale C(k), all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: C(k) = D(k) − D(k+1), dove D(k) indica il debito residuo all'istante k La quota capitale C(k), all'istante k, in un piano di ammortamento (a rate posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: C(k) = D(k−1) − D(k), dove D(k) indica il debito residuo all'istante k La quota capitale finale, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al prodotto della rata per il fattore di sconto 1/(1+i) La quota capitale in una determinata scadenza in un piano di ammortamento a rate annue costanti posticipate in un regime a capitalizzazione composta è uguale alla differenza tra il debito in k e il debito relativo all’anno successivo (D(k)-D(k+1) La quota capitale in una determinata scadenza in un piano di ammortamento a rate annue costanti posticipate, in un regime a capitalizzazione composta è uguale AL RAPPORTO TRA LA QUOTA CAPITALE DELL'ANNO PRECEDENTE E IL FATTORE DI SCONTO La quota capitale, al k-esimo anno, in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, all'istante k è pari: Al prodotto del fattore montante (1+i) per la quota capitale dell'anno precedente La quota capitale, al k-esimo anno, in un piano di ammortamento (a rate annue anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, all'istante k è pari: Al prodotto del fattore montante (1+i) per la quota capitale dell'anno precedente La quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: Crescente nel tempo La quota capitale, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: crescente nel tempo La quota capitale, in una determinata scadenza in un piano di ammortamento (a rate annue costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta, è uguale: al prodotto del fattore di sconto per la quota capitale dell’anno precedente; La quota interessi, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti anticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: Decrescente nel tempo La quota interessi, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è: decrescente nel tempo La rata, in un piano di ammortamento (a rate annue eque anticipate costanti) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: Al rapporto tra il debito iniziale e il valore attuale di una rendita unitaria anticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) La rata, in un piano di ammortamento (a rate annue eque costanti posticipate) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è pari: al rapporto tra il debito iniziale e il valore attuale di una rendita unitaria posticipata al tasso annuo i (di durata pari alla durata dell'ammortamento) La scritta ]a, b[ indica l'insieme dei numeri: Strettamente maggiori di a e strettamente minori di b La serie di termine generale 1-1/2+1/3-1/4+1/5... è: Condizionatamente convergente La serie di termine generale 1/exp(1)+2/exp(2)+... +n/exp(n) è: Convergente La struttura per scadenza implicita, comporta che (t < s): I(t,s − 1,s) =v(t,s − 1)/ v(t,s) – 1 La struttura per scadenza implicita, comporta, per la funzione valore, che (t < s): V(t,s − 1,s) = v(t,s) /v(t,s − 1) La successione di termine generale (n+1)/n tende a: 1 La successione di termine generale (n+3)/n tende a: 1 La successione di termine generale 1/n tende a: 0
La teoria della preferenza per la liquidità afferma che: Il mercato richiede un compenso (premio di liquidità) per la detenzione di titoli con scadenza più lunga, giudicati più rischiosi Lanciamo una moneta. Se esce testa (la relativa probabilità è 0.5) intaschiamo 2 euro, se esce croce intaschiamo 0 euro. Il valore atteso della vincita è pari a: 1 Lanciamo una moneta. Se esce testa (la relativa probabilità è 0.5) intaschiamo 2 euro, se esce croce intaschiamo 0 euro. La varianza della vincita è pari a: 1 Le assicurazioni contro i danni in genere hanno durata: Annuale Le obbligazioni: Sono soggette al rischio di credito Lo sconto è anche detto: Interesse anticipato Lo sviluppo in serie di f(x)=exp(2x) arrestato ai primi due termini è: 1+2x Lo sviluppo in serie di f(x)=xexp(x) arrestato ai primi due termini è: X+xx Log(1)=: 0 Nel caso di contratti a termine (tre variabili), l’intensità di rendimento a scadenza h(t,T,s) è (t – log(v(t,T,s))/(s – T) Nel caso di contratti a termine (tre variabili), l’intensità di rendimento a scadenza h(t,T,s) è (t < T < s): – log(v(t,T,s))/(s – T) Nel caso l'operazione finanziaria sia un finanziamento, il tasso interno di rendimento: E’ interpretabile come un tasso di costo Nel software R, il comando per trovare un autovettore di A è: >eigen(A) Nell'assicurazione di annualità, un individuo: Si assicura affinché, in caso di decesso, la compagnia assicurativa si impegni a corrispondere le rimanenti rate di un certo debito Nell’ipotesi di consistenza tra contratti a pronti e a termime, la proprietà si scindibilità può essere espressa anche come: t ≤ T ≤ s => v(t,T,s) = v(T,s) Nella legge di capitalizzazione semplice, indicare che caratteristica ha l'incremento del capitale: Dipende dal capitale iniziale, dal tasso scelto e dal tempo Per applicare il criterio del rapporto ad una serie bisogna assicurarsi che: La successione originaria abbia termini tutti positivi da un certo indice in poi Per calcolare l'area del grafico sotteso da una funzione tra i punti a e b bisogna: Trovare una funzione F la cui derivata è f e poi calcolare la differenza F(b) – F( a) Per evitare arbitraggi non rischiosi, la funzione valore a pronti v(t,s) deve essere: Decrescente rispetto alla scadenza s PRESTO UN CAPITALE PARI A 2500 EURO E ME NE VENGONO RESTITUITI 3000. INDICARE QUAL È IL TASSO DI INTERESSE RELATIVO A QUESTA OPERAZIONE: 0, Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000. Indicare qual è il tasso di interesse relativo a questa operazione: 20% Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000: l'operazione dura 4 anni. Indicare qual è l'intensità di interesse relativa a questa operazione: 5% Presto un capitale pari a 2500 euro e me ne vengono restituiti 3000: indicare qual è il tasso di sconto: 16.67% Presto un capitale pari a 8000€ e mi viene restituita una cifra pari a 10000€. Il fattore di sconto relativo a questa operazione è: 0, (si fa 8000/10000) Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S; il tasso di interesse, relativo a questa operazione è "(S-C)C"
Se l'intensità di rendimento a scadenza su base annua è pari a 1, su base semestrale è pari a: 1⁄ Se l'intensità istantanea di interesse è pari a d(t,s) = a + 2b (s - t), l'intensità di rendimento a scadenza h(0,T,s) è pari a a +b (s + T) Se l'intensità di rendimento a scadenza su base annua è pari a 1, su base semestrale è pari a: 1⁄ Se l'intensità istantanea di interesse è pari a δ(t,s) = a + 2b (s − t), l'intensità di rendimento a scadenza h(0,T,s) è pari a: A +b (s + T) Se la funzione valore a pronti v(t, s) è descritta da una legge esponenziale, essa, al divergere di s, tende a: 0 Se la struttura per scadenza è tale che i(t,s) < i(t,s − 1) (tassi a pronti decrescenti), si ha: I(t,s) > i(t,s − 1, s) Se la struttura per scadenza è tale che i(t,s) > i(t,s − 1) (tassi a pronti crescenti); si ha: I(t,s) < i(t,s − 1, s) Se n tende ad infinito, la serie di termine generale 1+1/2+... +1/n: Diverge Se non avesse la proprietà di indipendenza dell’importo, cioè se fosse V(t,X)>Xv(t,X), potrebbe aver luogo un arbitraggio che garantirebbe un profitto pari a; V(t,X) – Xv(t,X); Se non valesse la decrescenza, rispetto alla scadenza, della funzione valore, ossia se fosse v(T,t)>v(T,s)….. TCN unitario scadente in s ed infine acquisto in s di un TCN unitario scadente in t. Se non valesse la decrescenza, rispetto alla scadenza, della funzione valore, ossia se fosse v(T,t)>v(T,s) (con T<s<t), si potrebbe fare la seguente operazione: vendita (allo scoperto) in T di un TCN unitario scadente in t, acquisto in T di un TCN unitario scadente in s ed infine: acquisto in s di un TCN unitario scadente in t; Se non valesse la proprietà di indipendenza dall'importo, cioè se fosse V(t,X)>Xv(t,X) potrebbe avere luogo un arbitraggio che garantirebbe un profili pari a: V(t,X) - Xv(t,X) Se S è la somma prestata, la rata R(k) , all'istante k, in un piano di ammortamento a rate annue posticipate (a quota capitale costante) in un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: R(k) =C+i(S − (k − 1)C), dove C indica la quota capitale Se si considera la funzione di utilità logaritmica, u(x)=log(x), il valore dell’utilità attesa, relativa al gioco di San Pietroburgo, è pari a: 2log(2); Se t è l’istante di acquisto di un titolo, t+1 è l’istante di rimborso o di rivendita del titolo, v è il valore di rimborso, p il prezzo di acquisto del titolo, il rendimento può essere (v(t+1)-p(t))/p(t) Se un portafoglio composto da un attivo x e un passivo y è immunizzato al tempo zero, si ha: V(0, x) > V(0, y) in caso di variazione positiva o negativa di tasso o intensità di interesse Se un prestito prevede un piano di ammortamento a rimborso unico (in due o più annualità) Il capitale viene restituito alla scadenza e le rate vengono corrisposte solo a titolo di interesse Se un titolo, tra 100 giorni, secondo la capitalizzazione composta, darà un rendimento secondo il tasso i opportunamente piccolo, il tasso giornaliero corrispondente sarà approssimativamente pari a: i/ Se un'operazione finanziaria è equa in un determinato istante, essa è equa anche: In ogni altro istante Se un'operazione finanziaria ha un certo tasso interno di rendimento i, il criterio del valore attuale netto, se si usa come tasso di valutazione lo stesso tasso i, fornisce come valore per l'operazione: 0 Se un'operazione finanziaria ha valore (non nullo) pari ad x in un istante T, per renderla equa, è sufficiente: Aggiungere, al vettore dei flussi, un importo pari a – x all'istante T Se un’operazione finanziaria ha valore (non nullo) pari ad x in un istante T, per renderla equa è sufficiente aggiungere un importo pari a-x alla componente T-esima del vettore dei flussi Se una certa operazione finanziaria con flussi non nulli (a, b, c, d) con le scadenze (2,3,5,6) è equa, lo è anche quella: Con gli stessi flussi (a, b, c, d) con le scadenze (5, 6, 8, 9)
Se una funzione è differenziabile, il funzionale lineare associato fa corrispondere ad ogni vettore v: La derivata direzionale rispetto a quest'ultimo Se una funzione f(x) è approssimabile con un polinomio, f(0) sarà pari: Al termine noto Se una funzione f(x) è differenziabile in un intervallo I, presi due punti x e p di I,si può scrivere, in via approssimativa: F(x)=f(p)+f'(p)(x-p) Se una legge finanziaria è scindibile, indicato con v rispettivo fattore di sconto, comunque presi gli istanti a, b, c, si ha: si ha: v(a,b,c)=v(b,c); Se una matrice nxn ha n autovalori distinti si può dire che sicuramente: E' simile ad una matrice diagonale Se una serie è convergente, il termine n-esimo della successione corrispondente tende a: 0 Se v è il valore attuale di un euro per consegna tra un anno, il tasso di interesse corrispondente è: 1/(v-1); Se V(t,x) è valore in t di un titolo che garantisce l’importo x in s (t : Acquistare, in t, il TCN che garantisce x euro in s Se V(t,x) è valore in t di un titolo che garantisce l’importo x in s (t <s), nell'ipotesi in cui V(t,x) < xv(t,s), per compiere un arbitraggio, una delle operazioni consiste in acquistare, in t, il TCN che garantisce x euro in s Se X è incluso in Y e m è una misura, su ha: M(X) è minore o uguale a m(Y) Se x è un punto dello spazio reale n dimensionale ed a un numero reale, si ha: | a x | = |a || x | Se X e Y hanno intersezione vuota e m è una misura, si ha: M(XUY) =m(X)+m(Y) Se x ed y sono due punti dello spazio reale n dimensionale, si ha sicuramente: | x + y | < | x| + |y | Secondo il criterio media-varianza potendo scegliere tra due o più investimenti, bisogna prendere quello: con valore atteso maggiore e varianza minore Secondo la teoria dell'habitat preferito gli agenti: Hanno una convenienza ad investire su un determinato segmento di scadenze, ma sono disposti ad uscire da questo “habitat preferito" se i titoli di un altro segmento offrono un adeguato rendimento aggiuntivo Secondo la teoria delle aspettative pure: Il valore fissato dal mercato per i tassi a termine coincide con il valore che il mercato si aspetta per i tassi a pronti futuri Si consideri la legge di capitalizzazione esponenziale con parametro 0.4; l'intensità istantanea di interesse corrispondente su base semestrale è pari a: 0. Si dice che a è un punto di minimo relativo per f: A - > R se: Esiste un intorno I di a , tale che per ogni x appartenente ad A ed I, f (x) è maggiore o uguale ad f(a) Si dice che un autovalore b* della matrice A ha molteplicità algebrica a se il polinomio caratteristico det (A: Può essere diviso per (b Sia A la matrice dei coefficienti delle incognite di un sistema lineare. Se Det(A)=0 il sistema: È indeterminato o impossibile Sia f : A - > R una funzione dotata di derivate parziali prime in ogni punto di A. Sia a un punto interno ad A ; sia inoltre a estremante per f. Allora possiamo dedurre che: Grad f(a)= Sia f una funzione ad n variabili definita in un insieme I. Sia p un punto interno ad I e supponiamo che f sia continua assieme alle sue derivate prime e seconde in un intorno di p e che in tale punto si annulli il gradiente. Sia infine H la matrice hessiana di f in p. Si ha allora: Se H è definita positiva, p è un punto di minimo relativo Sia f una funzione ad n variabili definita in un insieme I. Sia p un punto interno ad I e supponiamo che f sia continua assieme alle sue derivate prime e seconde in un intorno di p e che in tale punto si annulli il gradiente. Sia infine H la matrice hessiana di f in p. Si ha allora: Se gli autovalori di H sono tutti (strettamente) positivi, p è un punto di minimo relativo Sia f(x) una funzione continua in [a,b]: sia F(t) la relativa funzione integrale: per ogni i in [a,b], si ha: F'(t)=f(t)
Un paese l'anno scorso ha realizzato un PIL pari a 200 miliardi di euro. Quest'anno il PIL è stato pari a 160 miliardi. Possiamo dire che il tasso di crescita è: Negativo Un'operazione finanziaria è equa se: Il suo valore in un determinato istante è nullo Un'operazione finanziaria si rappresenta con: Due vettori della stessa grandezza Un'opzione call, stipulata in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0 < t <T): maggiore o pari a max(v(t,T)(S(T) – K),0) Un'opzione call, stipulata in un istante 0, con scadenza in T, prezzo di esercizio pari a K, ha un valore all'istante t (0 < t <T): Max(v(t,T)(S(T) – K),0) Un’operazione finanziaria può essere rappresentata: con 2 vettori aventi lo stesso numero di elementi Un’opzione Call è un contratto finanziario tale che: concede al possessore la facoltà di acquistare un determinato bene Una funzione continua in un insieme chiuso e limitato: E' dotata di minimo e massimo Una funzione di n variabili avrà un matrice hessiana di lunghezza: Nxn Una funzione di sconto v(t,s) è uniforme se: Dipende dipende solo da s – t Una funzione di sconto v(t,s) è uniforme se: dipende solo da s − t Una funzione è: Una corrispondenza che ad ogni numero (appartenente ad un opportuno sottoinsieme dei numeri reali) associa uno ed un solo numero reale Una funzione f, definita su un sottoinsieme X dei numeri reali, viene detta continua in un punto x se : Per ogni intorno J di f(x) esiste un intorno I di x tale che, se x appartiene a I, allora f(x) appartiene a J. Una funzione, definita in un intervallo I di R, è detta differenziabile in un punto p se: Esiste una costante A (dipendente da p), tale che il limite, per x tendente a p, di (f(x)-f(p)-A(p)(x-p) ) / |x-p| è pari a 0 Una legge finanziaria è scindibile se, indicato con v il rispettivo fattore di sconto, comunque presi gli istanti: si ha v(a,c)= v(ab)v(bc) Una legge finanziaria è scindibile, se, indicato con v il rispettivo valore attuale: Per ogni istante a, b, c, con a < b < c, si ha v(a,c)=v(a,b)v(b,c) Una matrice di nxm elementi è: Una tabella formata da n righe: in ogni riga ci sono m numeri Una matrice è detta quadrata se: Il numero di righe è pari al numero di colonne Una misura m di un piano (cartesiano) è: Una funzione che ad ogni sottoinsieme associa un numero non negativo Una rendita è un operazione finanziaria: In cui tutti gli importi sono positivi Una serie alternante: Converge se il termine n-esimo, della successione generante, tende a 0 Una serie è assolutamente convergente se: La serie dei valori assoluti della successione generante è convergente Una successione di termine generale a_n tende ad L se : Per ogni ε > 0 esiste un indice k tale che, se n > k, allora | a_n – L | < ε Valutare una rendita posticipata unitaria di n anni frazionata in k unità all'anno: Equivale a valutare una rendita posticipata di nk rate di importo pari a 1/k Vogliamo rimborsare un capitale prestato P con un piano a rate annue (eque) costanti anticipate al tasso annuo i. Il numero minimo di annualità, tali che la rata non superi una certa cifra X, è: Log((X-Pi)/(1+i))/X)/Log(1/(1+i)) Vogliamo rimborsare un capitale prestato P con un piano a rate annue interesse corrispondente è: Log((X-Pi/(1+i))/X/Log.1/(1+i))
(a/b)(c/d): =(ac)/(bd)
3125,588 (formula: c(1+i)alla t
Affinché un portafoglio composto da un attivo x e un passivo y sia immunizzato al tempo zero, è
necessario che sia: V(0, x) = V(0, y) e D(0, x) = D(0, y)
Al crescere del tasso i, indicare come si comporta il tempo di raddoppio di un capitale: Diminuisce
Al fine di realizzare un arbitraggio, la funzione valore a pronti deve seguire necessariamente una
legge: Inusuale nella letteratura finanziaria
Comunque presi tre istanti successivi, t, t, s, la funzione valore a termine v(t,t,s): deve avere la seguente
proprietà v(t,t,t)=
Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria, con funzione di sconto v(t,s), sia
scindibile, è che l’intensità istantanea di interesse: sia indipendente dalla variabile t
Con riferimento ad un contratto a pronti descritto dalla funzione v(t,s), l’intensità di rendimento a
scadenza h è: -log(v(t,s))/(s-t)
Consideriamo la funzione di utilità che ad ogni importo associa la radice quadrata. In tal caso l'utilità
attesa del gioco di San Pietroburgo (con prima vincita possibile pari a 2) è pari a: 2.
Consideriamo la funzione z=exp(2x+y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a zero: per
ogni valore di x e y
Consideriamo la funzione z=exp(x+y). La relativa matrice hessiana ha componenti: tutte pari tra loro
Consideriamo la funzione z=exp(x+y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a: zero
Consideriamo la funzione z=xexp(y). La relativa matrice hessiana ha componenti sulla diagonale
principale : pari rispettivamente a 0 e xexp(y)
Consideriamo la funzione z=xy+exp(x-1)+exp(y-1). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a
zero se: x=y=
Consideriamo la funzione z=xy+exp(y). La relativa matrice hessiana ha determinante pari a: -
Consideriamo la seguente operazione finanziaia x=(x,y) t=(1,3) la duration all'istante 1 è pari a: 1
Consideriamo la seguente operazione finanziaria x=(x,y) t=(1,2); sia v(x,0) il suo valore all'istante 0 e
sia v(a,b) il fattore di sconto tra gli istanti generici a e b. La linearità della funzione valore ci assicura
che: v(x,0)=xv(0,1)+yv(0,2)
Consideriamo la serie di termine generale a(1)+a(2)+…+a(n); essa è convergente se: il limite l della
radice n-esima di a(n) è minore di 1
Consideriamo l'operazione finanziaria (aleatoria) v=(2, 4, 8, 16, 32,..) P=2 , 4, 8, 16, 32, ..). L'utilità
attesa dell'operazione, in base ad una funzione logaritmica u(v)=log(v ), è pari a : 2 log(2)
Consideriamo tre titoli a cedola nulla aventi valori pari, rispettivamente, a (90, 8, 35) e scadenze pari,
rispettivamente, a (1, 2, 3), a partire da oggi. Inoltre essi garantiscano gli importi pari, rispettivamente,
a (100, 10, 50) euro. Confrontando una legge a capitalizzazione composta, la struttura per scadenza
prevede i seguenti tassi annui: 11%, 12%, 13%
Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi dello stesso grado: il limite, al
tendere di x a + infinito è pari : Al rapporto dei due coefficienti di grado massimo
Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi di cui il numeratore è quello di
grado maggiore: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : A + infinito oppure – infinito
Consideriamo una funzione f(x) data dal rapporto di due polinomi di cui il numeratore è quello di
grado minore: il limite, al tendere di x a + infinito è pari : A zero
Consideriamo una successione di termine n-esimo a_n, convergente verso un numero a positivo. Allora
esisterà un indice k tale che : Se n>k a_n > 0
Consideriamo un'obbligazione acquistata alla pari (ossia tale che il prezzo sia pari al valore di
rimborso); in tal caso il tasso interno di rendimento è pari: Al tasso cedolare
Consideriamo un'obbligazione acquistata al prezzo P pari al valore di rimborso, con n cedole annue
pari a C. In tal caso il tasso interno di rendimento e pari: C/P
