Scarica prove d’esame matematica discreta e più Prove d'esame in PDF di Matematica Discreta solo su Docsity!
MATEMATICA DISCRETA - ARITMETI- CA – aa 2024/25 – T
21 gennaio 2025 Firma dello Studente
Cognome: Nome: Matricola:
Prova scritta
ISTRUZIONI Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato.
Quesiti
Ogni quesito ha UNA SOLA RISPOSTA ESATTA. Annerire la risposta corretta. Ogni risposta corretta vale 3 punti, una risposta non data vale 0 punti, una risposta errata vale − 1 punti. La sufficienza si ottiene con un punteggio ≥ 18.
1. Individuare quale delle seguenti formule esprime tutte le soluzioni intere dell’equazione modulare 3 x ≡ 1 mod 7_._
(A) 3 + k , k ∈ Z. (B) 3 + 7 k , k ∈ Z. (C) 5 + k , k ∈ Z. ▶ (D)5 + 7 k , k ∈ Z.
Soluzione : Osserviamo che x = 5 e una soluzione di 3 _x_ ≡ 1 mod 7 (infatti 3 · 5 = 15 = 14 + 1 ≡ 1 mod 7: la soluzione si puo trovare per tentativi provando i numeri − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3, oppure usando l’algoritmo euclideo esteso per trovare l’inveerso di 3 in Z 7 ). Dunque le soluzioni sono del tipo 5 +
MCD(7 , 3)
k = 5 + 7 k per ogni k ∈ Z.
2. Ricordando le definizioni di elemento primo e di elemento irriducibile in Z, segnare la risposta corretta. (A) 10 `e un elemento primo e irriducibile.
▶ (B)10 non e un elemento primo ne irriducibile.
(C) 10 non e un elemento primo mae irriducibile.
(D) 10 e un elemento primo ma none irriducibile. Soluzione : 10 non e irrudicibile ne primo in Z.
3. Sia ( A, + , ·) un anello, sia 0 ∈ A l’elemento neutro per l’operazione + e siano a, b, c ∈ A elementi generici in A. Segnare la risposta FALSA:
▶ (A) a · b + c · a = a · ( b + c ).
(B) 0 · a = 0.
(C) ( b + c ) · a = b · a + c · a.
(D) a · c + a · b = a · ( c + b ). Soluzione : Le proprieta ( _b_ + _c_ ) · _a_ = _b_ · _a_ + _c_ · _a_ e _a_ · _c_ + _a_ · _b_ = _a_ · ( _c_ + _b_ ) sono le proprieta distributive, che valgono in tutti gli anelli. La proprieta 0 · _a_ = 0 vale anch’essa in tutti gli anelli e segue dal fatto che ( _A,_ +)e un gruppo abeliano e che 0 e l’elemento neutro per la sommma ( _a_ · 0 = _a_ · (0 + 0) = _a_ · 0 + _a_ · 0 per la proprieta distributive, e sommando l’opposto di a · 0 ad entrambi i membri si ottiene 0 = a · 0 + (− a · 0) = ( a · 0 + a · 0) + (− a · 0) = a · 0). La proprieta _a_ · _b_ + _c_ · _a_ = _a_ · ( _b_ + _c_ ) invecee vera solo in anelli commutativi, cio`e solo se a · c = c · a.
4. Quale tra questi `e l’unico numero intero x , compreso tra 1 e 91, tale che diviso per 7 ha resto 6 e che diviso per 13 ha resto 10? ▶ (A)62. (B) 48. (C) 23. (D) 42.
Soluzione : Andando per tentativi dividendo per 7 si osserva che 48 ha resto 6, 62 ha resto 6, 23 ha resto 2 e 42 ha resto 0. Dividendo 48 per 13 si ottiene resto 12 mentre 62 = 4 · 13 + 10 diviso 13 ha resto 10, come richiesto.
5. Si considerino l’insieme X = { 1 , 2 } e la relazione ρ =
{ (1 , 1) , (2 , 2)
} definita su X. Allora:
(A) ρ non e di equivalenza perche non `e transitiva.
(B) ρ non e di equivalenza perche non `e simmetrica.
(C) ρ non e di equivalenza perche non `e riflessiva.
▶ (D) ρ `e di equivalenza.
Soluzione : La relazione e di equivalenza, e le classi di equivalenza sono [1] = { 1 } e [2] = { 2 }. La relazionee riflessiva (perche per ogni _x_ ∈ _X_ si ha ( _x, x_ ) ∈ _ρ_ , cioe xρx ). Inoltre e simmetrica (perche per ogni x, y ∈ X si ha ( x, y ) ∈ ρ , se e solo se ( y, x ) ∈ ρ , e questo avviene solo se x = y ), ed e transtivia (perche per ogni x, y, z ∈ X si ha che ( x, y ) ∈ ρ e ( y, z ) ∈ ρ implica ( x, z ) ∈ ρ : infatti se ( x, y ) ∈ ρ e ( y, z ) ∈ ρ significa che x = y = z ).
6. Segnare la risposta corretta. Sia A un insieme con 7 elementi e sia B un insieme con 5 elementi. Quante sono le funzioni iniettive diverse f : A → B da A in B che si possono definire? ▶ (A)Nessuna. (B) 5^7. (C) 7 · 6 · 5 · 4 · 3. (D) 5 · 7.
Soluzione : Poiche _A_ ha un numero di elementi maggiore di _B_ , none possibile costruire alcuna funzione iniettiva. Infatti una funzione e iniettiva se e solo se quando _x_ 1 ̸= _x_ 2 implica _f_ ( _x_ 1 ) ̸= _f_ ( _x_ 2 ), ma poiche # A > # B ,obbligatoriamente devono esistere elementi di A tali che le loro immagini mediante f siano uguali.
10. Sia 1 < n ∈ N e sia Z n l’anello delle classi di resto modulo n. Quale delle seguenti affermazioni `e vera? (A) an^ ≡ a mod n per ogni a ∈ Z n. (B) nn^ ≡ 1 mod n. ▶ (C) nn^ ≡ n mod n. (D) an^ ≡ a mod n per ogni a ∈ Z.
Soluzione : Ricordiamo che il Piccolo Teorema di Fermat vale nelle classi di resto modulo p , dove p deve essere un numero primo. Ad esempio, se prendiamo n = 4, a = 2, allora in Z 4 abbiamo 2^4 = 16 ≡ 0 mod 4, dunque 2^4 ̸= 2. Osserviamo che nn^ e necessariamente un multiplo di _n_ , e quindi il suo resto diviso per _n_e 0, che `e lo stesso resto della divisione di n per n. Quindi nn^ ≡ n mod n.
11. Quanti sono i sottogruppi di un gruppo ciclico finito? (A) Sono 2 elevato alla cardinalit`a del gruppo.
(B) Sono tanti quanti la cardinalit`a del gruppo.
▶ (C)Sono tanti quanti i divisori della cardinalit`a del gruppo.
(D) Sono tanti quanti la meta della cardinalita del gruppo. Soluzione : Vale il seguente teorema: Teorema Sia G un gruppo ciclico di ordine n. Per ogni d | n , esiste un unico sottogruppo di ordine d. E poiche _n_e necessariamente la cardinalita del gruppo ciclico finito, si ha che il numero di sottogruppie il numero di possibili divisori della cardinalita. Detto altrimenti, un sottogruppo di un gruppo ciclicoe ancora ciclico, e l’ordine del sotto- gruppo deve dividere l’ordine del gruppo. Ma l’ordine di un gruppo ciclico e esattamente la sua cardinalita.
12. Il polinomio X^2 − 3 X + 5 `e: (segnare la risposta vera)
▶ (A)Irriducibile in R ma riducibile in C.
(B) Riducibile sia in R che in C. (C) Riducibile sia in Z che in C.
(D) Sempre riducibile in tutti gli insiemi numerici. Soluzione : Il polinomio dato si puo fattorizzare sicuramente in C: in particolare poiche il discriminante e 9 − 20 _<_ 0 tale polinomio non ha radici reali ma complesse. Poiche non ha radici reali, in R il polinomio dato non si puo fattorizzare (e di conseguenza non si puo fattorizzare neanche in Z). Quindi non e riducibile in tutti gli insimi numerici,e irriducibile in R ma riducibile in C (in C le radici sono 3 ± 24 i , quindi si pu`o fattorizzare il polinomio in X^2 − 3 X + 5 = ( X − 3+4 2 i )( X − 3 − 24 i )).
Soluzione Versione n. 1
- D
- B
- A
- A
- D
- A
- A
- B
- C
- C
- C
- A
Soluzioni – Pag. 1
