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Esami di Matematica Discreta, Prove d'esame di Matematica Discreta

Prove di Esame di Matematica Discreta

Tipologia: Prove d'esame

Pre 2010

Caricato il 16/01/2022

Fred2k22
Fred2k22 🇮🇹

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Corso di Studi in Informatica
Matematica Discreta, corsi A e B
Prova scritta del 25 marzo 2002
COGNOME ....................................NOME .............................
MATRICOLA ........................... Compito n. 1
Rispondere a ciascuna domanda nello spazio sotto predisposto, motivando adeguatamente
le risposte. Per essere sufficiente un compito deve raggiungere 18 punti.
1. (8 punti) Determinare tutti i numeri interi xcompresi fra 100 e 200 (inclusi) tali che
6x13 (mod 23)
Soluzione. La soluzione generale della congruenza `e x6 (mod 23).Gli interi cercati
sono quindi 121,144,167,190.
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Corso di Studi in Informatica

Matematica Discreta, corsi A e B

Prova scritta del 25 marzo 2002

COGNOME.................................... NOME.............................

MATRICOLA........................... Compito n. 1

Rispondere a ciascuna domanda nello spazio sotto predisposto, motivando adeguatamente le risposte. Per essere sufficiente un compito deve raggiungere 18 punti.

  1. (8 punti) Determinare tutti i numeri interi x compresi fra 100 e 200 (inclusi) tali che

6 x ≡ 13 (mod 23)

Soluzione. La soluzione generale della congruenza `e x ≡ 6 (mod 23). Gli interi cercati sono quindi 121, 144 , 167 , 190.

  1. (8 punti) Sia X = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 420 }. Usando il principio di inclusione-esclusione determinare il numero degli elementi di X che sono coprimi con 14, e cio`e il numero degli x ∈ X tali che (x, 14) = 1.

Soluzione. Siano A l’insieme degli x ∈ X che sono multipli di 2 e B l’insieme degli x ∈ X che sono multipli di 7. Il numero degli elementi di X che sono coprimi con 14 `e allora dato da

|X| − |A ∪ B| = |X| − (|A| + |B| − |A ∩ B|) = 420 − (210 + 60 − 30) = 180.

  1. (8 punti) Risolvere il sistema di equazioni lineari

 

x 1 − x 2 − 2 x 3 + x 4 = 1 2 x 1 − x 2 − 3 x 3 + x 4 = 3 3 x 1 − x 2 − 4 x 3 + 2 x 4 = 6

Soluzione. Il sistema si pu`o risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss, ottenendo le soluzioni: (^)   

 

x 1 = 2 + x 3 x 2 = 2 − x 3 x 3 = x 3 x 4 = 1