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COMPLEMENTI DI MATEMATICA A-L e M-Z

Corso di laurea triennale in Economia e Commercio

DOCENTI: Giovanni Campisi, Riccardo De Blasis ESAME DEL: 04/02/

Durata esame: 1 ora e 30 minuti. Non `e ammesso l’uso di alcun tipo di materiale didattico. Compilare in stampatello tutti i campi identificativi: nome - cognome - numero di matricola. Al termine della prova lo studente deve consegnare il testo dell’esame insieme al foglio protocollo contenente lo svolgimento degli esercizi e nome e cognome. I riquadri devono contenere solo la risposta. In caso di risposta esatta gli esercizi verranno valutati in base allo svolgimento. Svolgimenti con riquadri privi di risposta o con risposta errata non saranno valutati. In tutto il testo di esame ”log” (o ”ln”) indica il logaritmo naturale.

COGNOME

NOME

MATRICOLA

1. Trova gli estremanti locali della funzione f (x, y) = y^3 + (x + y)^2 + x − 2 y

Trova i punti di massimo locale. Scegli la risposta corretta e, se necessario, completala. ⃝ A. I punti di massimo locale sono ⃝ B. Non ci sono punti di massimo locale.

Trova i punti di minimo locale. Scegli la risposta corretta e, se necessario, completala. ⃝ A. I punti di minimo locale sono ⃝ B. Non ci sono punti di minimo locale.

Trova i punti di sella. Scegli la risposta corretta e, se necessario, completala. ⃝ A. I punti di sella sono ⃝ B. Non ci sono punti di sella.

2. Trova fx, fy , fx(1, 2), fy (2, 2) per la seguente funzione,

f (x, y) = xy ln(x + y)

fx(x, y) = fy (x, y) =

fx(1, 2) = fy (2, 2) =

3. Determina gli eventuali punti stazionari della funzione f (x, y) = x^3 + 3x^2 y − y^2 − 2 y
4. Determina e disegna il dominio della funzione f (x, y) = ln(x^2 + y^2 − 49) − 3

−y + x.

5. Descrivi e rappresenta graficamente alcune curve di livello della funzione f (x, y) = (x − 4)^2 + (y − 4)^2.

12. Si consideri il seguente progetto di finanziamento, definito dai rispettivi vettori delle poste e delle scadenze:

X = [1800, − 700 , −1400] T = [0, 2 , 4], tempi misurati in anni.

Si chiede di calcolare il TIR del progetto.

Il TIR del progetto `e: j∗^ =. (Arrotondare alla quarta cifra decimale.)

13. Un prestito di 258.000 euro viene ammortizzato tramite il pagamento di 16 rate annue costanti al tasso annuale del 9%. Determinare il debito residuo (D 11 ), la quota capitale (C 11 ) e la quota interessi (I 11 ) all’anno 11.

(a) Il debito residuo e D 11 = euro. (Arrotondare ai centesimi di euro.) (b) La quota capitalee C 11 = euro. (Arrotondare ai centesimi di euro.) (c) La quota interessi `e I 11 = euro. (Arrotondare ai centesimi di euro.)

14. Si riportano le ultime righe del piano di ammortamento di un debito, dove in ogni colonna sono indicati, rispettivamente: n = epoca (in anni), Cn = quota capitale, In = quota interesse, Rn = rata, Dn = debito residuo.

n Cn In R Dn 1......... 92. 204 , 43 2 29. 227 , 29 3. 172 , 57 32. 399 , 86 62. 977 , 14 3 30. 715 , 35 2. 166 , 92 32. 882 , 27 32. 261 , 79 4 32. 261 , 79 1. 110 , 06 33. 371 , 86 0

Calcolare nuda propriet`a, N P 2 e usufrutto, U 2 al termine del secondo anno, al tasso annuo di valu- tazione i∗^ = 0, 07.

(a) N P 2 euro. (Arrotondare al centesimo di euro.)

(b) U 2 euro. (Arrotondare al centesimo di euro.)

COMPLEMENTI DI MATEMATICA A-L e M-Z

Corso di laurea triennale in Economia e Commercio

DOCENTI: Serena Brianzoni, Giovanni Campisi ESAME DEL: 05/11/

Durata esame: 1 ora e 30 minuti. Non `e ammesso l’uso di alcun tipo di materiale didattico. Compilare in stampatello tutti i campi identificativi: nome - cognome - numero di matricola. Al termine della prova lo studente deve consegnare il testo dell’esame insieme al foglio protocollo contenente lo svolgimento degli esercizi e nome e cognome. I riquadri devono contenere solo la risposta. In caso di risposta esatta gli esercizi verranno valutati in base allo svolgimento. Svolgimenti con riquadri privi di risposta o con risposta errata non saranno valutati. In tutto il testo di esame ”log” (o ”ln”) indica il logaritmo naturale.

COGNOME

NOME

MATRICOLA

1. Trova gli estremanti locali della funzione f (x, y) = 6y^3 − 2 y + 2x^3 − 6 x^2 + 5

Trova i punti di massimo locale. Scegli la risposta corretta e, se necessario, completala. ⃝ A. I punti di massimo locale sono ⃝ B. Non ci sono punti di massimo locale.

Trova i punti di minimo locale. Scegli la risposta corretta e, se necessario, completala. ⃝ A. I punti di minimo locale sono ⃝ B. Non ci sono punti di minimo locale.

Trova i punti di sella. Scegli la risposta corretta e, se necessario, completala. ⃝ A. I punti di sella sono ⃝ B. Non ci sono punti di sella.

6. Calcolare il valore oggi di un capitale C = 3900 euro disponibile fra 3 anni e 6 mesi da oggi, sapendo che il tasso istantaneo annuo `e δ = 0, 03 in regime di capitalizzazione continua.

Il valore oggi `e V =. (Arrotondare alla seconda cifra decimale, se necessario)

7. Calcolare il tasso annuo di sconto equivalente al tasso trimestrale d 14 = 0, 095.

Il tasso di sconto annuo `e d =. (Arrotondare alla seconda cifra decimale)

8. Sapendo che la forza di interesse vigente sul mercato e δ(t) = 0, 07 t (l’istante iniziale di tale leggee il tempo 0), dedurne il fattore di capitalizzazione r(t).

Il fattore di capitalizzazione, r(t), `e.

9. Sia disponibile una rendita semestrale di termine costante R = 140, primo termine disponibile il 01 / 07 /2021 e ultimo termine disponibile il 01/ 01 /2026. Si chiede di calcolare il valore al 01/ 01 /2020, in regime di interesse composto, della rendita sapendo che il tasso annuo di interesse `e i = 0, 03.

Il capitale, C, costituito `e. (Arrotondare al centesimo di euro.)

10. Si vuole costituire il capitale C per il 03/ 04 /2026 versando quattro rate semestrali (prima rata versata il 03/ 04 /2024), di cui le prime due sono uguali a 150 euro e le successive due sono uguali a 250 euro. Calcolare il capitale, C, in regime di capitalizzazione composta al tasso di interesse semestrale i 12 = 0, 035.

Il capitale, C, costituito `e. (Arrotondare al centesimo di euro, se necessario.)

11. Su un fondo il cui tasso di rendimento annuo e del 6% vengono depositati 140.000 euro con l’intento di prelevare mensilmente in via posticipata 7.000 euro. Dopo quanto tempo avviene l’ultimo prelievo? A quanto ammonta la consistenza del deposito dopo chee stato effettuato l’ultimo prelievo?

(a) Si possono effettuare al piu ⌊n⌋ = prelievi. (⌊n⌋ indica il piu grande intero minore o uguale a n.) (b) Dopo l’ultimo prelievo rimane a disposizione l’importo euro. (Arrotondare al centesimo di euro.)

12. Si consideri il seguente progetto finanziario, definito dai rispettivi vettori delle poste e delle scadenze:

X = [− 1200 , 800 , 1500] T = [0, 1 , 2], tempi misurati in anni.

Si chiede di calcolare il REA del progetto, sapendo che `e possibile finanziarsi e reinvestire al tasso annuo di interesse i = 0, 04 della capitalizzazione composta annua.

Il REA del progetto al tasso annuo di interesse i = 0, 04 risulta: REA(0,04)=. (Arrotondare alla seconda cifra decimale.)

13. Un prestito di 168.000 euro viene ammortizzato tramite il pagamento di 13 rate annue costanti al tasso del 6%. Determinare la rata (R), la quota capitale (C 8 ) e la quota interessi (I 8 ) all’ottavo anno.

(a) La rata e R = euro. (Arrotondare ai centesimi di euro.) (b) L’ottava quota interessie I 8 = euro. (Arrotondare ai centesimi di euro.) (c) L’ottava quota capitale `e C 8 = euro. (Arrotondare ai centesimi di euro.)

14. Il debito A = 10.000 euro `e ammortizzato in 15 anni in regime di capitalizzazione composta mediante il versamento di 15 rate annue posticipate costanti. Si riportano le ultime tre righe del piano di ammortamento, dove in ogni colonna sono indicati, rispettivamente: n = epoca (in anni), Cn = quota capitale, In = quota interesse, Rn = rata, Dn = debito residuo.

n Cn In R Dn 12......... 2244 , 38 13 733 , 36 44 , 89 778 , 25 1511 , 02 14 748 , 03 30 , 22 778 , 25 762 , 99 15 762 , 99 15 , 26 778 , 25 0

Calcolare nuda propriet`a, N P 13 e usufrutto, U 13 al termine del tredicesimo anno, al tasso annuo di valutazione i∗^ = 0, 085.

(a) N P 13 euro. (Arrotondare al centesimo di euro.)

(b) U 13 euro. (Arrotondare al centesimo di euro.)

2. Trova fx, fy , fx(2, 1), fy (2, 1) per la seguente funzione,

f (x, y) = ln

x + ln(y)

fx(x, y) = fy (x, y) =

fx(2, 1) = fy (2, 1) =

3. Determina gli eventuali punti stazionari della funzione f (x, y) = x^4 + y^3 − 4 x^2 − 3 y^2
4. Determina e disegna il dominio della funzione f (x, y) = ln(x − ey^ ).
5. Descrivi e rappresenta graficamente alcune curve di livello della funzione f (x, y) =

x^2 64

y^2 36

6. Siano disponibili le seguenti tre Rate:

R 1 = 2.800 euro il 17 / 05 / 2023 R 2 = 1.700 euro il 17 / 11 / 2024 R 3 = 2.300 euro il 17 / 05 / 2025

Sapendo che `e assegnato il tasso annuo di interesse i = 0, 045, determinare l’importo complessivo, C, delle tre Rate il 17/ 01 /2024 nel regime dell’interesse composto (RIC).

L’importo complessivo delle tre Rate il 17/ 01 /2024 `e C = euro. (Arrotondare ai centesimi di euro.)

7. Sia assegnato il tasso di interesse i 36065 = 0, 007 riferito ad un periodo di 65 giorni. Si calcoli il tasso annuo equivalente in RIC.

Il tasso di interesse annuo `e i =. (Arrotondare alla quarta cifra decimale)

8. Un’operazione finanziaria, a fronte di un investimento unitario consente di ottenere all’epoca t un montante pari a

2 t + 3 t + 3

. Calcolare la forza di interesse, δ(t) corrispondente.

La forza di interesse, δ(t), `e.

9. Determinare il valore attuale, V , di una rendita immediata anticipata di durata pari a 4 anni, con rate trimestrali di valore R = 680 euro, al tasso annuo nominale convertibile trimestralmente j 4 = 16%.

V =.

(Arrotondare al centesimo di euro.)

10. Si chiede di calcolare il Montante di un capitale C = 1.900 euro disponibile tra 6 anni e 22 giorni, contati da oggi, al tasso istantaneo del 5% in regime di capitalizzazione continua.

Il Montante, M , `e. (Arrotondare al centesimo di euro, se necessario.)

11. Su un fondo il cui tasso di rendimento annuo e del 4, 5% vengono depositati 75.000 euro con l’intento di prelevare mensilmente in via posticipata 2.500 euro. Dopo quanto tempo avviene l’ultimo prelievo? A quanto ammonta la consistenza del deposito dopo chee stato effettuato l’ultimo prelievo?

(a) Si possono effettuare al piu ⌊n⌋ = prelievi. (⌊n⌋ indica il piu grande intero minore o uguale a n.) (b) Dopo l’ultimo prelievo rimane a disposizione l’importo euro. (Arrotondare al centesimo di euro.)

COMPLEMENTI DI MATEMATICA A-L e M-Z

Corso di laurea triennale in Economia e Commercio

DOCENTI: Serena Brianzoni, Giovanni Campisi

ESAME DEL: 01/06/

▪ Durata esame: 1 ora e 30 minuti.

▪ Non è ammesso l'uso di alcun tipo di materiale didattico. Compilare in stampatello tutti i

campi identificativi: nome – cognome - numero di matricola.

▪ Al termine della prova lo studente deve consegnare il testo dell'esame insieme al foglio

protocollo contenente lo svolgimento degli esercizi e nome e cognome.

▪ I riquadri devono contenere solo la risposta. In caso di risposta esatta gli esercizi verranno

valutati in base allo svolgimento. Svolgimenti con riquadri privi di risposta o con risposta

errata non saranno valutati.

▪ In tutto il testo di esame “ log ” (o “ ln ”) indica il logaritmo naturale.

MATRICOLA

COGNOME

NOME