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4 Aprile 2023
Nome e cognome, matricola ..............................................................
Durata della prova 90 minuti. In ogni esercizio riportare lo svolgimento o le
motivazioni.
Esercizio 1. (15 pt) Data la funzione
f (x) =
x
x − 1
x
2 − 1 se x ≤ − 1 o x ≥ 1
−x
2
- (5 pt) determinare il dominio di f , eventuali punti di non continuit`a e
non derivabilit`a di f ,
- (5 pt) individuare eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui,
- (5 pt) scrivere la retta tangente al grafico di f nel punto (2, f (2)).
Esercizio 2. (8 pt) Data la funzione
f (x) =
− 1 se x ≤ 0
0 se 0 < x < 1
(x − 2)
2 − 1 se 1 ≤ x
si indichino gli eventuali punti di massimo/minimo locali/globali di f limi-
tatamente all’intervallo [− 1 , 3).
Esercizio 3. (10 pt) Si consideri la serie
+∞ X
k=k 0
k
2
k − 1
− k + a
k+
dove k 0
e un numero naturale e ae un parametro reale.
- (6 pt) Determinare il carattere della serie al variare del parametero a,
- (4 pt) quando convergente, calcolare il valore della somma per k = 3.
4 Aprile 2023
Nome e cognome, matricola ..............................................................
Durata della prova 90 minuti. In ogni esercizio riportare lo svolgimento o le
motivazioni.
Esercizio 4. (15 pt) Data la funzione
f (x) =
x
x − 1
x
2 − 1 se x < − 1 o x > 1
x
2 − 1 se 1 ≤ x ≤ − 1
- (5 pt) determinare il dominio di f , eventuali punti di non continuit`a e
non derivabilit`a di f ,
- (5 pt) individuare eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui,
- (5 pt) scrivere la retta tangente al grafico di f nel punto (3, f (3)).
Esercizio 5. (8 pt) Data la funzione
f (x) =
− 1 se x ≤ 0
0 se 0 < x ≤ 1
(x − 2)
2 − 1 se 1 < x
si indichino gli eventuali punti di massimo/minimo locali/globali di f limi-
tatamente all’intervallo [− 1 , 3).
Esercizio 6. (10 pt) Si consideri la serie
+∞ X
k=k 0
k
2
k − 1
− k + a
k+
dove k 0
e un numero naturale e ae un parametro reale.
- (6 pt) Determinare il carattere della serie al variare del parametero a,
- (4 pt) quando convergente, calcolare il valore della somma per k = 4.
4 Aprile 2023
Nome e cognome, matricola ..............................................................
Durata della prova 90 minuti. In ogni esercizio riportare lo svolgimento o le
motivazioni.
Esercizio 10. (15 pt) Data la funzione
f (x) =
x
x − 1
x
2 − 1 se x < − 1 o x > 1
x
2 − 1 se 1 ≤ x ≤ − 1
- (5 pt) determinare il dominio di f , eventuali punti di non continuit`a e
non derivabilit`a di f ,
- (5 pt) individuare eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui,
- (5 pt) scrivere la retta tangente al grafico di f nel punto (− 3 , f (−3)).
Esercizio 11. (8 pt) Data la funzione
f (x) =
− 1 se x < − 1
x
2 − 1 se − 1 ≤ x ≤ 1
1 se 1 < x
si indichino gli eventuali punti di massimo/minimo locali/globali di f limi-
tatamente all’intervallo [− 1 , 3).
Esercizio 12. (10 pt) Si consideri la serie
+∞ X
k=k 0
k
2
k − 1
− k + a
k+
dove k 0
e un numero naturale e ae un parametro reale.
- (6 pt) Determinare il carattere della serie al variare del parametero a,
- (4 pt) quando convergente, calcolare il valore della somma per k = 6.
4 Aprile 2023
Nome e cognome, matricola ..............................................................
Durata della prova 90 minuti. In ogni esercizio riportare lo svolgimento o le
motivazioni.
Esercizio 13. (15 pt) Data la funzione
f (x) =
x
x − 1
x
2 − 1 se x ≤ − 1 o x ≥ 1
x
2 − 1 se 1 < x < − 1
- (5 pt) determinare il dominio di f , eventuali punti di non continuit`a e
non derivabilit`a di f ,
- (5 pt) individuare eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui,
- (5 pt) scrivere la retta tangente al grafico di f nel punto (− 2 , f (−2)).
Esercizio 14. (8 pt) Data la funzione
f (x) =
− 1 se x ≤ − 1
x
2 − 1 se − 1 < x ≤ 1
1 se 1 < x
si indichino gli eventuali punti di massimo/minimo locali/globali di f limi-
tatamente all’intervallo [− 1 , 3).
Esercizio 15. (10 pt) Si consideri la serie
+∞ X
k=k 0
k
2
k − 1
− k + a
k+
dove k 0
e un numero naturale e ae un parametro reale.
- (6 pt) Determinare il carattere della serie al variare del parametero a,
- (4 pt) quando convergente, calcolare il valore della somma per k = 7.
