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VII
Coniche e Quadriche
Le coniche o sezioni coniche, sono le curve che si ottengono tagliando un cono (quadrico) con un piano ed il lettore dovrebbe conoscere le caratterizzazioni di queste curve come luoghi geometrici date nell’ambito della Geometria Euclidea; ad esempio, le ellissi sono il luogo dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissati –i fuochi– e costante. Introducendo nel piano delle coordinate cartesiane e scegliendo opportunamente gli assi coordinati, si vede che questi luoghi geometrici sono descritti da equazioni di secondo grado nelle coordinate (cf. Richiami I.5.2). I cambiamenti di coordinate che abbiamo studiato (isometrie, affinita o proiettivita) sono trasformazioni lineari che non cambiano il grado delle equazioni e quindi possiamo genericamente affermare che le coniche sono curve piane descritte da equazioni di secondo grado nelle coordinate. Questo sara il punto di partenza della nostra trattazione, ovvero studieremo la “geometria” delle equazioni di secondo grado. Cio ci permettera di caratterizzare le diverse coniche e di sviluppare facili tecniche di calcolo dei loro invarianti, tecniche che si possono applicare con poche variazioni anche per studiare superficie –o luoghi geometrici di dimensione piu grande– descritte da un’equazione di secondo grado. Spendiamo qualche parola in piu per precisare cosa intendiamo per “proprieta geometriche” delle coniche. Da quanto abbiamo detto, le coniche sono da pensarsi come equazioni di secondo grado nelle coordinate del piano; quelle che chiameremo proprieta geometriche, saranno le proprieta dell’equazione che si possono esprimere attraverso quantita invarianti rispetto ai cambiamenti di coordinate che si considerano nel piano in questione. Vi saranno quindi proprieta proiettive, proprieta affini e proprieta metriche delle coniche, a seconda che si considerino cambiamenti di coordinate che siano proiettivita, affinita, o isometrie. Una sorta di gerarchia tra queste varie proprieta si puo dedurre ricordando le relazioni tra spazio proiettivo, affine e metrico descritte nei capitoli precedenti. Abbiamo anche visto nei capitoli precedenti che la classificazione delle forme quadratiche dipende in modo rilevante dal corpo degli scalari su cui le si considera (cf. ad esempio l’Osservazione IV.2.4 ed il seguito della sezione) e –come gia detto–, abbiamo visto come la geometria dello spazio euclideo o, pi`u in generale, quella dello spazio affine possano essere dedotte dalla geometria dello spazio proiettivo; per questi motivi, per tutto il capitolo, salvo diverso avviso, supporremo di essere nella situazione descritta nel seguente diagramma ove le freccie sono tutte inclusioni
An(C) −−−−→ Pn(C) x
x
An(R) −−−−→ Pn(R)
ovvero, supporremo di aver immerso lo spazio affine reale dentro lo spazio proiettivo reale (cf. Teo- rema VI.3.7) e di immergere entrambo nei rispettivi spazi complessi; cio significa che ci sentiremo liberi di usare, quando ci serviranno, coordinate affini oppure omogenee e punti a coordinate complesse, re- ali e non. Molte delle affermazioni che faremo si potrebbero generalizzare ad altri corpi di scalari, ma nell’ambito di questo capitolo, una tale generalita sarebbe forse eccessiva.
2 Coniche e Quadriche VII §.
- Coniche nel piano proiettivo
L’oggetto di questa sezione sono le coniche del piano proiettivo e le loro propriet`a geometriche. Cominciamo quindi con una definizione.
1.1 Definizione. Una quadrica in Pn(R) e una forma quadratica a coefficienti reali, a meno della molti- plicazione per una costante diversa da zero (cioe un’equazione omogenea di secondo grado nelle coordinate omogenee, cf. Osservazione IV.1.17, a meno della moltiplicazione per una costante diversa da zero). I punti di Pn(C) su cui si annulla la forma quadratica formano il supporto della quadrica. Si chiamano coniche le quadriche di P^2 (R).
Un primo fatto fondamentale e l’osservazione che una quadricae determinata dal proprio supporto (ed `e questo il motivo per cui il supporto viene preso a coordinate complesse(∗)).
1.2 Proposizione. Siano q 1 e q 2 due forme quadratiche su Cn^ aventi lo stesso insieme di vettori isotropi; allora esiste una costante c 6 = 0 tale che q 1 (x) = cq 2 (x) per ogni vettore x di Cn.
dim. Se n = 1, tutte le forme quadratiche sono proporzionali tra loro e la tesi `e ovviamente vera. Se n = 2, una forma quadratica ax^2 + bxy + cy^2 ha esattamente due sottospazi di dimensione 1 di vettori
isotropi. Se a 6 = 0 i sottospazi isotropi sono
−b+√b^2 − 4 ac 2 a
e
−b−√b^2 − 4 ac 2 a
, e determinano la forma
quadratica a meno di un fattore di proporzionalit`a, infatti, si ha
4 a(ax^2 + bxy + cy^2 ) = [2ax + (b +
b^2 − 4 ac)y][2ax + (b −
b^2 − 4 ac)y]
e quindi ogni altra forma quadratica con gli stessi vettori isotropi e proporzionale a questa. Se a = 0 la forma quadratica〈( bxy + cy^2e ugualmente determinata, a meno di proporzionalit`a, dai suoi zeri che sono 1 0
e
〈( (^) c −b
. Dunque la tesi `e vera per n ≤ 2. Se n > 2, indichiamo con g 1 e g 2 le applicazioni bilineari simmetriche associate a q 1 e q 2 e sia v un vettore non isotropo di Cn. Dato un vettore w /∈ 〈v〉, i vettori isotropi xv + yw del sottospazio 〈v, w〉, sono rispettivamente gli zeri delle due forme quadratiche
g 1 (v, v)x^2 + 2g 1 (v, w)xy + g 1 (w, w)y^2 e g 2 (v, v)x^2 + 2g 2 (v, w)xy + g 2 (w, w)y^2.
Poiche g 1 e g 2 hanno gli stessi vettori isotropi, le due forme quadratiche devono essere proporzionali e quindi, posto c = g g^12 ((v,vv,v)) , si ha g 1 (w, w) = cg 2 (w, w). Stante l’arbitrarieta della scelta di w, la tesi `e verificata. CVD
Esempi. (a). Le forme quadratiche x^20 − 5 x 0 x 1 + 6x^21 e 16 x^20 − 56 x 0 x 1 + x^21 rappresentano la stessa quadrica nella retta P^1 (R). In particolare, x^20 − 5 x 0 x 1 + 6x^21 = (x 0 − 2 x 1 )(x 0 − 3 x 1 ) e quindi e il prodotto di due forme lineari, ciascuna delle quali rappresenta un punto di P^1 (R). Quindi questa quadrica puo essere identificata con la coppia di punti
1
,
1
e tale identificazione, non dipende dal fattore di proporzionalit`a che modifichi la forma quadratica. Possiamo infine osservare come, in questo modo, ogni quadrica della retta P^1 (R) possa essere identificata con la coppia di punti di P^1 (C) che costituisce il suo supporto, con la convenzione che le quadriche del tipo (ax 0 − bx 1 )^2 , si identifichino col punto
( (^) b a
contato due volte.
(b). La forma quadratica x^20 − 5 x 0 x 1 + 6x^21 = (x 0 − 2 x 1 )(x 0 − 3 x 1 ) in P^2 (R) rappresenta una conica che si decompone nel prodotto di due rette, le cui equazioni sono i due fattori lineari. A differenza della retta proiettiva,
(∗) (^) Infatti, se si considerasse solo l’insieme dei punti reali del supporto, la proposizione successiva sarebbe falsa. Ad
esempio, le forme quadratiche x^2 + y^2 ed x^2 + 4y^2 sono entrambe definite positive e quindi prive di vettori isotropi reali, ma chiaramente non sono proporzionali.
4 Coniche e Quadriche VII §.
indipendenti e quindi una base di C^3. Poich`e le rette r ed s sono contenute nel supporto della conica, i sottospazi corrispondenti 〈u, v〉 e 〈u, w〉 sono sottospazi isotropi per l’applicazione bilineare che risulta quindi degenere, dato che, rispetto alla base {u, v, w}, ha una matrice del tipo
G =
La matrice A della conica e uguale a tP GP , per qualche matrice invertibile P , e quindi anche il suo determinantee uguale a zero (in particolare, il sottospazio 〈u〉, cioe il punto di intersezione delle due rette,e il nucleo di g). Supponiamo ora che (il supporto del-) la conica sia costituito da un’unica retta r = σ 〈u, v〉 di P^2 (R)(†). Allora, dato comunque un vettore w /∈ 〈u, v〉, cio`e con g(w, w) = β 6 = 0, deve aversi g(u, w) = 0. Infatti, se fosse g(u, w) = α 6 = 0, allora il vettore x = βu − 2 αw sarebbe isotropo, dato che
g(x, x) = g(βu − 2 αw, βu − 2 αw) = − 4 αβg(u, w) + 4α^2 g(w, w) = 0.
Dunque il punto σ 〈x〉 sarebbe nel supporto della conica, ma non apparterrebbe alla retta r, il che e assurdo. Cio significa che g(u, w) = 0 per ogni vettore w in R^3 , ovvero che l’applicazione bilineare g ha un nucleo ed e quindi degenere (ed il suo nucleoe costituito proprio dal sottospazio 〈u, v〉, visto che, quanto abbiamo detto per il vettore u, avremmo potuto ripeterlo per ogni vettore di quel sottospazio).
Supponiamo ora che sia la matrice A ad essere degenere. Potranno aversi due casi: o rk A = 1 oppure rk A = 2. Sia rk A = 1 e sia 〈u, v〉 il nucleo di A. Mostriamo che non possono esservi vettori isotropi al di fuori di tale sottospazio, cioe che tutti i punti della conica C sono i punti della retta σ 〈u, v〉. Infatti, se esistesse un vettore isotropo w /∈ 〈u, v〉, i tre vettori u, v, w, formerebbero una base di R^3 , rispetto a cui la matrice di g sarebbe la matrice nulla 03. Ma la matrice nulla non puo essere congruente alla matrice A, che ha rango 1. Dunque la conica `e una retta doppia. Sia rk A = 2 e sia 〈u〉 il nucleo di A. Data una retta r, non passante per il punto P = σ 〈u〉, g induce sul sottospazio di dimensione 2 corrispondente ad r un’applicazione bilineare non degenere e quindi una quadrica su questa retta che si spezza in due punti distinti Q = σ 〈v〉 ed R = σ 〈w〉 di P^2 (C). Si verifica immediatamente che le rette r = σ 〈u, v〉 ed s = σ 〈u, w〉 sono il supporto della conica C. CVD
1.4 Coni Quadrici. Nel caso delle coniche, le sole coniche degeneri (cioe tali che l’applicazione bilineare associata sia degenere) sono le coniche spezzate. Per le quadriche di dimensione piu grande vi sono altre possibilita e quindi puo essere utile una definizione pi`u generale di natura geometrica.
1.5 Definizione. Una quadrica Q e un cono quadrico se esiste almeno un punto P del supporto di Q con la proprieta che, preso comunque un altro punto Q del supporto, allora la retta P + Q e tutta contenuta nel supporto di Q. I punti con la proprieta descritta formano il vertice del cono.
(†) (^) In questo caso si poteva anche verificare direttamente che, se l’equazione della conica e proporzionale ad (ax 0 + bx 1 + cx 2 )^2 , allora la matrice della conicae proporzionale a
( (^) a (^2) ab ac ab b^2 bc ac bc c^2
che e una matrice degenere di rango 1. Per uniformita abbiamo preferito continuare col linguaggio delle applicazioni bilineari. Il lettore diligente e invitato a verificare con un calcolo diretto che quando l’equazione della conicae proporzionale ad un prodotto di due fattori distinti (a 1 x 0 + b 1 x 1 + c 1 x 2 )(a 2 x 0 + b 2 x 1 + c 2 x 2 ) allora la matrice della conica `e degenere e di rango
VII §.1 Coniche nel piano proiettivo 5
Una quadrica e non-degenere se none un cono quadrico.
Esercizio 1.1. Sia Q una quadrica di Pn(R) di matrice associata A. Si verifichi che Q `e un cono quadrico se, e solo se, det A = 0. In tal caso, si mostri che i punti del vertice sono tutti e soli i punti x di Pn(R) tali che Ax = 0.
Esercizio 1.2. Sia Q un cono quadrico di Pn(R) di matrice associata A. Si verifichi che Q induce una quadrica non degenere su ogni elemento di Pn(R) sghembo con il vertice e di dimensione complementare.
Esercizio 1.3. Si consideri la conica di P^2 (R) di equazione 3x 0 x 1 − 2 x 0 x 2 + 3x^21 − 5 x 1 x 2 + 2x^22 e si mostri che `e il
prodotto di due rette reali distinte, passanti per il punto P =
2 3
(vertice del cono).
Esercizio 1.4. Si consideri la conica di P^2 (R) di equazione 4x^20 − 4 x 0 x 1 + 12x 0 x 2 + x^21 − 6 x 1 x 2 + 9x^22 e si mostri che si tratta di una retta doppia (ogni cui punto `e nel vertice del cono).
Esercizio 1.5. Si consideri la quadrica di P^3 (R) di equazione x^20 + 4x 0 x 2 + x^21 + 2x 1 x 3 + 4x^22. Si mostri che si tratta di un cono quadrico, si determinino il vertice del cono ed un piano su cui il cono taglia una conica non degenere.
Occupiamoci ora delle coniche non-degeneri e di un’interpretazione geometrica della relazione di ortogonalita tra i sottospazi indotta dall’applicazione bilineare associata alla conica, ovvero della polarita associata ad una conica –o, pi`u in generale, ad una quadrica.
1.6 Definizione. Sia C una conica non-degenere del piano proiettivo (risp. quadrica non-degenere di Pn) e sia q una forma quadratica che la definisce. Dato un punto P = σ 〈v〉, si chiama polare del punto
P la retta (risp. iperpiano) πC (P ) = σ 〈v〉⊥, ove l’ortogonale `e preso rispetto all’applicazione bilineare simmetrica associata alla forma quadratica q.
Osserviamo quindi, che se A e la matrice di una conica non degenere, C , e Pe un punto di P^2 (R), allora la polare del punto P `e la retta
πC (P ) =
X | tP AX = 0
Per la simmetria della relazione di ortogonalita, si ha che, dati due punti P e Q; P ∈ πC (Q) ⇔ Q ∈ πC (P ). In particolare, un punto P appartiene alla propria polare se, e solo se, tP AP = 0, ovvero se, e solo se, il punto P appartiene al supporto della conica. Vogliamo mostrare che, in quest’ultimo caso, il punto Pe l’unica intersezione tra la retta polare e la conica C e quindi che la retta `e la tangente alla conica nel punto P.
1.8 Osservazione. Siano P = σ 〈v〉 un punto del supporto della conica non-degenere C ed r = πC (P ) la sua polare. Allora l’intersezione tra r e C e costituita dal solo punto P , con molteplicita 2 ; ovvero r `e la tangente a C in P.
dim. Che una conica intersechi una retta in (almeno) due punti, contati con le opportune molteplicita,e un’ovvia conseguenza del fatto che questa intersezione e determinata da un sistema di secondo grado ed i punti del supporto sono presi a coordinate in C. Se poi Q = σ 〈w〉 fosse un punto di C ∩ r, distinto da P , allora 〈v, w〉 sarebbe un sottospazio isotropo di dimensione 2, perche generato da due vettori isotropi, ortogonali tra loro. Quindi tutti i punti della retta r dovrebbero appartenere al supporto di C , contro l’ipotesi che la conica sia non-degenere. CVD
Remark. In generale, se F (X 0 , X 1 , X 2 ) = 0 `e l’equazione (omogenea) di una curva del piano proiettivo, la retta tangente alla curva in un suo punto P ha equazione X (^0) ∂X∂F 0 (P ) + X (^1) ∂X∂F 1 (P ) + X (^2) ∂X∂F 2 (P ) = 0; ed, analogamente, l’iperpiano tangente nel punto P all’ipersuperficie di equazione (omogenea) F (X 0 ,... , Xn) = 0 in Pn(C) ha
VII §.1 Coniche nel piano proiettivo 7
corpo di base. Esponiamo rapidamente i punti fondamentali. Consideriamo lo spazio proiettivo P^2 (R) con le coordinate omogenee associate alla base canonica di R^3 , fissiamo un’altra base, W, di R^3 e sia
P = αW,E (1) la matrice del cambiamento di base. Se X =
( (^) x 0 x 1 x 2
ed X′^ =
( (^) x′ 0 x′ 1 x′ 2
sono le coordinate
di uno stesso punto σ 〈v〉, rispettivamente nel sistema di coordinate associato alla base canonica e nel sistema associato alla base W, allora deve aversi X = P X′. Se A e la matrice di una conica non degenere C , rispetto alla base canonica, allora la matrice della stessa conica rispetto alla base W sara B = tP AP , perche un punto di P^2 (C), di coordinate X′^ rispetto alla base W appartiene al supporto di C se, e solo se, t(P X′)A(P X′) = 0; e, per la Proposizione VII.1.2, cio significa esattamente che B = tP AP e una matrice della conica C rispetto al riferimento associato a W. Ogni altra matrice di C rispetto a questo riferimento sara proporzionale a B e quindi, possiamo dare la seguente definizione.
1.10 Definizione. Due coniche (risp. quadriche) si dicono proiettivamente equivalenti se esiste una proiettivit`a di P^2 (R) (risp. di Pn(R)) che trasformi l’una nell’altra. Due matrici simmetriche A e B si dicono proiettivamente equivalenti se esistono una matrice invertibile P ed una costante non-nulla c tali che B = ctP AP.
E chiaro che le coniche degeneri sono classificate dal loro rango e, per quelle di rango due, dal fatto dispezzarsi in due rette reali oppure in due rette complesse coniugate; cio perche la relazione di equivalenza proiettiva non modifica il rango delle matrici corrispondenti e perche non si possono avere cambiamenti di coordinate reali che mandino punti a coordinate reali in punti con coordinate non-reali. Ci interessa ora capire quando due coniche non degeneri siano proiettivamente equivalenti ed anche qui vi e differenza tra il corpo di base reale ed il corpo complesso. Infatti, sul corpo complesso tutte le coniche non-degeneri sono proiettivamente equivalenti, perche per ogni applicazione bilineare simme- trica, non-degenere, esiste una base ortonormale (cf. Osservazione IV.2.4) e quindi esiste un riferimento rispetto a cui la conica abbia matrice 13 ; dunque ogni matrice simmetrica non-degenere `e proiettivamente equivalente su C alla matrice identica. Sui reali, invece, le forme quadratiche sono classificate dalla loro segnatura o indice di inerzia (cf. Teorema di Sylvester IV.2.7), e quindi, visto che nell’equivalenza proiet- tiva, possiamo modificare le matrici anche con la moltiplicazione per una costante, possiamo concludere che sui reali vi sono due classi distinte di coniche non-degeneri rispetto all’equivalenza proiettiva:
- la classe delle coniche senza punti reali, con segnatura ±3, e
- la classe delle coniche con punti reali, con segnatura ±1. Ogni conica non-degenere appartiene ad una di queste due classi. In particolare, possiamo mettere in evidenza un rappresentante per ogni classe, scrivendo
Conica senza punti reali
eq. canonica: x^20 + x^21 + x^22 = 0
Conica con punti reali
eq. canonica: − x^20 + x^21 + x^22 = 0
?Esercizio 1.10. Sempre usando il Teorema di Sylvester (cf. Teorema di Sylvester IV.2.7), si classifichino dal punto
di vista dell’equivalenza proiettiva le quadriche nella retta proiettiva reale P^1 (R) e nello spazio tridimensionale P^3 (R) e si dia per ciascuna classe la matrice di una rappresentante della classe stessa.
Coniche e proiettivita tra fasci di rette. Sia C una conica non degenere e sia C un punto del supporto di C. Allora la corrispondenza che associa ad ogni retta, r, per C il punto di r ∩ C diverso da C (o C stesso, se re tangente alla conica in C), e una corrispondenza biunivoca tra il fascio di rette, C∗, di centro C ed il supporto di C. Questa corrispondenza ci permette, in particolare, di definire il birapporto tra quattro punti di una conica come il birapporto tra le corrispondenti rette del fascio. La definizionee ben posta se non dipende dalla scelta del punto C. Vale infatti il risultato seguente.
8 Coniche e Quadriche VII §.
1.11 Proposizione. Sia C una conica del piano proiettivo e C 1 , C 2 due punti distinti del supporto di C. La corrispondenza che ad ogni retta, r, del fascio di centro C 1 associa la retta s del fascio per C 2 passante per il punto di r ∩ C diverso da C 1 (s = C 1 ∨ C 2 , se r e tangente alla conica)e una proiettivit`a tra i due fasci di rette.
Dati due punti distinti, C 1 e C 2 , del piano proiettivo, ed una proiettivita ρ : C 1 ∗ → C 2 ∗ tra i fasci di rette di centro C 1 e C 2 , allora l’insieme dei punti r ∩ ρ(r), al variare di r in C∗ 1e il supporto di una conica. In particolare, la conica e degenere se, e solo se, ρe una prospettivit`a.
dim. Scegliamo un riferimento sul piano proiettivo che abbia come punti base C 1 , C 2 ed il polo, C 0 , della retta C 1 ∨ C 2 e scegliamo il punto unit`a in modo che la matrice di C sia A =
0 0 1 0 1 0
. Una generica retta r di C∗ 1 ha equazione omogenea r : ax 0 +bx 2 = 0 e la coppia (a, b) e un sistema di coordinate omogenee sul fascio. Analogamente, una retta di C 2 ∗ ha equazione omogenea s : cx 0 + dx 1 = 0 e la coppia (c, d)e un sistema di coordinate omogenee sul fascio. La retta r = (a, b) ∈ C∗ 1 interseca la conica nei due punti corrispondenti alle soluzioni del sistema { ax 0 + bx 2 = 0 x^20 + 2x 1 x 2 = 0
ovvero
ax 0 + bx 2 = 0 (b^2 x 2 + 2a^2 x 1 )x 2 = 0
C 1
C 2
r 1
r 3
s 1 s^3
r 2
s 2
La retta corrispondente `e quindi la retta C 2 ∨ Q, ove Q =
( (^2) ab b^2 − 2 a^2
, ovvero la retta di equazione bx 0 −
2 ax 1 = 0, che ha coordinate omogenee (b, − 2 a) in C 2 ∗ e quindi la corrispondenza tra i due fasci `e una
proiettivit`a che ha come soprastante l’applicazione lineare (a, b) 7 → (a, b)
0 − 2 1 0
Dimostriamo ora il secondo asserto dell’enunciato e supponiamo ancora che C 1 =
1 0
e C 2 =
0 1
e di aver fissato le coordinate omogenee sui fasci C∗ 1 e C∗ 2 come sopra. Sia (a, b) 7 → (a, b)
α β γ δ
. una
soprastante della proiettivit`a ρ ed osserviamo che il sistema lineare
{ ax 0 + bx 2 = 0 (αa + γb)x 0 + (βa + δb)x 1 = 0
ha soluzione per ogni scelta dei parametri omogenei (a, b). Considerando a e b come incognite, si tratta di un sistema omogeneo di due equazioni in due incognite che ha soluzioni non banali se, e solo se, il determinante della matrice dei coefficienti si annulla; ovvero se, e solo se,
det
x 0 x 2 αx 0 + βx 1 γx 0 + δx 1
= γx^20 + δx 0 x 1 − αx 0 x 2 − βx 1 x 2 = 0.
Dunque, il luogo dei punti r ∩ ρ(r) `e il supporto della conica di matrice
( (^2) γ δ −α δ 0 −β −α −β 0
, che `e una conica
degenere se, e solo se, β = 0, ovvero se, e solo se, la retta C 1 ∨ C 2 e unita nella proiettivita ρ. CVD
Vediamo ora un calcolo esplicito.
10 Coniche e Quadriche VII §.
anche per il punto B. Per quanto visto nella Proposizione VII.1.11, questa conica determina una proiettivita del fascio di rette di centro D nel fascio di rette di centro F , che manda ordinatamente le rette D ∨ A, D ∨ E, D ∨ C sulle rette F ∨A, F ∨E, F ∨C. Dobbiamo quindi mostrare che questa proiettivita manda la retta D ∨B sulla retta F ∨ B. Poich´e le proiettivita conservano i birapporti,e sufficiente dimostrare che (D ∨ A, D ∨ E, D ∨ C, D ∨ B) = (F ∨ A, F ∨ E, F ∨ C, F ∨ B). Osserviamo quindi che
(D ∨ A, D ∨ E, D ∨ C, D ∨ B) = (A, G, J, B) = (K, I, C, B) = (F ∨ A, F ∨ E, F ∨ C, F ∨ B)
ove la prima uguaglianza si ottiene intersecando le rette con A ∨ B, la seconda uguaglianza si ottiene proiettando la retta A ∨ B su C ∨ B dal punto H e l’ultima si ottiene prendendo le rette per F ed i punti di C ∨ B.
Viceversa, supponiamo ora che i vertici dell’esagono siano su una conica e mostriamo che i tre punti G, H, I sono allineati. In base alla Proposizione citata, si ha
(A, G, J, B) = (D ∨ A, D ∨ E, D ∨ C, D ∨ B) = (F ∨ A, F ∨ E, F ∨ C, F ∨ B) = (K, I, C, B).
Dunque, considerando la proiezione di centro H dalla retta A ∨ B sulla retta C ∨ B, si ha, per costruzione che il punto B `e unito, il punto J va sul punto C ed il punto A va sul punto K, essendo allineati A, H, K ed F. Per quanto visto sui birapporti il punto G deve corrispondere al punto I e quindi i tre punti G, H, I sono allineati. CVD
Osserviamo che. il fatto che l’esagono in figura non sia convesso non ha alcuna rilevanza nella dimostrazione, ed invitiamo il lettore a disegnare l’analoga figura nel caso di un esagono convesso.
Esercizio 1.13. Il teorema di Pascal pu`o essere utilizzato per costruire un ulteriore punto di una conica di cui siano noti cinque punti. Invitiamo il lettore ad esplicitare questa costruzione.
Dualizziamo il teorema di Pascal e, per Dualita Proiettiva,e verificato il seguente
1.13 Teorema. [Brianchon] L’esagono di lati a, b, c, d, e, f `e circoscritto ad una conica se, e solo se, le rette congiungenti vertici opposti, g = (a ∩ b) ∨ (d ∩ e), h = (a ∩ f ) ∨ (c ∩ d), i = (b ∩ c) ∨ (e ∩ f ), concorrono ad uno stesso punto.
b a
c
d e
f
g
h i
VII §.2 Coniche nel piano affine 11
- Coniche nel piano affine
Abbiamo visto nel capitolo precedente che lo spazio affine si immerge nello spazio proiettivo della stessa dimensione scegliendo dentro a quest’ultimo un iperpiano (il cosiddetto iperpiano improprio), i cui punti vengono ad essere le direzioni delle rette dello spazio affine (cf. Cap.VI, §.3). Nel caso del piano affine, l’iperpiano improprio e una retta e la posizione della conica rispetto a questa retta sara un tratto caratteristico della conica stessa. Come detto all’inizio di questo capitolo, supporremo –salvo diverso avviso– che l’immersione di A^2 (R) in P^2 (R) sia fatta scegliendo come retta impropria la retta di equazione x 0 = 0 e prendendo come coordinate nel piano affine x = x x^10 ed y = x x^20 ; quindi si passer`a da un’equazione affine di secondo grado, f (x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f , alla equazione omogenea corrispondente, associandole il polinomio omogeneo di secondo grado x^20 f ( x x^10 , x x^20 ) = ax^21 + 2bx 1 x 2 + cx^22 +
2 dx 0 x 1 +2ex 0 x 2 +f x^20. In tal modo si vede che ogni conica affine (ovvero ogni polinomio di secondo grado non omogeneo in x ed y) corrisponde ad una conica del piano proiettivo e guadagna cosı i suoi “punti impropri”, ovvero i punti di intersezione con la retta impropria. In particolare, diremo che la conica affinee non-degenere se lo `e la corrispondente conica omogenea.
Esercizio 2.1. Si considerino in P^2 (R) la retta r : x 0 + x 1 − 2 x 2 = 0 ed il piano affine che si ottiene prendendo r come retta impropria. (a) Si mostri che x = (^) x 0 +xx 10 − 2 x 2 ed y = (^) x 0 +xx 11 − 2 x 2 sono coordinate affini per tutti i punti di P^2 (R) che non stiano in r. (b) Si mostri che ogni punto (proprio) di questo piano affine ha una terna di coordinate omogenee del tipo( 2 x 2 y x+y− 1
e che ogni punto improprio ha coordinate omogenee del tipo
( (^2) x 0 2 x 1 x 0 +x 1
. (c) Qual’e l’equazione omogenea della conica di equazione affine x^2 + y^2 − 1? (d) Qual’e l’equazione affine della conica di equazione omogenea 2x^21 + 4x^22 + x 0 x 1 − 2 x 0 x 2 − 4 x 1 x 2? (e) Si determinino i punti impropri delle coniche dei punti (c) e (d). Possiamo distinguere le coniche affini in due grandi classi.
2.1 Definizione. Sia C una conica non-degenere del piano affine. La conica C e una parabola se, e solo se,e tangente alla retta impropria. La conica C e una conica a centro se none tangente alla retta impropria; in tal caso, si chiama centro il polo della retta impropria. In particolare, una conica a centro reale si dice un’iperbole se la sua intersezione con la retta impropria e costituita da due punti reali distinti, mentre si dice un’ellisse se la sua intersezione con la retta impropriae costituita da due punti complessi coniugati.
Le definizioni qui sopra si possono estendere alle quadriche non-degeneri, e si parla di paraboloide quando una quadrica e tangente all’iperpiano improprio, mentre si parla di quadrica a centro in caso contrario ed il centroe ancora il polo dell’iperpiano improprio. Inoltre, le quadriche a centro reali si chiamano iperboloidi quando l’intersezione con l’iperpiano improprio contiene punti reali, mentre si dicono ellissoidi quando l’intersezione con l’iperpiano improprio non contiene alcun punto reale.
Consideriamo la conica di P^2 (R) di matrice
A =
a 00 a 01 a 02 a 01 a 11 a 12 a 02 a 12 a 22
e la sua intersezione con la retta impropria r∞, di equazione x 0 = 0. Un punto appartiene all’intersezione se, e solo se, `e una soluzione del sistema (di secondo grado)
{ x 0 = 0 a 00 x^20 + 2a 01 x 0 x 1 + 2a 02 x 0 x 2 + a 11 x^21 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x^22 = 0
ovvero (^) { x 0 = 0 a 11 x^21 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x^22 = 0
VII §.2 Coniche nel piano affine 13
mai possibile trasformare una parabola in un’ellisse o quest’ultima in un’iperbole tramite trasformazioni affini reali. Vogliamo mostrare che la distinzione in iperboli, ellissi e parabole esaurisce la classificazione affine delle coniche non-degeneri. Per fare questo, mostreremo che ogni conica appartenente ad uno di questi tipi pu`o essere portata ad una stessa forma canonica attraverso un opportuno cambiamento di coordinate affini nel piano.
Cominciamo con un’iperbole non-degenere C , ed indichiamo con C il suo centro. Consideriamo ora un qualsiasi punto, P∞, della retta impropria, distinto dalle due intersezioni, A 1 ed A 2 , di C con r∞ (si veda il disegno qui sotto).
C
r∞ A 2 Q∞ A 1 P∞
a 2 a 1
p (^) q
C
La retta impropria e la polare del punto C e quindi la polare p di P∞e una retta passante per il centro C ed intersechera la retta impropria, in un punto Q∞ 6 = P∞. Poiche Q∞ appartiene sia alla polare di P∞ che alla polare di C, la sua polare q e la retta C + P∞. Prendendo un riferimento affine che abbia come origine il punto C = σ 〈w 0 〉 e come assi le due rette p e q, ovvero le rette di direzioni P∞ = σ 〈w 1 〉 e Q∞ = σ 〈w 2 〉, si ha che la matrice di C rispetto a questo riferimentoe una matrice diagonale. Inoltre, poiche la conicae un’iperbole, la sua restrizione alla retta impropria r∞ = σ 〈w 1 , w 2 〉 `e una forma quadratica non-definita (ha due vettori isotropi reali, corrispondenti ai punti A 1 ed A 2 ). Quindi la forma quadratica corrispondente a C ha indice di inerzia ±1 e quindi possiamo moltiplicare i vettori w 0 , w 1 , w 2 per opportune costanti ed, eventualmente, cambiare di segno la matrice, di modo che la forma quadratica si scriva come −x^20 + x^21 − x^22. Le rette per il centro C ed i due punti impropri A 1 ed A 2 sono anche le tangenti alla conica in tali punti (cf. VII.1.9), e quindi sono gli asintoti dell’iperbole.
Un discorso analogo si puo fare per l’ellisse. Ovvero, prendere un riferimento che abbia come origine il centro della conica e come assi due rette per il centro, contenenti l’una il polo dell’altra. In questo caso la restrizione della conica alla retta impropriae una forma quadratica definita e quindi i possibili valori dell’indice di inerzia sono ±3, e si tratta di un’ellisse senza punti reali, oppure ±1, e si tratta di un’ellisse con punti reali. Nei due casi possiamo ancora normalizzare opportunamente i vettori e moltiplicare per un segno affinch`e la forma quadratica diventi x^20 + x^21 + x^22 nel caso della conica priva di punti reali e −x^20 + x^21 + x^22 nell’altro caso.
Dopo aver visto tutte le coniche a centro, possiamo considerare una parabola C. Indichiamo con P∞ il punto di intersezione della conica con la retta impropria, r∞, e sia Q∞ un qualsiasi altro punto di tale retta. La retta impropria `e la tangente a C in P∞, ovvero la polare di questo punto (cf. Osservazione VII.1.8)
14 Coniche e Quadriche VII §.
e cio significa che la polare q di Q∞ passa per P∞ ed interseca la parabola in un altro punto (proprio) P e la retta t = P + Q∞e la tangente alla conica in P (cf. VII.1.9 e vedi il disegno qui sotto).
Q∞
P∞
P
q
r∞
t
C
Prendiamo ora un riferimento che abbia P come origine e t e q rispettivamente come assi delle ascisse e delle ordinate. Il punto P = σ 〈v 0 〉 appartiene al supporto della conica, mentre Q∞ = σ 〈v 1 〉, la direzione della retta t, non vi appartiene e sulla sua retta polare, ci sono sia P che P∞ = σ 〈v 2 〉. Quindi normalizzando opportunamente i vettori e scegliendo il fattore di proporzionalit`a, possiamo supporre che la forma quadratica associata alla parabola, in questo sistema di riferimento, sia x^21 − 2 x 0 x 2.
Riassumendo la discussione possiamo quindi scrivere le matrici delle rappresentanti delle coniche affini, non degeneri, e le corrispondenti equazioni canoniche (in coordinate affini); ovvero
ellisse senza punti reali
eq. canonica: 1 + X^2 + Y 2 = 0
ellisse con punti reali
eq. canonica: − 1 + X^2 + Y 2 = 0
parabola
eq. canonica: − 2 Y + X^2 = 0
iperbole
eq. canonica: − 1 + X^2 − Y 2 = 0
2.7 Osservazione. Vogliamo applicare le nostre conoscenze per studiare la conica di equazione affine C : x^2 + y^2 − 10 xy + 4x − 4 y + 53 = 0. Supponiamo che il piano affine sia immerso nel piano proiettivo nel modo consueto (retta impropria r∞ : x 0 = 0). Omogeneizzando l’equazione, si ottiene la forma quadratica di matrice
A =
3 2 −^2 2 1 − 5 − 2 − 5 1
,
16 Coniche e Quadriche VII §.
- Coniche nel piano euclideo
Si parla di piano euclideo (risp. spazio euclideo, in dimensione qualunque) quando sui vettori del piano (risp. dello spazio) affine reale viene posta una forma quadratica definita positiva. In questo ambito, si usano prevalentemente sistemi di riferimento ortonormali e trasformazioni affini che siano isometrie; in questo modo, le classi di coniche che erano state individuate nello spazio affine si suddivideranno in modo pi`u fine, in accordo con opportuni parametri. Come sempre, diamo una definizione precisa.
3.1 Definizione. Due coniche (risp. quadriche) si dicono isometriche se esiste un’isometria del piano euclideo (risp. dello spazio euclideo) che trasformi l’una nell’altra. Due matrici simmetriche A e B rappresentano coniche isometriche se esistono la matrice di un’isometria P ed una costante non-nulla c tali che B = ctP AP.
Consideriamo lo spazio euclideo di dimensione n immerso nello spazio proiettivo Pn(R), tramite la scelta dell’iperpiano improprio di equazione x 0 = 0 e supponiamo che le coordinate affini, xi/x 0 , per i = 1,... , n, siano riferite ad una base ortonormale, ovvero che l’assoluto (cf. Osservazione VI.5.11) sia la quadrica dell’iperpiano improprio di equazione
(3.2) H :
x 0 = 0 x^21 + · · · + x^2 n = 0
Le matrici delle isometrie sono particolari matrici di affinit`a, ovvero matrici del tipo
P =
1 t 0 t R
∈ GLn+1(R),
ove t ∈ Rn^ ed R e una matrice ortogonale di ordine n, cioe tRR = (^1) n. Quindi la classificazione metrica raffina la classificazione affine e ci porter`a ad introdurre nuovi invarianti (per isometria) tramite i quali distinguere le coniche all’interno delle classi descritte nel caso affine.
Prima di descrivere la classificazione delle coniche nel piano euclideo, vediamo un problema che puo aiutare a prendere familiarita con i concetti appena introdotti.
Esercizio 3.1. Nello spazio euclideo tridimensionale, immerso nel modo usuale in P^3 (R), si consideri il quadri- latero P 1 P 2 P 3 P 4 , contenuto nel piano π : z = 0, avente come vertici i punti
P 1 =
0 0
, P 2 =
− (^12) 0
, P 3 =
0 0
, P 4 =
1 2 0
,
e come lati le rette
` 1 =
4 y − x + 3 = 0 z = 0
, ` 2 =
2 y + x − 3 = 0 z = 0
, ` 3 =
2 y − x + 1 = 0 z = 0
, ` 4 =
x − 1 = 0 z = 0
.
Sia dato inoltre il piano σ : x − y + 2z = 2.
(a) Si dica se esistono dei punti P dello spazio euclideo tali che, proiettando π su σ dal centro P , il quadri- latero dato abbia come immagine un parallelogramma. In caso affermativo si determinino tutti i punti P soddisfacenti a questa condizione. (b) Siano P 5 = 1 ∩ 3 , P 6 = 2 ∩ 4 ed r = P 5 + P 6. Detti D 1 = (P 1 + P 3 ) ∩ r e D 2 = (P 2 + P 4 ) ∩ r, si determinino (se esistono) due punti C e C della retta r, per cui si abbia (C, C, P 5 , P 6 ) = −1 = (C, C, D 1 , D 2 ). (c) Si dica infine se esiste un punto P dello spazio euclideo tale che, proiettando π su σ dal centro P , il quadrilatero dato abbia come immagine un quadrato.
Svolgimento. (a). Consideriamo i punti di intersezione tra i lati opposti del quadrilatero, ovvero
P 5 = 1 ∩ 3 =
− 1 0
, P 6 = 2 ∩ 4 =
1 0
, e sia r = P 5 + P 6 :
x − y = 0 z = 0
.
VII §.3 Coniche nel piano euclideo 17
Allora la proiezione di centro P del quadrilatero P 1 P 2 P 3 P 4 su σ e un parallelogramma se, e solo se, la retta r si proietta sulla retta impropria di σ, ovvero se, e solo se, P + re un piano parallelo a σ. Quindi, per soddisfare alle condizioni poste, il punto P deve appartenere al piano σ′^ : x − y + 2z = 0, ma non alla retta r.
(b). Si ha
P 1 + P 3 :
y = 0 z = 0
e P 2 + P 4 :
2 y − 2 x + 3 = 0 z = 0
e quindi D 1 e l’origine dello spazio euclideo mentre D 2e il punto improprio della retta r, ovvero il punto di
coordinate omogenee D 2 =
1 1 0
.
Per determinare i punti C e C di r, possiamo considerare coordinate affini sulla retta r e prendere quindi il sistema di riferimento che ha
D 2 =
1 1 0
punto improprio, D 1 =
0 0 0
origine, P 6 =
1 1 0
punto unit`a.
Allora, le coordinate affini z e z di C e C in tale riferimento devono soddisfare alle condizioni
{ −1 = (C, C, P 5 , P 6 ) = (z, z, −1, 1) = (1(1−−zz)()(−−^11 −−zz)) −1 = (C, C, D 1 , D 2 ) = (z, z, 0, ∞) = ((∞−∞−zz)(0)(0−−zz))
da cui si ottiene la soluzione z = i, z = −i e quindi i punti
C =
i i 0
e C =
−i −i 0
.
(c). La proiezione di centro P del quadrilatero P 1 P 2 P 3 P 4 su σ e un quadrato se, e solo se, l’immaginee un parallelogramma con i lati perpendicolari tra loro (rettangolo) e le diagonali perpendicolari tra loro (rombo). Ci`o accade se, e solo se, i punti C e C si proiettano sui punti ciclici I ed I del piano σ. Indicato con H l’assoluto dello spazio euclideo, si ha
{I, I} = σ ∩ H :
− 2 x 0 + x 1 − x 2 + 2x 3 = 0 x 0 = 0 x^21 + x^22 + x^23 = 0
,
e quindi I =
−2+i√ 6 2+i√ 6 2
ed I =
− 2 −i√ 6 2 −i√ 6 2
. Dunque, vi sono due punti X ed Y , da cui il quadrilatero si proietta
in un quadrato e sono precisamente X = (C + I) ∩ (C + I) ed Y = (C + I) ∩ (C + I); dunque
X :
x 1 − x 2 + 2x 3 = 0 2 ix 0 + x 1 + x 2 + i
√ 6 x 3 = 0 − 2 ix 0 + x 1 + x 2 − i
√ 6 x 3 = 0
ed Y :
x 1 − x 2 + 2x 3 = 0 2 ix 0 + x 1 + x 2 − i
√ 6 x 3 = 0 − 2 ix 0 + x 1 + x 2 + i
√ 6 x 3 = 0
ovvero X =
− 2 2 2
ed Y =
− 2 2 2
Occupiamoci ora della classificazione delle coniche e lasciamo ancora una volta al lettore il compito di studiare le coniche degeneri e parliamo di quelle non-degeneri, cercando dapprima di adattare alla nuova situazione i ragionamenti fatti nel caso affine.
VII §.3 Coniche nel piano euclideo 19
quindi il punto proprio V appartenente all’intersezione tra C e la polare h di P (^) ∞⊥. La retta h e l’asse della parabola, mentre il punto Ve detto il vertice della parabola.
Dunque, ponendo l’origine nel vertice della parabola C e scegliendo come secondo asse coordinato la retta h, si determina un riferimento ortonormale del piano euclideo, rispetto a cui la parabola viene ad avere un’equazione del tipo 2y = ax^2 (eventualmente dopo moltiplicazione per un’opportuna costante); inoltre, scegliendo opportunamente i versori degli assi coordinati, non `e restrittivo supporre a > 0. In questo modo, due parabole (non-degeneri) sono isometriche se, e solo se, determinano lo stesso valore del parametro a.
Possiamo quindi scrivere le matrici delle che rappresentano le famiglie di coniche non-degeneri del piano euclideo, a meno di ismoetria, scrivendo sotto la corrispondente equazione canonica.
ellissi senza punti reali
0 a 0 0 0 b
eq. canonica: aX^2 + bY 2 = 1 (a ≤ b < 0)
ellissi con punti reali
0 a 0 0 0 b
eq. canonica: aX^2 + bY 2 = 1 (0 < a ≤ b)
parabole
0 a 0 − 1 0 0
eq. canonica: 2Y = aX^2 (a > 0)
iperboli
0 a 0 0 0 b
eq. canonica: aX^2 + bY 2 = 1 (b < 0 < a)
Vogliamo mostrare come, con facili calcoli, si possano dedurre gli invarianti di una conica non degenere a partire dalla sua matrice. Il procedimento descritto di seguito, pu`o essere adattato per la classificazione di quadriche nello spazio euclideo di dimensione qualsiasi; lasciamo al lettore il compito di fare i necessari adattamenti. Consideriamo quindi il piano euclideo, immerso in P^2 (R) con retta impropria r∞ : x 0 = 0 ed una conica non-degenere C. Sia A la matrice di C e la si scriva a blocchi, nella forma
A =
a 00 ta a A′
Le matrici delle isometrie sono particolari matrici di affinit`a, e possono essere analogamente scritte a blocchi, nella forma
P =
1 t 0 u R
ove u ∈ R^2 ed R `e una matrice ortogonale, ovvero tRR = 12. In base alla definizione di coniche isometriche, devono esistere una isometria di matrice P ed una costante c 6 = 0 tali che
ctP AP = c
( (^) t U AU (ta + tuA′)R tR(a + A′u) tRA′R
0 a 0 0 0 b
se la conica `e a centro ( (^0 0) − 1 0 a 0 −1 0 0
se la conica `e una parabola
ove U =
1 u
. Per prima cosa osserviamo che, in ambedue i casi tRA′R = R−^1 A′R deve essere una
matrice diagonale, e quindi che gli elementi sulla sua diagonale devono essere gli autovalori di A′^ che indichiamo con λ 1 e λ 2 e quindi le colonne della matrice R sono una base ortonormale di autovettori per A′^ che sono quindi le direzioni degli assi del riferimento rispetto a cui la conica assume forma canonica(∗).
(∗) (^) Si osservi che, poiche A′ (^)e una matrice simmetrica, indipendentemente dall’ordine della matrice, esiste sempre una
matrice ortogonale R tale che tRA′R = R−^1 A′R sia una matrice diagonale (cf. Teorema Spettrale V.3.1).
20 Coniche e Quadriche VII §.
Se la conica e a centro, ricordando che Re una matrice invertibile, deve aversi a + A′u = 0 e quindi il punto U e il centro della conica (cf. VII.2.3). Inoltre, la costante c puo essere determinata osservando che det P = det R = ±1, e quindi, dalle relazioni scritte sopra, si deduce c^3 det A = −ab = −c^2 det A′; ovvero c = − det^ A
′ det A. Se la conica `e una parabola, nulla cambia per il fatto che gli elementi sulla diagonale di tRA′R devono essere gli autovalori di di A′, che indichiamo con λ 1 e λ 2 = 0, e quindi le colonne della matrice R sono anche in questo caso una base ortonormale di autovettori per A′, ed, in particolare, la seconda colonna di R (ovvero un autovettore di lunghezza 1, relativo all’autovalore nullo) determina la direzione dell’asse della parabola. La condizione tU AU = 0 dice che il punto U appartiene alla conica, mentre la
condizione c(a + A′u) = −R
0 1
, pu`o essere letta come il fatto che la polare del punto U deve avere
coefficienti dell’equazione omogenea proporzionali alla seconda colonna di R e quindi questa retta deve avere direzione ortogonale all’asse della parabola. Si deduce da cio che U deve essere il vertice della parabola chee l’unico punto in cui la tangente e ortogonale all’asse. Come nel caso precedente, la costante c puo essere determinata osservando che c^3 det A = −a = −cλ 1 , ove λ 1 e l’autovalore non nullo di A′; dunque c^2 = − (^) detλ^1 A (il lettoree invitato a verificare che la condizione
ha senso, ovvero che (^) detλ^1 A < 0 quando A `e la matrice di una parabola non degenere).
Esercizio 3.2. Nel piano euclideo si classifichi la conica C di equazione C : 7x^2 + 112 y^2 +2xy +16x+13y +12 = 0, e si determinino assi, vertici, l’eventuale centro e la forma canonica di C.
Svolgimento. La matrice della conica C `e A =
16 14 2 13 2 11
, e si ha det A = − 2 · 3 · 53 , det A′^ = 150; dunque C `e
un’ellisse (non-degenere). Il centro C `e la soluzione del sistema lineare { 7 x + y = − 8 2 x + 11y = − 13
, ovvero C =
− 1
.
Il polinomio caratteristico della matrice A′^ `e pA(x) = det(A′^ − x) = x^2 − 25 x + 150, e quindi gli autovalori di A′^ sono 10 e 15, i cui corrispondenti autovettori sono le direzioni degli assi, ovvero i punti della retta impropria
di coordinate omogenee H 1 =
2 1
ed H 2 =
1 − 2
. Quindi gli assi dell’ellisse C sono le rette di equazioni
h 1 : x − 2 y − 1 = 0 e h 2 : 2x + y + 3 = 0; ove h 2 , la cui direzione e un autovettore relativo all’autovalore minore,e l’asse focale dell’ellisse, mentre h 1 e l’asse trasverso. I coefficienti della forma canonica dell’equazione di C sono gli autovalori di A′, moltiplicati per − det^ A ′ det A , e quindi la forma canonicae 2X
(^2) + 3Y 2 = 1. In un’ellisse di equazione canonica αX^2 + βY 2 = 1, con 0 < α < β, i vertici sull’asse focale han distanza √ (^1) α dal centro, mentre i vertici sull’asse trasverso han distanza
1 β dal centro. Quindi, i vertici di^ C^ si trovano sugli assi h 1 ed h 2 a distanza √^13 e √^12 dal centro C, rispettivamente. Lasciamo al lettore il compito di calcolarne le coordinate.
Esercizio 3.3. Nel piano euclideo si classifichi la conica C di equazione C : 2x^2 − y^2 + 4xy + 2y − 2 = 0 e si determinino assi, vertici, l’eventuale centro e la forma canonica di C.
Svolgimento. Indichiamo come al solito con A la matrice della conica C e con A′^ la matrice che si ottiene da A cancellando la prima riga e la prima colonna. Si ha det A = 10 e det A′^ = −6, da cui si deduce che C `e un’iperbole (non-degenere).
Le coordinate del centro C di C sono le soluzioni del sistema lineare
x + y = 0 − 2 x + y = 1
, e quindi C =
− (^13) (^13)
. Le direzioni degli assi sono gli autovettori della matrice A′, mentre gli autovalori della stessa, moltiplicati per − det^ A ′ det A , sono i coefficienti della forma canonica dell’equazione di^ C^.^ Il polinomio caratteristico di^ A
′ (^) `e
