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Lezione 2
Potenze. Radicali. Logaritmi
1. Potenze con esponente naturale
Definizione 2.1 Se n ∈ N e n 6 = 0, si chiama potenza n-esima del numero reale a, o potenza
con base a ed esponente n, e si indica col simbolo a n , il prodotto di n fattori uguali ad a
an^ = a · a ·... · a | {z } n volte
Se a 6 = 0, si attribuisce significato anche alla potenza con esponente nullo, ponendo:
a^0 = 1.
Esempi 2.
5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
• (−3)^3 = (−3) · (−3) · (−3) = − 27
μ
−
μ
−
μ
−
n = 1, per qualunque n ∈ N
0 `e privo di significato.
Ricordiamo le fondamentali propriet`a delle potenze:
Propriet`a 2.3 Siano a, b due numeri reali e n, m due numeri naturali. Allora:
a n · a m = a n+m
an^ : am^ = an−m^ (se a 6 = 0 e n ≥ m)
(an)m^ = an·m^ = (am)n
a n · b n = (a · b) n
an^ : bn^ = (a : b)n^ (se b 6 = 0)
Queste propriet`a vengono usate come regole di calcolo.
Esempi 2.
μ
−
μ
−
μ
−
μ
−
2 ¢^3
6 = 64 =
3 ¢^2
• 27 : 2^4 = 2^7 −^4 = 2^3 = 8
μ 3
5
μ 2
3
μ 3
5
μ 2
5
2 : 3 2 = (2 : 3) 2 =
μ 2
3
Attenzione alle parentesi: in generale (an)m^ `e diverso da a(n
m)
. Ad esempio, (2^3 )^2 = 2^6 = 64
mentre 2 32 = 2 9 = 512.
Propriet`a 2.5 Se vogliamo stabilire il segno di a n , possiamo osservare che per ogni numero reale
a e per ogni numero naturale n ≥ 1 si ha che
- a n ≥ 0 se n `e pari,
- an^ ha lo stesso segno di a se n `e dispari.
Inoltre nel confronto tra potenze con la stessa base a > 0 valgono le seguenti propriet`a:
dati due numeri naturali m, n tali che 0 ≤ m < n
- se a > 1, si ha am^ < an;
- se 0 < a < 1, si ha am^ > an;
Invece nel confronto tra potenze con ugual esponente n ≥ 1 vale la seguente propriet`a:
- dati due numeri reali a, b se 0 ≤ a < b si ha a n < b n .
ATTENZIONE. Se anche una sola delle basi e negativa tutte le proprieta prima citate possono
non essere vere (vedi esempi 2.6).
Esempi 2.6 Confrontiamo le seguenti coppie di potenze:
- 23 e 2^5 : la base 2 `e > 1; gli esponenti sono 3 e 5 (e 3 < 5). Quindi 2^3 < 25.
μ 1
2
e
μ 1
2
: la base
`e < 1; gli esponenti sono come sopra. Quindi
μ 1
2
μ 1
2
- (−2)^3 e (−2)^5 : la base −2 e < 0. Ricordiamo che (−2)^3 = − 23 e (−2)^5 = − 25. Poich´e 2^3 < 25 , si ha − 2 3 > − 2 5 , cioe (−2) 3 > (−2) 5 .
- (−2)^3 e (−2)^4 : la base −2 `e < 0. Ricordiamo che (−2)^3 = − 23 e (−2)^4 = 2^4 , e osserviamo che − 23 < 0 < 24. Quindi (−2)^3 < (−2)^4.
- (−3)^3 e (−2)^3 : le basi, −2 e −3, sono < 0. Ricordiamo che (−3)^3 = − 33 e (−2)^3 = − 23. Poich´e 2^3 < 33 , si ha − 33 < − 23 , cio`e (−3)^3 < (−2)^3.
2 e (−2) 2 : le basi, −2 e −3, sono < 0. Ricordiamo che (−3) 2 = 3 2 e (−2) 2 = 2 2 , e osserviamo che 2^2 < 32. Quindi (−2)^2 < (−3)^2.
Ad esempio, a = 0. 0031724 e b = 32015 hanno entrambi 3 come cifra significativa. Tali numeri si
scrivono in notazione scientifica come a = 3. 1724 · 10 −^3 e b = 3. 2015 · 104.
Il fattore 10n^ che compare nella scrittura in notazione scientifica, permette di individuare l’ordine di grandezza del
numero. Ad esempio:
3 .5 = 3. 5 · 100 e dell’ordine delle unita, cio`e 10^0 ≤ 3. 5 < 101 ,
3500 = 3. 5 · 103 e dell’ordine delle migliaia, cioe 10^3 = 1000 ≤ 3500 < 104 ,
0 .00264 = 2. 64 · 10 −^3 e dell’ordine dei millesimi, cioe 10−^3 = 10001 ≤ 0. 00264 < 10 −^2.
Si noti che sia le calcolatrici tascabili, che i pi`u sofisticati elaboratori elettronici, rappresentano in memoria i numeri
in notazione scientifica. La visualizzazione esterna sul display `e nella notazione usuale, a meno che non si richieda
esplicitamente che il risultato venga espresso in notazione scientifica o che il risultato stesso sia molto piccolo o molto
grande. Di solito, per risparmiare spazio, il numero 10 `e sostituito dal carattere E o semplicemente omesso. Si provi
a calcolare 3^4 , 3^30 , 3−^5 e 3−^16 con la propria calcolatrice tascabile.
3. Radici di numeri reali
Ci chiediamo se, dati un numero reale non nullo (1)^ a e un numero intero n > 1, esiste un numero
reale b tale che sia bn^ = a; cioe se, dati a ed n,e possibile esprimere a come potenza n-esima di un
altro numero b.
Se a < 0 dovremo distinguere il caso in cui n e un numero pari da quello in cuie un numero dispari.
Invece se a > 0 la risposta `e sempre affermativa e possiamo anche chiedere che il numero b che
stiamo cercando sia positivo. Precisamente,
se a > 0 esiste un unico numero b > 0 tale che bn^ = a.
Questo numero si chiama (2)^ radice n-esima di a e si scrive b = n
a.
Se a < 0 ed n e un numero pari non c’e nessun numero reale b tale che bn^ = a: infatti bn^ `e un
numero ≥ 0!
Se a < 0 ed n `e un numero dispari esiste un unico numero b < 0 tale che bn^ = a, b = − n
−a.
Denoteremo anche questo numero con n
a.
Nella scrittura n
a, n `e detto indice, a radicando.
Esempi 2.
4 = 2 (infatti 4 = 2^2 )
3 `e un numero reale che appartiene all’intervallo (1, 2).
− 81 non ha significato.
q (−7) 2 =
49 = 7 = | − 7 | e pi`u in generale:
a^2 = |a| (e non a).
Infatti, qualunque sia il segno di a, risulta a^2 ≥ 0, e quindi esiste
a^2 ed `e un numero ≥ 0.
- (^) Trascuriamo il caso a = 0, poich´e e ovvio che il solo numero b tale che bn (^) = 0e b = 0, cio`e, con la terminologia
che introduciamo in questo paragrafo:
√n 0 = 0.
- (^) Talora il fatto che il numero b cercato `e positivo viene sottolineato chiamando aritmetica questa radice.
E importante osservare che ogni numero reale` positivo (o nullo) ammette sempre una e una sola
radice n-esima. Essa `e un numero positivo (o nullo) reale che verifica l’uguaglianza ( n
a)
n = a.
Allora, volendo interpretare n
a come una potenza e volendo che continui a valere la propriet`a della
“potenza di potenza”, scriveremo
√ na = a 1 /n.
D’ora in poi la base nelle potenze e il radicando nei radicali saranno sempre > 0
4. Potenze con esponente razionale
Dato il numero reale a > 0 e due numeri interi m > 0 e n > 0 risulta (a
1 n (^) )m^ = ( n
a)m^ =
√n am^ =
(am)
1 n (^). Ci`o suggerisce di interpretare questo numero reale > 0 come una potenza. Precisamente,
dato il numero reale a > 0 e la frazione m n , con m > 0 e n > 0, definiamo
a
m n = ( n
a)m^ =
√n am.
Poniamo inoltre
a
− mn
a
m n
Osservazione 2.11 Osserviamo che dato un numero reale a > 0 e un numero intero positivo r,
si ha n
a = nr^ √ ar. Ad esempio: 4
a =
a^3 =
a^5 =
a^2 =.... Pi`u in generale,
√n am^ = nr^ √ amr,
cio`e
a
m n = a
mr nr .
Detto diversamente, se due frazioni mn e mrnr rappresentano lo stesso numero razionale, le due cor-
rispondenti potenze di base a sono uguali. Dunque abbiamo appena definito le potenze con base
reale a > 0 ed esponente razionale.
Anche per le potenze con esponente frazionario valgono le propriet`a 2.3. Ad esempio:
siano a e b reali > 0 e m, n, p, q interi ≥ 1; allora
m n · a
p q = a
m n +^
p q , ossia
√n am^ ·
√q ap^ =
nq^ √ amq+np
1 n )
1 m = a
1 mn , ossia m
p n
a = mn
a
m n · b
m n = (ab)
m n , ossia
√n am^ ·
√n bm^ =
√n ambm.
Vedere i radicali come potenze permette di risolvere una serie di piccoli problemi collegati con le
operazioni sui radicali riconducendoli a pi`u semplici problemi di calcolo frazionario (eliminando la
necessit`a di ricordare le regole relative al calcolo dei radicali). Ad esempio :
a √ 5 a^3
a
a^3 /^5
= a^1 −(3/5)^ = a^2 /^5 =
a^2.
Altre situazioni del genere vengono illustrate negli esempi successivi.
L’osservazione 2.11 `e utile per confrontare (o moltiplicare o dividere) due potenze con esponente
frazionario diverso o due radicali con indice diverso.
5. Potenze con esponente reale
Prendiamo in esame l’uguaglianza
Abbiamo visto che un modo di leggerla e dire che “il numero che elevato alla sesta potenza da 64 `e
2”, cio`e
√ 6 64 = 2.
Abbiamo cioe fissato la nostra attenzione sull’esponente 6 della potenza e ci siamo chiesti quale la
base in corrispondenza alla quale otteniamo 64.
Possiamo per`o anche fissare la nostra attenzione sulla base 2 e chiederci a quale esponente la dob-
biamo elevare per ottenere 64 (ovviamente 6).
Prima rispondevamo alla domanda
“Qual `e la radice sesta di 64?”
ora invece rispondiamo alla domanda
“Qual `e il logaritmo in base 2 di 64?”
Non sempre la domanda “qual `e l’esponente che devo dare a b per ottenere a?” ammette risposta.
Ad esempio, non esiste alcun c tale che 1c^ = 64, poich´e 1 c^ = 1 per ogni c.
Ancora, non esiste nessun numero razionale c = m n tale che 3
m n = 64, perch´e questo significherebbe
3 m^ = 64n^ = 2^6 n^ e cio none possibile, in quanto le potenze di 2 sono tutte diverse dalle potenze di
Questa seconda difficolta puo essere aggirata dando un senso alla scrittura
ab
con b numero reale qualunque. Senza entrare nel dettaglio della definizione, osserviamo solo tre
cose fondamentali.
- in questa definizione a deve essere un numero reale positivo (diverso da zero), poich´e per definire ab^ si considerano numeri razionali r che approssimano b con precisione via via maggiore e si calcolano poi le potenze (con esponente razionale) a r : ora, noi sappiamo che, ad esempio,
a
1 2 ha senso solo per a ≥ 0, mentre a − 1 =
a
ha senso solo per a 6 = 0 e quindi, dovendo tener
conto di entrambi i tipi di condizioni, si deve chiedere a > 0;
- la potenza ab^ `e sempre un numero > 0 qualunque sia la base (reale positiva) a e l’esponente reale b;
- per le potenze con base reale > 0 ed esponente reale, valgono le propriet`a delle potenze. In particolare
a b · a c = a b+c
ac^ · bc^ = (ab)c (ab)c^ = abc
NOTA Queste sono nella loro forma piu generale le proprieta algebriche delle potenze!
A parte le difficolt`a teoriche insite nella definizione di potenza con base ed esponente reale, rimane il problema pratico
di come (almeno) stimare il valore di un numero come 3
√ (^2) (o peggio π √ (^2) ). Esaminiamo solo il primo caso che `e meno
complicato. L’approssimazione decimale per difetto di
√ 2 arrestata alla quarta cifra decimale e 1.4142, cioe
- 4 <
√ 2 < 1. 5 1. 41 <
√ 2 < 1. 42 ecc.
Le propriet`a di confronto tra potenze ci dicono che se a > 1 e b < c anche ab^ < ac^ e quindi:
31.^4 < 3
√ (^2) < 31. 5 31. (^41) < 3 √ (^2) < 31. (^42) ecc.
Visto che 3^1.^4 = 3^7 /^5 = 4. 6555 ... e 31.^5 = 3^3 /^2 = 5. 1961 ... sicuramente 3
√ (^2) `e compreso tra questi due valori.
Quanto piu precisae l’approssimazione dell’esponente tanto piu piccoloe l’intervallo in cui 3
√ (^2) risulta compreso.
Ad esempio se consideriamo 3^1.^4142 = 4. 7287 ... e 3^1.^4143 = 4. 7292 ... , evidenziamo un intervallo in cui cade 3
√ (^2) di
ampiezza inferiore a 10−^3. Si pu`o dire a questo punto che le prime cifre della rappresentazione decimale di 3
√ (^2) sono
- 72 ....
Questo e sostanzialmente cio che fa una calcolatrice quando trova per 3
√ (^2) l’approssimazione 4. 7288 ...
E adesso chiaro che dato un qualunque esponente reale^ b e un numero reale positivo c,e sempre
possibile trovare una (e una sola) base a tale che valga l’uguaglianza a b = c: la base a = c 1 /b
. Ad
esempio, perch´e risulti a
√ (^5) = π, si deve prendere a = π 1 /
√ (^5).
6. Logaritmi
Torniamo invece all’altro problema accennato all’inizio del precedente paragrafo:
data la base reale a > 0 e 6 = 1 e il numero reale c > 0 esiste un esponente reale b tale che ab^ = c?
Questo problema ha sempre una e una sola soluzione: l’esponente b cercato si chiama logaritmo
in base a di c e si indica con il simbolo
loga c.
Quindi
loga c = b se e solo se a b = c.
Esempi 2.
- log 3 9 = 2 infatti l’esponente che dobbiamo dare a 3 per ottenere 9=3^2 `e 2
- log 1 2
4 = − 2 infatti l’esponente che dobbiamo dare a
per ottenere 4 =
μ 1
2
`e − 2
= − 3 infatti l’esponente che dobbiamo dare a 10 per ottenere
= 10−^3 `e − 3
- log 25 5 = 1 2 infatti l’esponente che dobbiamo dare a 25 per ottenere 5 = 25
1 2 `e
ATTENZIONE. Fissata la base a > 0 e 6 = 1 possiamo calcolare loga c solo se c > 0. Scritture
come loga 0 o loga (−1) sono prive di senso.
Esempio 2.18 Se vogliamo trasformare log 10 3 in base 2, basta scrivere log 10 3 =
log 2 3
log 2 10
. Se
invece vogliamo calcolare con la calcolatrice log 2 34 basta scrivere log 2 34 =
log 10 34
log 10 2
Osservazione 2.19 Ricordiamo che loga a = 1 e loga
μ 1
a
= − 1. Quindi, se nella formula del
cambiamento di base poniamo
- x = a ricaviamo: logb a =
loga b
a
ricaviamo: log 1 a
x =
loga x
loga
μ 1
a
¶ (^) = − loga x.
La prima formula puo servire per fornire qualche risultato in forma piu compatta; la seconda `e assai
piu utile poich´e ci dice che quando dovremo studiare i logaritmi bastera che ci occupiamo di quelli
con base a > 1, visto che se 0 < a < 1 il reciproco
a
di a `e > 1.
Esempio 2.20 Vogliamo calcolare
log 2 5 · log 10 0. 5
1 + log 5 2
. Risulta
1 + log 5 2 = log 5 5 + log 5 2 = log 5 10 =
log 10 5
; log 2 5 =
log 10 5
log 10 2
; log 10 0 .5 = − log 10 2
e quindi la frazione si pu`o riscrivere come (log 10 5) ·
− log 10 2 ·
log 10 5
log 10 2
= − (log 10 5)
2 .
Osservazione 2.21 L’utilizzo dei logaritmi `e molto frequente in Matematica. In passato, quando
non c’erano mezzi di calcolo automatico, erano un potente mezzo per semplificare il calcolo di
espressioni complicate, visto che trasformano moltiplicazioni e divisioni in somme e sottrazioni,
potenze in prodotti, radici in rapporti. In quel contesto si sono affermati i logaritmi in base 10. Ci`o
e logico, poich´e quando si scrivono i numeri in forma decimalee facile individuare almeno l’ordine
di grandezza dei logaritmi. Ad esempio log 10 (173) `e sicuramente un numero compreso tra 2 e 3,
visto che 10 2 < 173 < 10 3 ; invece log 10 (0.0256) `e sicuramente un numero compreso tra −2 e −1,
visto che 10−^2 < 0. 0256 < 10 −^1. Come di consueto, nelle lezioni successive il logaritmo in base 10 di
c viene indicato pi`u semplicemente con Log(c). Invece il logaritmo naturale di c, che viene indicato
di solito con ln (c) o anche con log(c), ha origini pi`u legate all’Analisi Matematica (e non se ne
tratter`a in queste lezioni).
