Regimi Finanziari - Complementi di Matematica, Dispense di Complementi Di Matematica I

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REGIMI FINANZIARI

Corso di Complementi di Matematica

a.a. 2014/

PROGRAMMA

Le operazioni nanziarie elementari. Interesse e montante. Sconto e valore attuale. Leggi e regimi nanziari: interes- se semplice e interesse composto. Tassi equivalenti. Tas- so nominale d'interesse. Tasso istantaneo e capitalizzazione continua dell'interesse. Valore di una rendita. Valutazione di rendite certe tempora- nee. Valore attuale di rendite perpetue. Costituzione di un capitale. Rimborso dei prestiti indivisi: considerazioni generali. Pre- stito di un capitale rimborsabile a scadenza. Ammortamento francese. Ammortamento uniforme. Rimborso dei prestiti divisi: i prestiti obbligazionari. Valu- tazione di un prestito obbligazionario.

Scopo del corso:

acquisire la capacità di formulare, comprendere e risolvere i problemi relativi alle operazioni nanziarie tipiche;

acquisire gli strumenti per la valutazione e il confronto di operazioni nanziarie.

Matematica Finanziaria Classica

La Matematica Finanziaria studia le operazioni nanziarie certe, cioè le operazioni di scambio di importi monetari disponibili ad epoche diverse che avvengono in ambito di certezza.

Lo scambio avviene non tanto tra importi monetari, quanto tra situazioni nanziarie (o prestazioni nanziarie), cioè coppie di importi e rispettive scadenze di esigibilità.

OPERAZIONE FINANZIARIA ELEMENTARE di

INVESTIMENTO o di CAPITALIZZAZIONE

Per una parte (creditore o mutuante) la disponibilità immedia- ta del capitale C si trasforma nella disponibilità futura di una somma maggiore M.

C è il capitale impiegato o investito t 0 è l'epoca di investimento t 1 è la scadenza dell'investimento [t 0 , t 1 ] è il periodo di impiego o orizzonte di scambio M è detto MONTANTE all'epoca t 1 del capitale C impiegato all'epoca t 0.

DEFINIZIONI FONDAMENTALI

I = M − C Interesse per il periodo [t 0 , t 1 ]

i =

I

C

Tasso di interesse per il periodo [t 0 , t 1 ] (è l'interesse su ogni unità di capitale impiegato)

u =

M

C

Fattore di capitalizzazione o fattore di montante (è il montante di ogni unità di capitale impiegato)

Esercizio

Un titolo è acquistato a 1800 e, dopo 6 mesi è venduto a 1710 e. Calcolare l'interesse, il tasso di interesse e il fattore di capitalizzazione di questa operazione di investimento.

Se M < C l'operazione di capitalizzazione si conclude con la perdita di parte del capitale investito. La perdita è totale nel caso M = 0.

Se M = 0 allora I = −C i = − 1 u = 0

Se 0 < M < C allora

−C < I < 0 − 1 < i < 0 0 < u < 1

RELAZIONI TRA GRANDEZZE FINANZIARIE

I = M − C =⇒ M = C + I

i =

I

C

=⇒ I = Ci

u =

M

C

=⇒ M = Cu

u =

C + I

C

= 1 + i =⇒ i = u − 1

OPERAZIONE FINANZIARIA ELEMENTARE di

FINANZIAMENTO o di ATTUALIZZAZIONE o di

SCONTO

La controparte (debitore o mutuatario) rinuncia alla disponibilità futura del capitale M per ottenere la disponibilità immediata (in t 0 ) della somma scontata C.

M è il capitale futuro di cui si vuole anticipare la disponibilità [t 0 , t 1 ] è il periodo di anticipazione o orizzonte di scambio La somma C è detta VALORE ATTUALE all'epoca t 0 del capitale M disponibile all'epoca t 1.

DEFINIZIONI FONDAMENTALI

D = M − C Sconto per il periodo [t 0 , t 1 ]

d =

D

M

Tasso di sconto per il periodo [t 0 , t 1 ] (è lo sconto su ogni unità di capitale futuro)

v =

C

M

Fattore di attualizzazione o fattore di sconto (è il valore attuale di ogni unità di capitale futuro)

RELAZIONI TRA GRANDEZZE FINANZIARIE

D = M − C =⇒ C = M − D

d =

D

M

=⇒ D = M d

v =

C

M

=⇒ C = M v

v =

M − D

M

= 1 − d =⇒ d = 1 − v

CAPITALIZZAZIONE E ATTUALIZZAZIONE

Ad ogni operazione di capitalizzazione corrisponde una operazione simmetrica di attualizzazione:

I = D v =

u

d = i 1 + i i = d 1 − d

Il tasso di sconto è sempre minore del tasso di interesse.

Esercizi

Si cede la somma di 1100 e disponibile tra 2 anni per incassare 1000 e subito. Calcolare lo sconto, il tasso di sconto e il fattore di attualizzazione.

Per anticipare di 5 mesi la disponibilità di 200 e si accetta uno sconto di 4 centesimi per ogni euro. Calcolare il fattore di sconto, lo sconto e il valore attuale.

Esercizi

Si investe la somma di 200 euro per 5 mesi. Sapendo che il tasso di interesse è del 4%, calcolare l'interesse, il montante e il fattore di capitalizzazione. Calcolare, inoltre, lo sconto, il tasso di sconto e il fattore di attualizzazione.

Tizio cede a Caio la somma di 1000 e disponibile tra 2 anni ed incassa oggi 800 e. Calcolare lo sconto, il tasso di sconto e il fattore di attualizzazione. Calcolare, inoltre, l'interesse, il tasso di interesse e il fattore di capitalizzazione.

Tizio mi presta 1000 e per un anno e mi chiede un interesse del 10% da pagare subito (in via anticipata). Il 10% è un tasso di interesse?