Analisi di Regressione Multipla: Interpretazione e Errori - Prof. Mastromarco, Slide di Econometria

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Analisi di Regressione

Multipla

Stima OLS della relazione Test Score / STR :

TestScore

= 698.9 – 2.28× STR , R

2

= .05, SER = 18.

E’ una stima credibile dell’effetto causale sul rendimento

nei test di un cambio del rapporto studenti-insegnanti?

No : ci sono fattori omessi che confondono l’effetto

(reddito familiare; se lo studente parla l’inglese come

lingua madre) questi rendono le stime OLS distorte: STR

cattura anche l’effetto dei fattori omessi.

Similarità con la regressione

semplice

• β

0

è la costante (intercetta della regressione)

• da β

1

a β

k

sono tutti chiamati coefficienti angolari

• u è l
  errore stocastico (o disturbo)
• Abbiamo bisogno dell’assunzione sulla media

condizionata pari a zero, ovvero

• E( u|x

1

,x

2

, …,x

k

• Dobbiamo sempre minimizzare la somma dei

quadrati dei residui, così avremo k+1 condizioni

del primo ordine

Interpretazione della regressione

multipla

0 1 1 2 2

1 1 2 2

2

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ... , da cui

ˆ ˆ ˆ

ˆ ... ,

perciò mantenendo fisse ,..., si ha che

ˆ

ˆ , cioè ogni ha

una interpretazione

k k

k k

k

y x x x

y x x x

x x

y x

ceteris paribus

β β β β

β β β

β β

= + + + +

Δ = Δ + Δ + + Δ

Δ = Δ

• L
  equazione precedente implica che

regredendo y su x

1

e x

2

otteniamo lo

stesso effetto per x

1

che otterremmo

regredendo y su i residui della regressione

di x

1

su x

2

• Questo significa che solo la parte di x

i

che è non correlata con x

i

serve a

spiegare la y

i

perciò stiamo stimando

l
effetto di x

1

su y dopo aver depurato

l
effetto di x

2

su x

1

Interpretazione della regressione

multipla

Regressione semplice e

regressione multipla

0 1 1

0 1 1 2 2

1 1

2 2

1 2

Confrontiamo la regressione semplice

con la regressione multipla

In genere, tranne il caso in cui:

0 (perciò l'effetto parziale di ) O

e non son

y x

y x x

x è nullo

x x

β β

β β β

β β

β

o correlate nel campione di dati

Quanto bene la nostra retta di regressione si

adatta ai dati?

Possiamo calcolare la proporzione della

somma totale degli scarti al quadrato (SST)

che è spiegata dal modello, chiamiamo

questa misura R-quadro della regressione

R

2

= SSE/SST = 1 – SSR/SST

Bontà del modello

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2 2

Si può pensar e a come uguale al quadr ato del coefficiente di

ˆ cor r elazione tr a il valor e osser vato e il valor e stimato

ˆ ˆ

ˆ ˆ

i i

i i

i i

R

y y

y y y y

R

y y y y

− −

=

− −

∑

∑ ∑

Bontà del modello

Assunzioni per Correttezza

Modello di regressione della popolazione è lineare nei

parametri: y = β

0

+ β

1

x

1

+ β

2

x

2

+…+ β

k

x

k

• u

Le assunzioni sono quelle della regressione semplice più quella

relativa alla non collinearità perfetta tra le variabili indipendenti:

E( u|x

1

, x

2

,… x

k

) = 0, implica che tutte le variabili esplicative

sono esogene ;

Utilizziamo un campione casuale di dimensione n , {( x

i

, x

i

,…,

x

ik

, y

i

): i =1, 2, …, n }, dal modello di popolazione, in modo tale

che il modello campionario è y

i

= β

0

+ β

1

x

i

+ β

2

x

i

+…+ β

k

x

ik

u

i

;

X e u hanno quattro momenti, cioé:

E(X

4

) < +∞ e E(u

4

) < +∞.

Nessuna delle x è costante, e non esiste una relazione lineare

perfetta tra loro (collinearità)

Troppe o Poche Variabili

• Cosa succede se nel modello di

regressione si inseriscono variabili non

rilevanti?

• Non c
  è effetto sulle stime dei parametri,

e le stime OLS restano corrette

• Cosa succede se escludiamo variabili

rilevanti?

• Le stime OLS saranno distorte

( )( )

( ) ( ) ( )

0 1 1 2 2

1 1 0 1 1 2 2

2

1 1 1 2 1 1 2 1 1

Il modelo vero è

, sostituendo

al numeratore si ottiene

i i i i

i i i i

i i i i i

y x x u

x x x x u

x x x x x x x u

∑

∑ ∑ ∑

Errore per Variabili Rilevanti

Omesse

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 2 1 1

1 2

2 2

1 1 1 1

1 1 2

1 1 2

2

1 1

poichè E( ) 0 , prendendo il valore atteso

i i i i

i i

i

i i

i

x x x x x u

x x x x

u

x x x

E

x x

β β β

β β β

− −

= + +

− −

=

−

= +

−

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

!

!

Errore per Variabili Rilevanti

Omesse

Sintesi sulla Direzione dell
Errore

Corr( x

1

, x

2

) > 0 Corr( x

1

, x

2

) < 0

β

2

0 errore positivo errore

negativo

β

2

< 0 errore negativo errore positivo

Sintesi sull
Errore dovuto a

Variabili rilevanti Omesse

• Due casi in cui l
  errore è uguale a zero

β

2

= 0, cioè x

2

non appartiene al modello

e/o x

1

e x

2

non sono correlate nel campione.

• Se la correlazione tra x

2

, x

1

e x

2

, y è nella

stessa direzione, l
errore sarà positivo

• Se la correlazione tra x

2

, x

1

e x

2

, y è in

direzione opposto, l
errore sarà negativo