Regressione: Regressione Semplice e Multipla, Slide di Statistica

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ESERCITAZIONE REGRESSIONE

Regressione Semplice •^

Stima la relazione funzionale tra la variabile dipendente (Y) e la variabile indipendente (X)

-^

La regressione può essere lineare (modello retta – lineare) o non lineare (es. modello parabolico)

μ(xY

) = ai

• a 0

x^1

μ(xY

) = ai

• a 0

x + a 1

(^2) x 2

• … + a

xh- h-

Regressione Multipla •^

Stima la relazione funzionale tra la variabile dipendente (Y) e più variabili indipendenti (X1, X2, …)

-^

La regressione può essere lineare (modello retta – lineare) o non lineare (es. modello parabolico)

μ(xY

) = ai

• a 0

x1 + a 1

x2 2

μ(xY

) = ai

• a 0

x1 + a 1

x1 2 2 + a

x2 + a 3

x2 4

Funzione di Regressione Regressione Semplice - Multipla

Specificazione Modello •^

Scelta funzione interpolante e definizione del grado del modello (modello lineare / non lineare, semplice /multiplo) Calcolo Parametri Modello •^

Stima dei parametri del modello – minimizzazione funzione di perdita del modello Valutazione della Bontà del Modello •^

Calcolo indice di adattamento del modello e significatività modello / coefficienti stimati Eventuale definizione di un nuovo modello di regressione •^

Nel caso in cui il modello stimato non sia adeguato per stimare il fenomeno analizzato, si procede con ladefinizione di un nuovo modello Utilizzo modello per finalità di previsione •^

Utilizzo del modello per finalità pratiche di previsione (nuovi input delle variabili indipendenti ->stima/previsione dei nuovi valori della variabile dipendente sulla base dell’ipotesi che la relazioneindividuata tra le variabili si mantenga valida)

Funzione di Regressione Step Analisi Regressione

Modello Costante r=0 polinomio di grado 0 ( costante)

y = a*

Modello Lineare r=1 polinomio di grado 1 (retta)

y = a0 + a1x*

Modello Parabolico r=2 polinomio di grado 2 (parabola)

y = a0 + a1x + a2x*

Funzione di Regressione Regressione Semplice - Specificazione Modello

33 28 23 18 13 8 0

0,^

1

1,^

2

2,^

3

3,

Andamento Y vs X

Osservazioni

Specificato il modello occorre calcolare (stimare) i parametri (a0, a1,a2,… ar) del modello scelto.Si utilizza il

Criterio dei Minimi Quadrati Ordinari

I parametri sono scelti in modo da rendere minima la media dei quadrati degli scarti fra i valori osservati y equelli teorici y*:

L[Y-Y*] = M[(Y

−Y*)

2 ] = M[(Y

−^

a^0

−^ a

X^1

−^ a

2 X 2

−^ a

rX)r

2 ]

L’ottimizzazione

: per determinare i parametri che minimizzano la funzione di perdita, pongo uguali a 0 le

Funzione di Regressione Regressione Semplice – Stima Parametri derivate (parziali) rispetto ai r+1 parametri incogniti e risolvo il sistema di r+1 equazioni in r+1 incognite

Una volta stimato il modello si vuole valutare la bontà di adattamento del modello (quanto il modellodescrive i dati osservati)Con riferimento a un modello completo definiamo l’errore o residuo

E = Y –Y*

Funzione di Regressione Regressione Semplice – Misura Adattamento Condizioni:

-^ M(E)=M(Y-Y*)=

M(Y)=M(Y*)

media dei valori osservati=media dei valori teorici • Var(E)=M(E

2 )-[M(E)]

2 =M(E

Funzione di Regressione Esercizio 1) 2)

y = 6,8x + 10,533R² = 0,

33 28 23 18 13 8 0

0,^

1

1,^

2

2,^

3

3,

Andamento Y vs X

Osservazioni Medie Condizionate Lineare (Osservazioni)

Y|X = 1

N

10

n= 1^1

20

n= 1^2

30

n= 0^3

Y|X = 2

N

10

n= 0^1

20

n= 2^2

30

n= 3^3

Y|X = 3

N

10

n= 0^1

20

n= 0^2

30

n= 5^3

μ(xY

μ(xY

μ(xY

Rapporto di Correlazione =

Funzione di Regressione Esercizio

μ(xY

μ(xY

μ(xY

Y|X = 1

N

10

n= 1^1

20

n= 1^2

30

n= 0^3

Y|X = 2

N

10

n= 0^1

20

n= 2^2

30

n= 3^3

Y|X = 3

N

10

n= 0^1

20

n= 0^2

30

n= 5^3

(^2) σ (xY

(^2) σ (xY

(^2) σY (x^1