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ALGEBRA (Parte I)
Nel seguito diamo per note le notazioni, le definizioni di inclusione, uguaglianza e operazioni su insiemi e le relative proprietà.
Relazioni
Ricordiamo che si chiama prodotto cartesiano degli n insiemi A 1 , A 2 , …, An , l’insieme
A 1 × A 2 ×…× An = {( a 1 , a 2 , …, an ) | ai ∈ Ai , i =1,2,… n }
Notiamo che gli elementi del prodotto cartesiano sono n -uple ordinate ed è quindi rilevante l’ordine in cui si considerano gli insiemi. Per convenzione, se n = 1 il prodotto cartesiano si riduce ad A 1.
Si chiama relazione R ( n -aria o di arità n ) fra gli n insiemi A 1 , A 2 , …, An un qualsiasi sottoinsieme di A 1 × A 2 ×…× An.
Siano ora R ⊆ A 1 × A 2 ×…× An e T ⊆ A 1 × A 2 ×…× An due relazioni fra gli n insiemi A 1 , A 2 , …, An. Dalle definizioni insiemistiche si ha:
R ⊆ T sse per ogni ( a 1 , a 2 , …, an )∈ R si ha ( a 1 , a 2 , …, an ) ∈ T. R = T sse R ⊆ T e T ⊆ R. R ⊂ T sse R ⊆ T ed esiste almeno una n -upla ( a’ 1 , a’ 2 , …, a’n )∈ T tale che ( a’ 1 , a’ 2 , …, a’n )∉ R R ∩ T ={( a 1 , a 2 , …, an )| ( a 1 , a 2 , …, an )∈ R e ( a 1 , a 2 , …, an )∈ T } R ∪ T ={( a 1 , a 2 , …, an )| ( a 1 , a 2 , …, an )∈ R o ( a 1 , a 2 , …, an )∈T}.
Come è ben noto dalle nozioni sulla teoria degli insiemi, le definizioni di intersezione ed unione si possono estendere ad una famiglia arbitraria di relazioni fra gli n insiemi A 1 , A 2 , …, An. Pertanto se consideriamo una famiglia di relazioni { Ri | i ∈ I } fra A 1 , A 2 , …, An , dove l’indice i varia in un qualsiasi insieme I , usiamo le seguenti notazioni
{ ( 1 2 n ) ( 1 2 n ) i }
i I
Ri = a,a ,...,a | ∀ i ∈ I a,a ,...,a ∈ R ∈
I
{ ( 1 2 n ) ( 1 2 n ) i }
i I
Ri = a,a ,...,a | ∃ i ∈ I a,a ,...,a ∈ R ∈
U
Le operazioni fra relazioni godono ovviamente delle proprietà ben note per le operazioni insiemistiche.
Relazioni binarie
Consideremo nel seguito il caso n = 2, cioè le relazioni binarie o di arità 2. Se R è una relazione binaria la notazione a 1 R a 2 ha lo stesso significato della scrittura ( a 1 , a 2 ) ∈ R.
Nel caso in cui gli insiemi A 1 ed A 2 con cui lavoriamo contengano un numero finito di elementi (indicheremo rispettivamente con | A 1 | e | A 2 | tali numeri), una relazione R ⊆ A 1 × A 2 potrà essere utilmente rappresentata attraverso:
- il grafo di incidenza. Un grafo (orientato) è una coppia di insiemi ( V , E ), V è l’insieme dei vertici, E è l’insieme degli archi, ogni arco può essere pensato come una coppia di vertici, il primo elemento della coppia si dice vertice iniziale dell’arco, il secondo vertice finale. Un grafo si può disegnare rappresentando i suoi vertici come punti ed i suoi archi come frecce dal vertice iniziale al vertice finale. In particolare se partiamo da una relazione R ⊆ A 1 × A 2 si dice grafo di incidenza di R il grafo il cui insieme di vertici è A 1 ∪ A 2 e il cui insieme di archi è R.
Esempio: Siano A 1 ={ a,b,c }, A 2 ={ x,y,z,w }, R ={( a,x ),( a,w ),( b,x ),( b,y ),( b,z )}, il grafo di incidenza di R è
- la matrice di incidenza. Dopo aver fissato un ordine fra gli | A 1 | elementi di A 1 e fra gli | A 2 | elementi di A 2 (ad esempio quello in cui vengono elencati gli elementi in ciascun insieme) la matrice di incidenza di R è una matrice con | A 1 | righe ed | A 2 | colonne, con elementi in {0,1}, tale che il suo elemento di posto ( i,k ) è 1 se e solo se la coppia costituita dall’ i -esimo elemento di A 1 e dal j -esimo elemento di A 2 appartiene ad R.
Facendo riferimento all’esempio precedente (usando come ordine degli elementi dei due insiemi quello alfabetico) la matrice di incidenza di R è
M R
Osserviamo che, date le matrici di incidenza MR , MT di due relazioni binarie R , T ⊆ A 1 × A 2 , si possono immediatamente ottenere la matrice di incidenza di R ∩ T (facendo il prodotto elemento per elemento di MR con MT ) e quella di R ∪ T (facendo la somma di MR con MT e ponendo uguale ad 1 tutti gli elementi della somma maggiori di 0).
Siano ora date le relazioni R ⊆ A 1 × A 2 e T ⊆ A 2 × A 3. Si chiama prodotto delle due relazioni la
relazione R ⋅ T ⊆ A 1 × A 3 così definita:
R ⋅ T ={( a 1 , a 3 ) | ∃ a 2 : ( a 1 , a 2 )∈ R e ( a 2 , a 3 )∈ T }
(ovviamente, per come sono definite le relazioni R e T , ( a 1 ,a 2 ) ∈ R e ( a 2 ,a 3 ) ∈ T implicano a 1 ∈ A 1 , a 2 ∈ A 2 , a 3 ∈ A 3 ). Notare la somiglianza col prodotto di matrici.
a •
b •
c •
Per definizione ( a 1 ,a 4 ) ∈ ( R ⋅ T )⋅ S implica che esiste un a 3 tale che ( a 1 ,a 3 ) ∈ R ⋅ T e ( a 3 ,a 4 ) ∈ S. Ancora per definizione ( a 1 ,a 3 )∈ R ⋅ T implica che esiste un a 2 tale che ( a 1 ,a 2 ) ∈ R e ( a 2 ,a 3 ) ∈ T. Ora, ( a 2 ,a 3 ) ∈ T e ( a 3 ,a 4 ) ∈ S implicano ( a 2 ,a 4 ) ∈ T ⋅ S e questa con ( a 1 ,a 2 ) ∈ R implica ( a 1 ,a 4 ) ∈ R ⋅ ( T ⋅ S ). Analogamente si prova che R ⋅( T ⋅ S ) ⊆ ( R ⋅ T )⋅ S cioè che ( a 1 ,a 4 ) ∈ R ⋅ ( T ⋅ S ) implica ( a 1 ,a 4 ) ∈ ( R ⋅ T )⋅ S.
- è compatibile con l’inclusione , cioè se R ⊆ T ⊆ A 1 × A 2 , S ⊆ A 2 × A 3 , V ⊆ A 4 × A 1 si ha
R ⋅ S ⊆ T ⋅ S e V ⋅ R ⊆ V ⋅ T.
Da questo si deduce anche che se R ⊆ T ⊆ A 1 × A 2 , S ⊆ U ⊆ A 2 × A 3 si ha
R ⋅ S ⊆ T ⋅ U.
Si osservi che se R ⊂ T ⊆ A 1 × A 2 , S ⊆ A 2 × A 3 , possiamo solo concludere che R ⋅ S ⊆ T ⋅ S e non
che R ⋅ S ⊂ T ⋅ S ; analogamente se R ⊂ T ⊆ A 1 × A 2 , V ⊆ A 4 × A 1 possiamo solo concludere che
V ⋅ R ⊆ V ⋅ T e se R ⊂ T ⊆ A 1 × A 2 , S ⊂ U ⊆ A 2 × A 3 possiamo solo concludere che
R ⋅ S ⊆ T ⋅ U ( fare per esercizio ).
Il prodotto di relazioni non è commutativo , infatti date R ⊆ A 1 × A 2 e T ⊆ A 2 × A 3 , R ⋅ T è sempre
definito, mentre T ⋅ R è definito solo se gli insiemi A 1 e A 3 coincidono ed in tal caso R ⋅ T ⊆ A 1 × A 1 e
T ⋅ R ⊆ A 2 × A 2 , quindi R ⋅ T e T ⋅ R sono relazioni fra la stessa coppia di insiemi se e solo se anche gli
insiemi A 1 e A 2 coincidono, ma anche in questo caso in genere R ⋅ T ≠ T ⋅ R. Basta a tale scopo
considerere A 1 ={ a , b }, R ={( a , b )}, T={( b , b )}, si ha R ⋅ T ={( a , b )} e T ⋅ R =∅.
Se R ⋅ T = T ⋅ R , le relazioni T ed R si dicono permutabili.
Si dice relazione inversa di R ⊆ A 1 × A 2 la relazione R
R
- ={( a 2 ,a 1 ) | ( a 1 ,a 2 )∈ R }.
Nel caso in cui A 1 , A 2 siano finiti, il grafo di incidenza di R
- si ottiene da quello di R invertendo la
direzione delle frecce e la matrice di incidenza di R
- è la trasposta di quella di R.
La relazione IA 1 ={( a 1 ,a 1 )| a 1 ∈ A 1 } è detta relazione identica su A 1 , osserviamo che si ha
IA 1 ⋅ R = R per ogni R ⊆ A 1 × A 2
ed analogamente considerata la relazione identica su A 2 , IA 2 = {( a 2 ,a 2 )| a 1 ∈ A 2 }, si ha
R ⋅ IA 2 = R per ogni R ⊆ A 1 × A 2.
In generale si ha però R ⋅ R
- ≠ IA 1 ed R - ⋅ R ≠ IA 2.
Relazioni binarie su un insieme A
Consideriamo di seguito il caso particolare in cui gli insiemi A 1 e A 2 coincidono, ci occupiamo quindi delle relazioni R ⊆ A 1 × A 1 , che chiamiamo relazioni binarie su A 1 (nel seguito elimineremo l’indice 1 ).
Tra le relazioni binarie su A ci sono la relazione vuota, indicata con ∅, la relazione identica su A ,
indicata con IA e la relazione A × A , detta relazione universale su A ed indicata con ω A.
Data una relazione binaria R su A , in virtù delle definizione di prodotto e della proprietà associative del prodotto, possiamo definire le potenze ad esponente positivo di R ponendo
R
m
= R ⋅ R ⋅ … ⋅ R ( m volte).
Per convenzione poniamo anche R 0 = IA.
Per la proprietà associativa del prodotto e per il fatto che IA ⋅ R = R ⋅ IA = R per ogni R ⊆ A × A , continuano a sussistere, per esponenti interi non negativi, le proprietà formali delle potenze:
m
⋅ R
n = R
m + n = R
n
⋅ R
m ,
Poiché abbiamo parlato di relazione inversa potrebbe venir spontaneo definire R
m ( m <0) come
R
m = R
- ⋅ R - ⋅…⋅ R - ( -m volte), va notato che essendo in generale R ⋅ R - ≠ IA ed R - ⋅ R ≠ IA , la
proprietà R
m
⋅ R
n = R
n
⋅ R
m = R
m + n non vale in generale per esponenti interi (cioè per esponenti anche negativi).
Esercizio: Cosa succede di tale proprietà se m ed n sono entrambi negativi? Cosa succede della seconda proprietà per m,n interi generici?
Le relazioni binarie su un insieme A finito, possono essere facilmente rappresentate col grafo e con la matrice di incidenza (che sarà una matrice quadrata). Nel grafo di incidenza l’insieme dei vertici è A (= A ∪ A ) e quindi tra gli archi ci possono essere degli autoanelli basati su un vertice a , per indicare che ( a,a )∈ R , e delle frecce bidirezionali fra due vertici a 1 e a 2 per indicare che entrambe le coppie ( a 1 ,a 2 ) e ( a 2 ,a 1 ) stanno in R.
Le relazioni binarie su un insieme A possono godere di interessanti proprietà; per le applicazioni successive, considereremo in particolare le seguenti:
- proprietà seriale Si dice che una relazione R gode della proprietà seriale (o semplicemente è seriale) se per ogni a ∈ A esiste (almeno) un a 1 ∈ A tale che ( a,a 1 )∈ R. In termini di grafo di incidenza una relazione è seriale se e solo se da ogni vertice parte almeno un arco, in termini di matrice di incidenza una relazione è seriale se e solo se in ogni riga della matrice c’è almeno un 1.
IA e ω A sono relazioni seriali.
- proprietà riflessiva Si dice che una relazione R gode della proprietà riflessiva (o semplicemente è riflessiva) se per ogni a ∈ A si ha ( a,a )∈ R. Si può facilmente provare che una relazione è riflessiva se e solo se IA ⊆ R. In termini di grafo di incidenza una relazione è riflessiva se e solo se da ogni vertice parte un autoanello, in termini di matrice di incidenza una relazione è riflessiva se e solo se la diagonale principale è tutta fatta di 1.
IA e ω A sono relazioni riflessive.
- proprietà simmetrica Si dice che una relazione R gode della proprietà simmetrica (o semplicemente è simmetrica) se per ogni a 1 ,a 2 ∈ A , ( a 1 ,a 2 ) ∈ R implica ( a 2 ,a 1 ) ∈ R. Si può facilmente provare che una relazione è simmetrica se e solo se R - ⊆ R.
- anche se R e T sono antisimmetriche, R ⋅ T in generale non è antisimmetrica: basta prendere A = { a,b,c }, R = {( a,b ),( c,b )}, T = {( b,a ),( b,c )}, R e T sono antisimmetriche ma
R ⋅ T = {( a,a ),( a,c ),( c,a ),( c,c )} non è antisimmetrica;
- se R è transitiva anche R -1^ è transitiva;
- se R e T sono transitive anche R ∩ T è transitiva;
- se R e T sono transitive R ∪ T in generale non è transitiva: basta prendere A = { a,b,c }, R ={( a,b )}, T = {( b,c )};
- se R e T sono transitive R ⋅ T in generale non è transitiva: basta prendere
A = { a,b,c,d }, R ={( a,b ),( c,d )}, T ={( b,c ),( d,d )}, R e T sono transitive ma R ⋅ T ={( a,c ),( c,d )}
non è transitiva;
- se R e T sono transitive e permutabili anche R ⋅ T è transitiva.
Riassumendo, per quanto riguarda le inclusioni le proprietà si conservano in accordo alla seguente tabella, se T ⊂ R ⊂ S
T R S no seriale sì no riflessiva sì no simmetrica no sì antisimmetrica no no transitiva no
Per quanto riguarda le operazioni di intersezione, unione, prodotto, passaggio alla relazione inversa le proprietà si conservano in accordo alla seguente tabella
R T R ∩ T R ∪ T R ⋅ T R -^1
seriale seriale no sì sì no riflessiva riflessiva sì sì sì sì simmetrica simmetrica sì sì no sì antisimmetrica antisimmetrica sì no no sì transitiva transitiva sì no no sì
Consideriamo ora un insieme P di proprietà di cui le relazioni binarie possono godere. Sia R ⊆ A × A una relazione binaria su A , chiamiamo chiusura di R rispetto a P o P -chiusura di R una relazione T ⊆ A × A tale che:
- R ⊆ T ;
- T gode di tutte le proprietà in P ;
- se S ⊆ A × A è una relazione che gode di tutte le proprietà in P e contiene R , allora contiene anche T.
In altre parole la P -chiusura di R , se esiste, è la minima relazione che contiene R e ha tutte le proprietà in P.
La P-chiusura di R se esiste è unica. Supponiamo infatti che T ed S siano due P -chiusure di R ; dovendo soddisfare la 1) e la 2) entrambe contengono R e godono di tutte le proprietà in P , ma allora per la 3) si ha T ⊆ S ed S ⊆ T , cioè T = S.
La P -chiusura di R può coincidere con R? E se sì, quando? (esercizio)
Osserviamo che se
- esiste almeno una relazione che gode di tutte le proprietà in P e che contiene R e
- l’intersezione di relazioni che godono di tutte le proprietà in P gode ancora di tutte quelle proprietà,
possiamo garantire che esiste la P -chiusura di R. Infatti l’insieme X delle relazioni che contengono R e godono delle proprietà in P non è vuoto , l’intersezione T di tutte le relazioni appartenenti ad X è una relazione che contiene ancora R ed ha tutte le proprietà in P. Inoltre T , per come è costruita, è contenuta in tutte le relazioni che contengono R e godono delle proprietà in P (che sono elementi di X ).
Possiamo allora concludere che esistono la chiusura riflessiva, la chiusura simmetrica e la chiusura transitiva di una qualsiasi relazione R_._
In generale invece non esiste la chiusura seriale di una relazione R , basta considerare A = { a,b }, R ={( a,b )}, per trovare una relazione seriale che contenga R dobbiamo aggiungere ad R una coppia il cui primo elemento sia b , quindi ( b,a ) o ( b,b ). Nel primo caso otteniamo T = {( a,b ),( b,a )}, nel secondo S = {( a,b ),( b,b )}. Le relazioni T e S sono entrambe seriali e contengono entrambe R ma né T ⊆ S nè S ⊆ T.
In generale non esiste neppure la chiusura antisimmetrica di una relazione R , infatti se R non è antisimmetrica, nessuna relazione che contenga R può essere antisimmetrica.
Vogliamo ora dare un metodo per costruire la chiusura riflessiva, la chiusura simmetrica e la chiusura transitiva di R :
- la chiusura riflessiva di R è la relazione R ∪ IA ;
la chiusura simmetrica di R è la relazione R ∪ R
;
- la chiusura transitiva di R è la relazione n n 0
U^ R
(ovviamente n è un intero)
Verifichiamo come esempio l’ultima di queste affermazioni (le altre sono quasi ovvie).
Dobbiamo provare che la relazione T = n n 0
U R
- contiene R e questo è immediato;
- è transitiva, infatti se ( a 1 ,a 2 )∈ T ed ( a 2 ,a 3 )∈ T esistono due interi m,n >0 tali che ( a 1 ,a 2 )∈ Rn^ ed ( a 2 ,a 3 )∈ Rm^ e dunque ( a 1 ,a 3 )∈ Rn+m^ ⊆ T.
- è contenuta in ogni relazione transitiva che contenga R ; infatti sia S una relazione transitiva che contenga R , si ha R^2 ⊆ S^2 perché il prodotto di relazioni è compatibile con l’inclusione, inoltre S^2 ⊆ S per la transitività di S , dunque R^2 ⊆ S. Di nuovo per la compatibilità del prodotto con l’inclusione e per la transitività di S si ha R^3 ⊆ S^2 ⊆ S e ripetendo lo stesso ragionamento (formalizzare bene con l’induzione per esercizio) si ottiene Rn^ ⊆ S per ogni n > 0 e dunque T ⊆ S.
Notare bene che in genere non basta fare R ∪ R
2 per trovare la chiusura transitiva di R , a tal proposito basta considerare A = { a,b,c,d }, R = {( a,b ),( b,c ),( c,d )}. Risulta R 2 = {( a,c ),( b,d )}, quindi R ∪ R 2 = {( a,b ),( b,c ),( c,d ),( a,c ),( b,d )} non è transitiva. Per avere una relazione transitiva bisogna aggiungere ad R la coppia ( a,d ) che appartiene ad R
3
. In questo caso quindi la chiusura transitiva di R è R ∪ R
2 ∪ R
3 (le potenze successive di R sono infatti vuote).
Si ha MR =
e quindi MR 2 =( MR )^2 =
da cui MR ∪ R 2 =
, ora poiché
MR 3 =( MR )^3 =
si ottiene MR ∪ R (^2) ∪ R 3 = MR ∪ R 2 = MR ∪ R (^2) ∪ R (^3) ∪ R (^4) ∪ …..
Calcoliamo la chiusura simmetrica e transitiva di R. Si ha
R ∪ R
- ={( a,a ),( a,b ),( b,d ),( c,d ),( b,a ),( d,b ),( d,c )}, da cui
( R ∪ R
- )^2 ={( a,a ),( a,b ),( a,d ),( b,b ),( b,c ),( c,b ),( c,c )} e
( R ∪ R
- )^3 = {( a,a ),( a,b ),( a,d ),( a,c ),( b , b ),( b , c ),( c , b ),( c , c )}.
Osservando il modo in cui queste chiusure si presentano, la prima è la chiusura riflessiva della chiusura simmetrica di R , la seconda è la chiusura riflessiva della chiusura transitiva di R , tuttavia avremmo ottenuto lo stesso risultato se avessimo fatto rispettivamente la chiusura simmetrica della chiusura riflessiva e la chiusura transitiva della chiusura riflessiva. La chiusura simmetrica e transitiva di R è la chiusura transitiva della chiusura simmetrica di R , in questo caso va notato che facendo la chiusura simmetrica della chiusura transitiva di R , calcolando
cioè
1
n 0
n n 0
Rn^ R
−
U U , non avremmo in generale ottenuto la relazione cercata, infatti la relazione
1
n 0
n n 0
Rn^ R
−
U U può non essere transitiva (ricordarsi che l’unione di relazioni transitive non è
necessariamente transitiva).
A tal scopo basta considerare A = { a,b,c }, R = {( a,b ),( b,c )}; risulta (^) U n 0
Rn
= {( a,b ),( b,c ),( a,c )} e
dunque
1
n 0
n n 0
Rn^ R
−
U U ={( a,b ),( b,c ),( a,c ),( b,a ),( c,b ),( c,a )}^ che non è transitiva.
Analogamente la chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva di R è la chiusura transitiva della chiusura riflessiva e simmetrica di R , se avessimo fatto la chiusura simmetrica della chiusura riflessiva e transitiva di R in generale non avremmo trovato il risultato voluto (avremmo potuto perdere la transitività).
Esercizio: Facendo la chiusura riflessiva della chiusura simmetrica e transitiva di R , otteniamo la chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva di R?
Relazioni di equivalenza
Una relazione binaria R su A che goda delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva si chiama relazione di equivalenza su A.
Esempi
- La relazione di uguaglianza sull’insieme N dei numeri naturali è una delle prime relazioni di equivalenza che si incontrano;
- La relazione di similitudine tra i triangoli di un piano è una relazione di equivalenza ben nota;
- Siano Z l’insieme degli interi relativi ed n un intero maggiore di 1 fissato. La relazione R ⊆ Z × Z definita ponendo ( r,s )∈ R se e solo se n divide r - s (nel seguito scriveremo r ≡ s (mod n ) per indicare che ( r,s )∈ R e scriveremo n | m per dire che n divide m, cioè che esiste k appartenente ad N tale che m = k n) è una relazione di equivalenza, detta relazione di congruenza modulo n. Infatti per ogni r ∈ Z si ha r ≡ r (mod n ) perché n | 0 = r - r , quindi la relazione è riflessiva;
se r ≡ s (mod n ), cioè se n | r - s , questo significa che esiste un h ∈ Z tale che r - s = h ⋅ n e quindi
s - r = (- h ) ⋅ n , cioè n | s - r da cui s ≡ r (mod n ), quindi la relazione è simmetrica; se r ≡ s (mod n ) e s ≡ t (mod n ), cioè se n divide r - s ed n divide s - t , allora esistono h, k ∈ Z
tali che r - s = h ⋅ n e s - t = k ⋅ n. Sommando membro a membro queste due uguaglianze si
ottiene r – t = ( h + k ) n , ovvero n | r - t da cui r ≡ t (mod n ), quindi la relazione è transitiva.
- Ricordiamo che due matrici A , B quadrate di ordine n (a coefficienti reali) si dicono simili se esiste una matrice P (quadrata di ordine n e non singolare) tale che A = P -1 BP (riguardare gli appunti di Geometria ed Algebra Lineare). La relazione di similitudine è una relazione di equivalenza nell’insieme delle matrici quadrate di ordine n (a coefficienti reali). Verifichiamo che la relazione di similitudine gode della proprietà riflessiva, dobbiamo cioè trovare per ogni matrice A quadrata di ordine n una matrice P tale che A = P -1 AP (facile in quanto P = In , matrice identica di ordine n ). Verifichiamo che la relazione di similitudine gode della proprietà simmetrica, dobbiamo cioè provare che se A è simile a B , cioè se esiste una matrice P tale che A = P -1 BP , allora B è simile ad A , cioè esiste una matrice Q tale che B = Q -1 AQ. Per far ciò, moltiplichiamo primo e secondo membro di A = P -1 BP entrambi per P e P -1^ , otteniamo PAP - = P ( P -1 BP ) P -1^ = ( PP -1) B ( PP -1)=B, da cui, ricordando che P = ( P -1) -1, abbiamo anche B = ( P -1) -1 AP -1^ e quindi ricaviamo che B è simile ad A (basta prendere Q = P -1). Verifichiamo infine che la relazione di similitudine gode della proprietà transitiva, dobbiamo cioè provare che se A è simile a B e B è simile a C , cioè se esistono due matrici P e Q tali che A = P -1 BP e B = Q -1 CQ , allora A è simile a C , cioè esiste una matrice D tale che A = D -1 CD. Per far ciò, sostituiamo in A = P -1 BP al posto della matrice B la matrice Q -1 CQ , otteniamo allora A = P -1( Q -1 CQ ) P = ( P -1 Q -1) C ( QP ) = B , da cui ricordando che ( P -1 Q -1) = ( QP )-1^ abbiamo che A = ( QP ) -1 C ( QP ) è simile a C (porre D = QP ).
- Nell’insieme di tutti gli uomini la relazione che associa due uomini se e solo se essi sono nati nello stesso anno è una relazione di equivalenza.
Osserviamo che la chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva di una relazione R è una relazione d’equivalenza ed è la minima relazione di equivalenza che contiene R , tale relazione viene anche chiamata chiusura di equivalenza di R o più comunemente relazione d’equivalenza generata da R.
Nel seguito denoteremo le relazioni di equivalenza con le lettere minuscole dell’alfabeto greco.
Esercizi
L’intersezione di relazioni di equivalenza è una relazione d’equivalenza?
L’unione di relazioni di equivalenza è una relazione d’equivalenza?
Il prodotto di relazioni di equivalenza è una relazione d’equivalenza?
La relazione inversa di una relazione di equivalenza è una relazione d’equivalenza?
Giustificare brevemente le risposte positive e fornire un controesempio nel caso di risposta negativa.
Si definisce ρ ponendo ( a,b ) ∈ ρ se e solo se a,b stanno nello stesso elemento della partizione, il resto è quasi ovvio.
L’insieme delle ρ -classi di A si dice insieme quoziente di A rispetto a ρ e si indica con A/ ρ. Dunque
A/ ρ = { ρ a | a ∈ A }.
Esempi
- Determinare l’insieme quoziente di Z rispetto alla relazione di congruenza modulo 3. Osserviamo che la classe che contiene 0 è formata da tutti e soli gli interi m tali che 3 | m - 0, cioè da tutti e soli i multipli di 3. Tale classe coincide con la classe che ha per rappresentante 3 (in quanto 3 appartiene sia alla classe che ha per rappresentante 0 sia alla classe che ha come rappresentante 3 e due classi che hanno un elemento comune coincidono); lo stesso argomento si può usare per provare che la classe che ha come rappresentante 0 coincide con ogni classe che abbia per rappresentante un intero della forma 3 h con h intero relativo. La classe che contiene 1 è formata da tutti e soli gli interi m tali che 3 | m - 1, cioè da tutti e soli i numeri della forma 3 h +1 con h intero relativo; la classe di 2 è formata da tutti e soli gli interi m tali che 3 | m - 2, cioè da tutti e soli i numeri della forma 3 h +2 con h intero relativo. Queste 3 classi sono una partizione di Z e pertanto sono le sole classi distinte di Z rispetto alla relazione di congruenza modulo 3 e sono pertanto i 3 elementi dell’insieme quoziente di Z rispetto alla relazione di congruenza modulo 3; tale insieme viene di solito indicato con Z 3 e i suoi elementi vengono chiamati classi di resto modulo 3 e denotati con { 0 },{ 1 },{ 2 } (si osservi che i possibili resti della divisione di un intero per 3 sono 0,1,2 e che un intero m sta nella classe { i } se e solo se dividendo m per 3 si ottiene come resto i ) Notiamo che l’insieme quoziente di Z rispetto alla relazione di congruenza modulo n viene di solito indicato con Zn e i suoi elementi vengono chiamati classi di resto modulo n ; con considerazioni analoghe alle precedenti si prova che ci sono n classi distinte { 0 },{ 1 },{ 2 },...,{ n - 1}, dove la generica classe { r } è formata dagli interi della forma nh + r.
- Siano A = { a,b,c,d,e } ed R = {( a,b ),( a,d ),( c,e )}. Determinare la relazione d’equivalenza ρ
generata da R e l’insieme A/ ρ. Dobbiamo costruire la chiusura transitiva della chiusura riflessiva
e simmetrica T di R , quindi T = {( a,b ),( a,d ),( c,e ),( a,a ),( b,b ),( c,c ),( d,d ),( e,e ),( b,a ),( d,a ),( e,c )}. Risulta T^2 = {( a,b ),( a,d ),( c,e ),( a,a ),( b,b ),( c,c ),( d,d ),( e,e ),( b,a ),( d,a ),( e,c ),( b,d ),( d,b )} (aiutarsi col
grafo o con la matrice di incidenza) e T^2 = T^3 , quindi ρ = T ∪ T^2 = T^2. Quindi si ha ρ a = { a,b,d }
in quanto ( a,a ), ( a,b ), ( a,d )∈ ρ mentre ( a,c ), ( a,e )∉ ρ. Ovviamente ρ a = ρ b = ρ d. Si ha poi ρ c
={ c,e } in quanto ( c,e )∈ ρ. Dunque A/ ρ = { ρ a , ρ c }.
- Determinare la relazione d’equivalenza ρ su Z che induce su Z la partizione nei due sottoinsiemi
degli interi pari e degli interi dispari. Due interi sono associati in ρ se e solo se sono entrambi
pari o entrambi dispari, cioè se e solo se la loro differenza è divisibile per 2. La relazione ρ è
dunque la congruenza modulo 2.
- Determinare la relazione d’equivalenza ρ su A = { a,b,c,d,e } che induce su A la partizione
{{ a },{ b,d,e },{ c }}.Ovviamente ρ = {( a,a ),( b,b ),( b,d ),( b,e ),( d,b ),( d,d ),( d,e ),( e,b ),( e,d ),( e,e ),( c,c )}.
Si suggerisce di costruire sia il grafo sia la matrice di incidenza di ρ.
Relazioni d’ordine
Una relazione binaria R su A che goda delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva si chiama relazione d’ordine su A. Inoltre, se per ogni coppia di elementi a , b di A si ha o ( a,b )∈ R o ( b,a )∈ R , R si dice relazione d’ordine totale. Se invece esistono due elementi in A tali che né ( a,b )∈ R né ( b,a )∈ R , tali elementi si dicono non confrontabili rispetto ad R.
Un insieme su cui sia data una relazione d’ordine si chiama insieme parzialmente ordinato o poset (da p artially o rdered set ). Nel caso in cui la relazione sia totale e si voglia evidenziare questo fatto si parla di insieme totalmente ordinato.
Esempi.
- La usuale relazione ≤ è una relazione d’ordine totale su tutti gli insiemi numarici N , Z , Q , R.
- Considerato l’insieme delle parti di un insieme A , denotato con P ( A ), la relazione di inclusione debole ⊆ è una relazione d’ordine su P ( A ) e non è totale, se A contiene almeno due elementi.
- La relazione di divisibilità “|” è una relazione d’ordine su N e non è totale.
- La relazione di divisibilità non è una relazione d’ordine sull’insieme dei numeri interi Z (esercizio).
Osserviamo che la proprietà riflessiva può sembrare una richiesta un po’ forte in quanto richiedendo questa proprietà non sono chiamate relazioni d’ordine la usuale relazione < in N (e in Z , Q , R , C ) e l’inclusione forte ⊂ di insiemi in P ( A ). Alcuni testi quindi non richiedono la riflessività, ma in tal caso risulta essere una relazione d’ordine la relazione quella vuota ∅ rispetto alla quale però tutte le coppie di elementi sarebbero formate da elementi non confrontabili. In genere nei testi di matematica è richiesta la proprietà riflessiva ed in quelli di informatica no.
Se R è una relazione d’ordine su A si usa per convenzione scrivere a ≤ b o b ≥ a per dire che ( a,b )∈ R.
Esercizi
L’intersezione di relazioni d’ordine è una relazione d’ordine?
L’unione di relazioni d’ordine è una relazione d’ordine?
Il prodotto di relazioni d’ordine è una relazione d’ordine?
La relazione inversa di una relazione d’ordine è una relazione d’ordine?
Giustificare brevemente le risposte positive e fornire un controesempio nel caso di risposta negativa.
Osserviamo che data una relazione R non esiste in genere una relazione d’ordine che contenga R perché se R non è antisimmetrica tutte le relazioni che contengono R non sono antisimmetriche. Ci si potrebbe allora chiedere se una relazione antisimmetrica R possa sempre essere contenuta in una relazione d’ordine. Poiché una relazione d’ordine è riflessiva e transitiva, se esistesse una relazione d’ordine contenente R , questa conterrebbe la chiusura riflessiva e transitiva di R. Se tale chiusura non risulta antisimmetrica, allora non esiste una relazione d’ordine che contiene R. Se invece è antisimmetrica è anche una relazione d’ordine e quindi abbiamo trovato una relazione d’ordine che contiene R (che è tra l’altro la minima relazione d’ordine che contiene R ).
Quando si lavora con relazioni d’ordine ≤ su un insieme finito A , si utilizza spesso una versione semplificata del grafo di incidenza di ≤, detto diagramma di Hasse. Questo diagramma si ottiene dal grafo di incidenza usando alcune convenzioni:
- non si rappresentano gli autoanelli (perché su ogni vertice ce n’è uno);
- non si mette la freccia sugli archi (perché ogni arco ha una sola freccia), ma si assume che ogni arco vada dal vertice che sta più in basso a quello che sta più in alto nel disegno;
Chiamiamo estremo superiore di B e lo indichiamo con sup B il minimo, se esiste, dei maggioranti di B (N.B. sempre rispetto alla relazione definita in A !)
Se consideriamo il sottoinsieme B ={2,3} dell’insieme A dell’esempio precedente non esistono minoranti di B e quindi neppure inf B ; 6,12 sono maggioranti di B e si ha sup B =6.
Osserviamo che:
- se B ha un minimo questo è un minorante di B ed è inf B ;
- se B ha un massimo questo è un maggiorante di B ed è sup B ;
- se un minorante di B appartiene a B , allora è il minimo di B ed è inf B ;
- se un maggiorante di B appartiene a B , allora è il massimo di B ed è sup B.
Un insieme parzialmente ordinato tale che per ogni sua coppia di elementi a, b esistano inf { a,b } e sup { a,b } si dice reticolo.
Esempio
L’insieme dell’esempio precedente non è un reticolo, non esiste infatti inf {2,3}.
L’insieme B ={2,4,6,12} rispetto alla relazione d’ordine definita ponendo a≤b sse a divide b è un reticolo (trovare inf e sup di ogni coppia di suoi elementi).
Funzioni
Una relazione f ⊆ A × B tale che (*) per ogni a ∈ A esiste uno ed un solo b ∈ B tale che ( a,b )∈ f si dice funzione (o applicazione) da A a B.
In tal caso si usa la più comune notazione f : A → B e l’unico elemento b associato ad a dalla relazione f viene indicato con f ( a ) e chiamato immagine di a mediante f , l’elemento a viene invece detto controimmagine di b. Si utilizzano anche le notazioni f ( A ) per indicare l’insieme { f ( a )| a ∈ A } ed f -1( b ) per indicare l’insieme { a ∈ A | f ( a ) = b }.
Se A e B sono insiemi finiti e si considera la rappresentazione di f tramite il suo grafo di incidenza, f è una funzione se e solo se c’è uno e un solo arco uscente da ogni vertice che rappresenta un elemento di A , se invece si rappresenta f tramite la matrice di incidenza f è una funzione se e solo se nella matrice di incidenza di f c’è uno ed un solo 1 su ogni riga.
Siano ora f : A → B e g : B → C due funzioni, è facile provare che il prodotto di f per g , pensate come
relazioni, è una funzione f ⋅ g : A → C definita da f ⋅ g ( a )= g ( f ( a ) ) per ogni a ∈ A.
Infatti sappiamo che f ⋅ g è seriale (essendo sia f sia g seriali) e quindi per ogni a ∈ A esiste almeno un c ∈ C tale che ( a,c )∈ f ⋅ g. Supponiamo ora ( a,c )∈ f ⋅ g e proviamo che c = g ( f ( a ) ), da ( a,c )∈ f ⋅ g per definizione di prodotto esiste un b tale che ( a,b )∈ f e ( b,c )∈ g ma poiché f è una funzione l’elemento b ∈ B tale che ( a,b )∈ f è unico ed è b = f ( a ) da cui ( f ( a ), c )∈ g ma poiché g è una funzione anche c è unico e risulta c = g ( f ( a ) ).
La funzione f ⋅ g appena definita viene detta prodotto delle due funzioni f e g.
Il prodotto di funzioni è ovviamente associativo (essendo un prodotto di relazioni), in generale non è commutativo.
Osserviamo inoltre che la relazione identica su A , IA , è una funzione da A ad A , che in questo
contesto viene spesso indicata con ι A ; si ha ovviamente che ι A ⋅ f = f = f ⋅ ι B.
Osserviamo invece che la relazione inversa f -1^ di una funzione f non è in generale una funzione.
E’ naturale la domanda: quando la relazione inversa f -1^ di una funzione f è una funzione?
A tal scopo introduciamo le seguenti definizioni:
- Una funzione f è iniettiva se ogni b ∈ B ha al più una controimmagine in A , o equivalentemente se f ( a 1 ) = f ( a 2 ) allora a 1 = a 2 , o equivalentemente se a 1 ≠ a 2 allora f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ).
Naturalmente per verificare che una relazione f è una funzione iniettiva si deve anche verificare la condizione (*).
Rappresentando la relazione f tramite la sua matrice di incidenza (se possibile) si ha che f è una funzione iniettiva se e solo se su ogni riga della matrice c’è uno ed un solo 1 e su ogni colonna al più un 1. Rappresentando la relazione f tramite il suo grafo di incidenza (se possibile) si ha che f è una funzione iniettiva se e solo se da ogni vertice che rappresenta un elemento di A esce uno ed un solo arco e ad ogni vertice che rappresenta un elemento di B arriva al più un arco.
E’ immediato provare che
_- il prodotto di due funzioni iniettive è una funzione iniettiva;
- se il prodotto_ f ⋅ g delle funzioni f e g è iniettivo allora f è iniettiva. Infatti se f non fosse iniettiva esisterebbero a 1 ≠ a 2 tali che f ( a 1 ) = f ( a 2 ), ma allora ovviamente si avrebbe anche f ⋅ g ( a 1 ) = g ( f ( a 1 ) ) = g ( f ( a 2 ) ) = f ⋅ g ( a 2 ), contro l’iniettività di f ⋅ g.
La funzione g può essere non iniettiva anche se f ⋅ g è iniettiva, basta infatti considerare il
seguente esempio: A = { a }, B = { b 1 ,b 2 }, C = { c }, f ( a ) = b 1 , g ( b 1 ) = g ( b 2 ) = c , f ⋅ g è ovviamente
iniettiva, ma g non lo è.
Il prodotto f ⋅ g di due funzioni può non essere iniettivo anche se f è iniettiva, basta infatti
considerare il seguente esempio: A = { a 1 ,a 2 }, B = { b 1 ,b 2 }, C = { c }, f ( a 1 ) = b 1 , f ( a 2 ) = b 2 ,
g ( b 1 ) = g ( b 2 ) = c si ha allora f ⋅ g ( a 1 ) = f ⋅ g ( a 2 ) quindi f ⋅ g non è iniettiva, ma f lo è.
- Una funzione f è suriettiva se ogni b ∈ B ha almeno una controimmagine in A , o equivalentemente se f ( A ) = B.
Naturalmente per verificare che una relazione f è una funzione suriettiva va anche verificata la condizione (*).
Rappresentando la relazione f tramite la sua matrice di incidenza (se possibile) si ha che f è una funzione suriettiva se e solo se su ogni riga della matrice c’è uno ed un solo 1 e su ogni colonna almeno un 1. Rappresentando la relazione f tramite il suo grafo di incidenza (se possibile) si ha che f è una funzione suriettiva se e solo se da ogni vertice che rappresenta un elemento di A esce uno ed un solo arco e ad ogni vertice che rappresenta un elemento di B arriva almeno un arco.
supponiamo di poter scegliere per ogni b ∈ B nell’insieme delle controimmagini di b un elemento ab e poniamo k ( b ) = ab. La k è ovviamente una funzione ed è inversa sinistra perché per ogni b ∈ B si ha k ⋅ f ( b ) = f ( k ( b ) ) = f ( ab ) = b , cioè k ⋅ f = ιΒ. (La scelta di un elemento fra le controimmagini di b , per ogni b ∈ B è la scelta di un elemento in ciascun insieme di una partizione di A ed è un procedimento che si può facilmente effettuare se l’insieme A è numerabile, in generale però ammettere che tale scelta sia sempre effettuabile porta a conseguenze che non sembrano “troppo naturali”, quando si utilizza questa possibilità di scelta si usa un postulato detto appunto postulato della scelta, e tale uso va dichiarato).
- Se una funzione f ammette inversa sinistra e destra queste coincidono. Siano h , k funzioni tali che f ⋅ h = ι A e k ⋅ f = ι B. Abbiamo allora k = k ⋅ ι A = k ⋅ ( f ⋅ h ) = ( k ⋅ f ) ⋅ h = ι B ⋅ h = h (notare che abbiamo usato, oltre le ipotesi, l’associatività del prodotto di funzioni e le proprietà delle funzioni identiche).
- Una funzione f ammette funzione inversa (sinistra e destra) se e solo se è biunivoca; in tal caso l’inversa è unica e coincide con la relazione inversa di f_._ Conseguenza immediata di quanto sopra.
Dalla costruzione delle inverse destre e sinistre, indicata nella dimostrazione, segue che se f ammette solo inversa sinistra o solo inversa destra queste non sono uniche.
Esempi:
Siano A = { a 1 ,a 2 ,a 3 }, B = { b 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 ,b 5 }, f : A → B definita da f ( ai ) = bi per i = 1,2,3. f è iniettiva ma non suriettiva, dunque f ammette inversa destra. Una possibile inversa destra è la funzione h così definita: h ( bi ) = ai per i = 1,2,3, h ( b 4 ) = h ( b 5 ) = a 1 , ma ovviamente è inversa destra anche una qualsiasi funzione che contenga la relazione inversa di f e che porti b 4 in un elemento di A e b 5 in un elemento di A ; in totale quindi ho nove diverse inverse destre.
Siano A ={ a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 }, B ={ b 1 ,b 2 ,b 3 }, f : A → B definita da f ( a 1 ) = f ( a 2 ) = b 1 , f ( a 3 ) = f ( a 4 ) = b 2 , f ( a 5 ) = b 3. f è suriettiva ma non iniettiva dunque f ammette inversa sinistra. Una possibile inversa sinistra è la k così definita: k ( b 1 ) = a 1 , k ( b 2 ) = a 3 , k ( b 3 ) = a 5 , ma ovviamente è inversa sinistra anche una qualunque funzione che porti b 1 in uno degli elementi di { a 1 ,a 2 } (insieme delle controimmagini di b 1 ) e b 2 in uno degli elementi di { a 3 ,a 4 } (insieme delle controimmagini di b 2 ), quindi in totale abbiamo quattro possibili inverse sinistre di f.
Funzioni e relazioni di equivalenza.
Sia f : A → B una funzione. L’insieme { f -1( b )| b ∈ B } degli insiemi delle controimmagini degli elementi di B è una partizione di A e quindi è l’insieme delle classi di equivalenza di una relazione di equivalenza su A che chiamiamo ker f. E’ facile notare che ker f è definita da ( a 1 ,a 2 )∈ker f sse f ( a 1 ) = f ( a 2 ).
Se consideriamo una relazione di equivalenza ρ su A esiste sempre una funzione suriettiva
h ρ : A → A/ ρ tale che ker h ρ = ρ. La h ρ (detta anche proiezione canonica di A sul suo insieme
quoziente A/ ρ) è definita ponendo h ρ( a )= ρ a.
Il legame fra f : A → B e h ker f : A → A/ker f è illustrato dal seguente teorema (I° teorema di fattorizzazione delle applicazioni):
- Siano f : A →B una funzione e hker f : A →A / ker f la proiezione canonica di A su A / ker f_._
Allora esiste un’unica funzione g : A / ker f →B tale che hker f ⋅ g = f. Inoltre g è iniettiva. In
particolare f è suriettiva se e solo se g è biunivoca
Nel seguito indicheremo con [ a ] la classe di equivalenza di a rispetto a ker f. Osserviamo che per avere hker f ⋅ g = f , dobbiamo porre g ([ a ]) = f ( a ). La g così definita è una funzione infatti se [ a 1 ] = [ a 2 ] abbiamo ( a 1 ,a 2 )∈ ker f e cioè f ( a 1 ) = f ( a 2 ). La funzione g è unica per costruzione ed è iniettiva perché se g ([ a 1 ]) = g ([ a 2 ]), otteniamo subito f ( a 1 ) = f ( a 2 ) e quindi ( a 1 ,a 2 )∈ ker f da cui [ a 1 ]=[ a 2 ].
Questo teorema viene di solito enunciato dicendo:
- Siano f : A →B una funzione e hker f : A →A / ker f la proiezione canonica di A su A / ker f_._
Allora esiste un’unica funzione g : A / ker f → B che rende commutativo il seguente
diagramma:
Inoltre g è iniettiva ed è biunivoca se e solo se f è suriettiva.
(dire che un diagramma è commutativo significa che comunque ci muoviamo lungo le direzioni permesse da quel diagramma, quando arriviamo ad uno stesso punto otteniamo lo stesso risultato: quindi, nel nostro caso, se partiamo da a ∈ A e ci muoviamo lungo la freccia etichettata da f arriviamo all’elemento f ( a )∈ B , se ci muoviamo lungo il cammino composto dalla frecce etichettate con hker f e g otteniamo g ( hker f ( a )) = hker f ⋅ g ( a ), la commutatività del diagramma dice quindi che hke r f ⋅ g = f ).
Osserviamo che come conseguenza del teorema di fattorizzazione si ottiene che f ( A ) è in corrispondenza biunivoca con A / ker f. Inoltre il teorema dice che una qualsiasi funzione f può essere pensata come il prodotto di una funzione suriettiva per una funzione iniettiva.
Osservazione: Nel corso di Geometria ed Algebra lineare avete probabilmente incontrato la nozione di ker di una applicazione lineare f da uno spazio vettoriale V ad uno spazio vettoriale V’. In tal caso ker f è l’insieme delle controimmagini dello 0 di V’. La definizione puo sembrare in questo momento molto diversa, ma possiamo notare che (v 1 ,v 2 ) ∈ ker f secondo la definizione qui data di ker f se e solo se v 1 -v 2 ∈ ker f secondo la definizione data nel corso di Geometria ed Algebra lineare.
Cardinalità di un insieme
Diciamo che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità e scriviamo | A | = | B | se esiste una corrispondenza biunivoca f : A → B (Osserviamo che poiché l’applicazione identica è biunivoca, l’inversa di una applicazione biunivoca è a sua volta biunivoca, il prodotto di applicazioni biunivoche è una funzione biunivoca e quindi si ha subito che:
| A | = | A |,
se | A | = | B | allora | B | = | A |;
se | A | = | B | e | B | = | C | allora | A | = | C |).
A B
A / ker f
f
h ker f
g
