Scarica Inferenza su Variabile: Capitolo 6 - Prof. Testa e più Dispense in PDF di Psicometria solo su Docsity!
DISTRIBUZIONE DELLA V.A. MEDIA CAMPIONARIA
Dato un campione casuale bernoulliano composto da n determinazioni della v.a. multidimensionale X1, X2, …, Xn; le variabili componenti sono indipendenti e identicamente distribuite, possiamo definire come somma campionaria la seguente statistica Il teorema del limite centrale afferma che la v.a. ZU = tende a distribuirsi come una v.a. normale standardizzata All’aumentare del campione, qualunque sia la distribuzione delle v.a. Xi La distribuzione della media campionaria è definita da Ed è centrata attorno al parametro . La varianza della media campionaria , denotata da ²x, è in relazione con l’omologo parametro della variabile nella popolazione: dove ² è la varianza della popolazione. La varianza della media campionaria è direttamente proporzionale alla varianza della popolazione e inversamente proporzionale all’ampiezza del campione. Più il campione è ampio, più la varianza della media campionaria si avvicina a 0; se ogni campione fosse ampio quanto la popolazione la distribuzione della media campionaria avrebbe variabilità nulla. Se invece i campioni avessero ampiezza unitaria, la varianza della media campionaria coinciderebbe con quella della popolazione. La forma assunta dalla distribuzione della media campionaria è normale quando la popolazione da cui deriva è normale. Errore standard DISTRIBUZIONE DELLA V.A. VARIANZA CAMPIONARIA Varianza campionaria Varianza campionaria corretta
LA STIMA PUNTUALE
Stimatore-> è una funzione dei valori osservati sul campione, tale funzione si chiama statistica e definisce una v.a. T(X 1 , X 2 , … Xn) Stima-> è il valore restituito dalla funzione sulle determinazioni di un campione effettivo, t(x 1 , x 2 , … xn) Proprietà degli stimatori: -si parla di stimatore corretto per il parametro se il valore atteso di T coincide con ; in simboli: E(T)=
- se La distorsione B=E(T)- tende a zero quando n tende a infinito si parla di stimatore asintoticamente corretto (media e mediana sono un esempio di stimatore a.c., ma la media è più efficiente, quando uno stimatore è più efficiente di un altro si parla di efficienza assoluta )
- l’efficienza relativa di uno stimatore corretto T rispetto a uno stimatore corretto T’ è il rapporto tra le loro precisioni Se invece ci riferiamo a stimatori non corretti Si può dire che T è uno stimatore consistente se, all’aumentare indefinito della dimensione del campione, la distorsione B e la varianza di T tendono a zero -l’ errore quadratico medio (MSE) è la somma della varianza dell’errore casuale e del quadrato della distorsione MSE= E(T-)². esso misura l’accuratezza dello stimatore, cioè il grado di corrispondenza fra il vero stato di un parametro e la classe infinita delle sue possibili stime T. T è detto stimatore robusto rispetto alla violazione di un certo assunto riguardante la distribuzione che caratterizza una popolazione, se il suo valore non è sensibilmente influenzato dalla violazione medesima. La robustezza significa che l’operatore è meno sensibile alle anomalie. Metodi di stima puntuale: 1. Metodo dei minimi quadrati -> si stima il parametro mediante quel valore che rende minima la somma delle distanze al quadrato tra le osservazioni e il
Stima intervallare di una media -> ci sono 4 casi, a seconda che il campione sia piccolo oppure grande, e che la varianza del parametro nella popolazione sia nota oppure ignota.
1. Campione grande varianza nota Il procedimento di stima di avviene mediante la media campionaria X; poiché questa è distribuita normalmente con media e errore standard , la probabilità di ottenere un valore x che non discosti da per Zc volte l’errore standard è data dalla seguente relazione: dove il valore di z critico è connesso al valore di prescelto. 2. Campione grande e varianza ignota Se non si conosce la varianza occorre stimare ² con la varianza campionaria corretta, s² 3. Campione piccolo e varianza nota Se la variabile nella popolazione ha distribuzione normale, la procedura è la stessa di quella relativa a campioni grandi e varianza nota. 4. Campione piccolo e varianza ignota In assenza di info circa la varianza della popolazione possiamo stimarla attraverso la varianza campionaria corretta. Per ottenere gli intervalli fiduciari utilizziamo la distribuzione t di Student , essa presenta una maggiore dispersione rispetto alla normale e la sua forma varia secondo i cosiddetti gradi di libertà della distribuzione. Nella stima intervallare di una porzione , la varianza ², è data da pq, ovvero le rispettive probabilità di accadimento delle due classi di eventi; l’errore standard è dato quindi da nella stima intervallare di una porzione la varianza si fissa al valore massimo, che si ha con p=q. la precisione della stima intervallare migliora al crescere della numerosità campionaria. Al crescere dell’ ampiezza del campione aumentano i costi di ricerca.
n
Se il campionamento non è affetto da distorsione sappiamo che otterremo una media campionaria tale che: x= Dove è l’errore casuale e è la media della variabile nella popolazione. l’errore standard della distribuzione campionaria delle medie (n) diminuisce all’aumentare della numerosità campionaria: a parità di condizioni, un campione più grande di un altro fornisce rispetto a quest’ultimo una stima dei parametri più accurata. È necessario fissare previamente il livello di fiducia dell’errore che si è disposti ad accettare. TEST DI IPOTESI STATISTICHE L’operazione di stima dei parametri è un procedimento strettamente connesso a un’altra classe di operazioni: i test di ipotesi statistiche. Un’ipotesi statistica è un’affermazione su qualche aspetto distribuzionale di almeno una variabile nella popolazione, che è passibile di un giudizio probabilistico di verità/falsità. Questi test sono procedure formalizzate e accettate nella ricerca scientifica, con le quali si sottopone a falsificazione una certa ipotesi, tecnicamente definita ipotesi nulla , indicata con Ho; l’ ipotesi alternativa , indicata con H 1 , contiene un’affermazione non compatibile con quella dell’ipotesi nulla: Ho e H 1 devono essere mutuamente esclusive. Più alto è il rischio e più alto è il guadagno in caso di vittoria, cioè più solida e informativa è l’ipotesi che ha passato il test. Un’ipotesi statistica non si può mai dire definitivamente provata in quanto nuove ricerche possono mettere in discussione le conoscenze acquisite e falsificare ipotesi che avevano superato anche i test più difficili. L’ipotesi alternativa è un’ipotesi composta: essa afferma l’esistenza di una differenza tra i due parametri che non è riassumibile in un valore puntuale, bensì in un intervallo attorno ad esso. Ipotesi semplice -> garantire un guadagno più elevato per la storia da cui l’ipotesi discende, al costo di un maggiore rischio di essere smentiti al test Ipotesi unidirezionale -> quando l’ipotesi di ricerca prevede il segno di differenza tra il parametro in esame e il valore di riferimento Ipotesi bidirezionale -> quando l’ipotesi di ricerca si limita a prevedere una differenza solo in termini assoluti Le ipotesi da testare devono essere riferite solo ad una determinata caratteristica della popolazione. Una volta formulate le ipotesi, si individua il test adeguato al problema, ogni test richiede che siano verificati determinati assunti.
VERIFICA DI IPOTESI MONOVARIATE
- Il test binomiale sulla probabilità di un evento viene applicato a variabili dicotomiche e permette di testare ipotesi sulla probabilità del verificarsi di un certo evento in un numero n di prove. Obbiettivo : verificare se la probabilità di un evento in n prove è uguale a un valore prefissato Test non parametrico Variabile dicotomica Immaginando di voler testare se la probabilità del verificarsi di un determinato vento sia uguale ad un prefissato valore po possiamo generare un esperimento e osservare se l’evento si verifica oppure no; ma possiamo anche effettuare n prove dello stesso esperimento e basare il nostro test sul numero delle volte in cui l’evento successo si è verificato. Considerando vera l’ipotesi nulla, quale probabilità hanno i singoli valori che costituiscono il supporto della variabile aleatoria binomiale X il valore che individua la relazione di rifiuto viene detto valore critico (xo) e sarà quel valore per il quale il test binomiale si applica solo quando n è piccolo; al tendere di n ad infinito infatti, per il teorema del limite centrale, la distribuzione binomiale tende a quella normale con media np e varianza npq: sarà sufficiente standardizzare il valore osservato di X e usare come distribuzione campionaria la normale standardizzata. Al crescere della numerosità campionaria la binomiale tende alla normale.
- test del chi quadrato per la bontà dell’adattamento: esso permette di verificare una distribuzione teorica, discreta o continua. Obbiettivo : verificare se Z è distribuita nella popolazione come una v.a. f(x) specificata. Test non parametrico Variabile categoriale Per calcolare la statistica X² eseguiamo la seguente formula
Dove nk indica la frequenza empirica di una generica modalità, nk la corrispondente frequenza teorica e K indica il numero di categorie. Se l’ipotesi nulla è vera, la statistica test si distribuisce approssimativamente come la v.a. X² con K-1 gradi di libertà. Una volta dato il valore marginale e fissati i valori di K- 1 celle qualsiasi, il valore di quest’ultima cella è vincolato ad assumere uno e un solo valore. Questo test può essere applicato anche per verificare ipotesi relative a distribuzioni continue. Per quanto riguarda la numerosità campionaria, va detto che questo test si può applicare anche con campioni molto piccoli. Un vincolo però, perché il test abbia una certa potenza è che le frequenze teoriche siano almeno uguali a 1 e che il 20% o più delle celle delle frequenze teoriche non contenga valori inferiori a 5.
- test di Kolmogorov-Smirnov per un solo campione Obbiettivo : confrontare la distribuzione cumulata osservata (Fo) con una distribuzione teorica specificata (Ft) Test non parametrico Variabile ordinale
- test della media di una popolazione Obbiettivo : verificare se la media di X nella popolazione è uguale a un valore dato Test parametrico Variabile cardinale La formula per il calcolo della statistica test Nel caso in cui la media della popolazione è nota ma la varianza è ignota, la formula sarà: al crescere della numerosità campionaria la t di Student tende alla normale
