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Matematica Analisi
A e B sono insiemi. Indicare quale delle seguenti affermazioni è FALSA:
∅⊆ A solo se A non ha elementi
Il risultato di (A ∩ B) ∩∅ è:
A
Se A e B sono due insiemi e A⊂B, delle relazioni A∩B=B, A-B=A e A∩B=B,A-
B=A e A=A∩B=A, si può dire che:
Sono vere la prima e la terza
Indicare quale fra le seguenti relazioni è FALSA:
B⊂A∩B
Se A= {1,2,3} e B= {2,6,7}, allora l'unione dei due insiemi è:
A∪B= {1,2,3,2,6,7}
Se A= {1,2,3}, allora i suoi sottoinsiemi sono:
A,{1},{2},{3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {}
L'intersezione di due insiemi A e B:
Può essere vuota solo se uno dei due insiemi è vuoto
Se A= {1,2,3} e B= {2,6,7}, allora il prodotto cartesiano dei due insiemi è:
A x B= {(1,2), (1,6), (1,7), (2,2), (2,6), (2,7), (3,2), (3,6), (3,7)}
I sottoinsiemi propri e impropri di A = {2; 4; 6} sono in tutto:
Considerare il diagramma di Eulero-Venn in figura. Indicare quale tra le
seguenti affermazioni è falsa:
-A∉T
Indicare quanto vale ((-1)2)1/2:
-1, perchè equivale a (-1)1 facendo il prodotto degli esponenti
Quale delle seguenti affermazioni è vera se x è un qualsiasi numero intero
relativo:
|-x|=|x|
Il reciproco del numero razionale - 1/5 è:
Indicare quale frazione è equivalente alla frazione 5/4:
Si sa che il quoziente di due numeri (a/b) è uguale a 0. Indicare cosa si può dire
dei due numeri:
A=0 e b
Indicare quale delle seguenti frazioni è compresa tra 2 e 3:
Si sa che il prodotto di due numeri è uguale a zero. Indicare cosa si può dire dei
due numeri:
Almeno uno dei due fattori è zero
Calcolare il valore della seguente espressione (25-24)0:
Calcola 23+22:
Esiste una relazione binaria tra due insiemi non vuoti A e B (≠∅) se per ogni
coppia ordinata (a,b) con a∈A e
b∈B se:
Data una proposizione, che riferita agli insiemi abbia un significato
inequivocabile, sussiste uno ed uno solo
dei seguenti fatti a associato a b mediante la proposizione, oppure a non
associato a b mediante la
proposizione
Dati due insiemi non vuoti A e B e la relazione R tra A e B, si definisce
controimmagine di un elemento b∈B:
Quell'elemento dell'insieme A, tale che, se vi si applica la relazione R, si ottiene
l'elemento di partenza b
Dati gli insiemi A, B (≠∅) e la relazione R= (A×B, G) dicesi relazione inversa:
La relazione R-1= (B×A, G-1) dove G-1={(b,a):(a,b)∈G}
L’inversa della relazione vuota è:
La relazione vuota
Considera la funzione da in f (x) = 8 - x. La funzione composta f ° f e' data da:
f(f(x)) =x
Considera le seguenti funzioni da R in R, f(x)=3x e g(x)= x+5. La funzione
composta f o g e' data da:
f(g(x)) = 3x+
Considera le funzioni f(x)=1/x-2x3 e g(x)=3x3-7, la funzione somma e' data da:
<--------RISPOSTA
Considera le funzioni La funzione prodotto e'data da:
<------------ RISPOSTA
Indicare quale/i tra le funzione/i e'/sono pari:
Sia f che h
Indicare quale/i tra le funzione/i e'/sono
dispari:
Sia f che g
Indicare quale tra le seguenti funzioni è crescente:
<------------RISPOSTA
Dato il grafico di funzione, dire quali sono gli intervalli in cui e' strettamente
decrescente:
3x+
La condizione di esistenza dell'equazione:
x ≤ -1 ∪ x ≥ 1
Indicare quanto vale il seguente limite:
Per successione si intende:
Una funzione
La successione non regolare è una successione...
Che non ammette limite
Il seguente limite
Vale +
Indicare quanto vale il seguente limite:
Se allora quanto il seguente limite
vale
Se , indicare quanto vale il limite della successione
per :
Indicare quanto vale il limite seguente:
Indicare quanto vale il seguente limite
Forma indeterminata 0*
Indicare quanto vale 80:
E' una forma indeterminata
Indicare il valore del seguente integrale:
Indicare il valore del seguente limite:
Indicare il valore del seguente limite:
Date le funzioni, allora è vero che...
an * bn e' la forma indeterminata +∞-∞
La funzione ammette:
La retta x=0 come asintoto verticale destro per x? +8 e asintoto verticale
sinistro per x?-
La funzione ...
Ammette la retta y= x come asintoto obliquo completo
L’esistenza dell’asintoto orizzontale destro non esclude l’esistenza dell’asintoto
obliquo sinistro
Indicare quanto vale il limite della funzione:
Non esiste
Indicare qual è la trasformazione che consente di calcolare il limite seguente
limite
<-------------RISPOSTA
Il seguente limite vale:
E
Indicare quanto vale il seguente limite:
Sia la funzione
x=0 discontinuita' eliminabile
Dati in R
3
i vettori S= {(1,1,2); (2,4,6); (-1,2,5); (1,1,10)} essi sono:
un sistema linearmente dipendente perché costituito da 4 vettori in uno spazio
tridimensionale. Il rango è R
Il fatto che un vettore u sia un autovettore di una data matrice A relativo ad un
autovalore λ, significa che u è una soluzione non nulla del sistema omogeneo
del sistema:(A- λl
n
) X=0 con X vettore incognita.
Data la retta (k-1) x +y +k -2=0 determinare il parametro k, affinché la retta
data sia parallela alla retta y=2x-1: k=-
Determinare l’equazione della retta t tangente alla parabola di equazione y= x
2
- 4x nel punto A(1;-3): y=-2x-
Considerati i sottospazi di R
3
V={(x,y,z,)ϵ R
3
X+Y-Z=0}, W={(X,Y,Z) ϵ R
3
:2X-
Y=0}la loro dimensione è:
dimV=2, dimW=
Considerati i sottospazi di R
3
V={(x,y,z,)ϵ R
3
X+Y-Z=0}, W={(X,Y,Z) ϵ R
3
:2X-
Y=0}la loro dimensione
è: B
V
= {(1,0,1), (0,1,1)}, B
W
Considerati i sottospazi di R
3
V={(x,y,z,)ϵ R
3
X+Y-Z=0},W={(X,Y,Z) ϵ R
3
:2X-
Y=0}:
dimV∩W=1 e la sommaV+Wnon è diretta
Considerate A, B matrici moltiplicabili, si ha (AB)
T
=? B
T
A
T
Si stabilisce se il rango della seguente matrice è massimo con l’ausilio del
determinante D=
il rango della matrice non è massimo perché il determinante è nullo
Dato il vettore (1,0) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori
{(1,1), (0,1)} secondo gli scalari: a=1, b=-
Il modulo (o norma) di un segmento orientato rappresenta: un numero non
negativo che rappresenta la distanza tra i due punti, estremi del segmento
orientato, rispetto ad una data misura
Un applicazione lineare conserva sempre: la dipendenza dei vettori
Una funzione monotona in un intervallo [a, b] è: integrabile secondo Riemann
Data una funzione f derivabile n volte in x
, il resto R
n
(x)è: un infinitesimo in X
di ordine superiore a (X-X
n
La serie di Taylor di centro X0 = 0 della funzione f
(x) =X2 +1: 1 + X
La seguente affermazione è corretta: ϕ(t): [a,b]→R
n
è una curva di classe C
essa è rettificabile e la sua lunghezza è data dall’ integrale
(ϕ)=f |ϕ’(t)|dt
Un campo gradiente è: un campo con rotore nullo
L’integrale generale del problema di Cauchy è: y(0) = 1
yy’=
ha soluzione y(x)=
√
4 x + 1
Data una curva γ definita sull’intervallo [a, b] questa si dice rettificabile
quando: sup
p
l(p)partizione dell’intervallo [a,b]
Sia f: A ≤ R2 →R con A aperto, condizione sufficiente affinché f sia
differenziabile in A è
che: esistono le derivate parziali di f e sono continue in A
L’area della regione di piano compresa tra le funzioni f=1/1+x
2
e g =2 + x, x ϵ
[0,1] è:
f
1
0
2+x-(1/1x
2
) dx= 5/2 –π/
L’omeomorfismo f: R
2
R
2
tale che f(x,y,) = (y; x – y) risulta: invertibile
La retta di equazione parametrica con t ϵ R passa per il punto: (1, - 1, 2)
per il teorema della dimensione, l’immagine è bidimensionale a una sola base
ortogonale è data da
Assegnata la circonferenza x²+y²-4y=0 determinare la retta tangente alla
circonferenza(se ce ne
sono) passanti per il punto A[0,5]
Assegnata la circonferenza x
2
2
- 4y = 0 determinare la retta tangente alla
circonferenza (se ce ne sono) passanti per il punto A (0,5)
Le rette tangenti sono due perché il punto è esterno alla circonferenza y = ± √
z + 6
Un insieme ( V1,V2…V3) di vettori si dice ortonormale se
Un insieme ( V1, V2 … V3) di vettori si dice ortonormale se
I vettori sono a due a due ortogonali (V2, V1) = 0 per (x) = 1 …n e hanno nome
unitario
La seguente affermazione è vera
Le derivate parziali (se esistono)della funzione f(x,y) = y¹ sin x + 2xy² + xᶟ nel
punt
La seguente affermazione è vera
Se una funzione f è derivabile e continua in un punto (X₀,Y₀) allora f è
differenziabile in (X₀,Y₀)
Data la funzione f(x,y) = e
x
cos y essa soddisfa il teorema di Schwarz nel punto
(0,π)
Data la funzione f(x,y) = eˣ cos y essa soddisfa il teorema di
Schwarz nel punto (0,𝜋)?
Si perché la funzione di classe C²e la derivata parziale seconde miste sono di
continue nel punto
La funzione f(x) = x
3
è: una funzione dispari
Considerata la funzione f(x) = log|4-x
2
| la condizione di realtà della funzione è: 4 – x
2
Data la funzione f(x) = x
5
la funzione invertibile e la sua inversa è f
(x) =
5
√
y + 1
Data la funzione f(x) = x
2
e
-x
la condizione per determinare la realtà delle funzioni sono:
nessuna perché x
2
è sempre definita e e
-x
e
x
è sempre definita perché e
x
≠ 0, per ogni x;
Il campo di esistenza della funzione f(x) = x
2
e
-x
: R
Data la funzione f(x) =
x + 1
essa è :
monotona strettamente decrescente nel suo insieme di definizione:) - ∞ , -1 (U) -1, +∞(
Data la successione il suo limite per n +∞
2 n
n
2
è: 0
Data la funzione
log
( 1 + x ¿)
x
il suo limite per x 0 è: 1
Ricordiamo il limite notevole
lim
x → 0
sin x
x
il seguente limite
lim
x → 0
sin 5 x
x
è uguale a: 5
La seguente affermazione è vera
Il limite del prodotto si una successione limitata per una infinitesima è nullo
’ corretta l’implicazione
È corretta l’implicazione: X punto di massimo relativo f ‘ → (x) = 0
L’integrale generale dell’equazione omogenea y’’ + 5y’ + 6y = 0 è:
y(x)= c1ee
-2x
-3x
con c1 c2 costanti arbitrarie
La forma differenziale ῳ= (sin y -
x
2
)dx + (x cos y -
y
2
)dy E’ chiusa ma non è esatta
Assegnato l’omeomorfismo f: R
2
R
2
tale che f(x, y)= (2x – y, -8z + 4y) risulta
dim (Kerf) = 1 e dim (Imf) = 1
L’equazione 9x
2
2
- 10 = 0 rappresenta: una ellisse
Considera le seguenti funzioni da R in R, f(x)=3x e g(x)= x+5. La funzione composta
f o g e' data da: f(g(x)) = 3x+
Considera le funzioni f(x)=
x
3
e g(x)=3x
3
- 7, la funzione somma è data da:
Considera la funzione la funzione prodotto è data da:
Indicare quale/i tra le funzione/i sono pari: Sia f che h
Per verificare il limite si è risolta la disequazione f(x) > M determinando
l’intervallo: x < 1 - M
L
Quale affermazione è corretta: il limite è verificato perché si ha un intorno di - ∞
La funzione y = f(x) ha il seguente grafico :
La funzione y = f(x) ha il seguente grafico dire quale limite non è rappresentato :
Indicare quanto vale il seguente limite
lim
x → 1
√
x + 8
Risposta: 3
Indicare quanto vale il seguente limite
lim
x→ − ∞
− 3 x
3
− x
x
2
Risposta : + 8
Indicare quanto vale il seguente limite lim
x → 0
e
3 x
3 x
Risposta : 1
Indicare quanto vale il seguente limite
lim
x → 0
1 −cos 5 x
25 x
2
Risposta :
Indicare quanto vale il seguente limite
lim
x → 0
sen
x
2
Risposta : NON ESISTE
Indicare quanto vale il seguente limite lim
x → 0
log ( 1 +( x
2
+ x ) )
x
2
Risposta : 0
La funzione
f ( x )=
x − 4
ammette: Asintoto orizzontale completo e quindi non asintoto obliquo
La funzione f
x
x
3
x
ammette: La retta x=0 come asintoto verticale destro per X?+8 e asintoto
verticale sinistro per X? -
La funzione f
x
x
3
x
ammette: la retta y=x come asintoto obliquo completo
Indicare qual è la relazione tra asintoto obliquo ed orizzontale: L’esistenza dell’asintoto orizzontale
destro non esclude l’esistenza dell’asintoto obliquo sinistro
Il dominio della funzione
f ( x )=¿
1 − x
√ x
Risposta
Il dominio della funzione
f ( x )=
(
x + 1
x − 4
)
√ 6 x − x
2
Risposta:
Il limite
lim
x → 0
arctg x sin 3 x
¿ ( 1 + tg
2
x )
vale: 0
IL limite
lim
x→ + ∞
sin
2
x
1 −cos(
x
vale: 2
La funzione
f ( x )=
2 e
x
e
x
Risposta: Non ha asintoto orizzontale
La funzione
f ( x )=¿ 4 − x ∨¿
Risposta: E’ definita, continua e derivabile
Il punto che verifica la relazione del teorema di Lagrange con riferimento
alla funzione f
x
= x
4
e all’intervallo [−2,2] Risposta: C = 0
Una funzione f(x) è continua nell’intervallo
[ a ; b ]
e derivabile in
¿ a ; b ¿
. Quale ulteriore ipotesi
manca per essere certi che esista un punto c ∈
¿ a ;b ¿ tale che f ‘ (c) = 0
Risposta: f(a) e f(b) devono essere diverse da 0
La funzione
f ( x )= Inx − x + 1 è decrescente in
La funzione f
x
= xe
− 2 x
massimo in A x=2 Risposta: x=
IL polinomio di Taylor di secondo grado per la funzione f ( x )= Inx con centro nel punto x 0
Risposta:
− x
2
L’insieme E = {
x , y , z
:− 2 < z ≤ 1 e z < 3 − x
2
− y
2
}
è limitato
La derivata rispetto ad x della funzione f ( x , y )=¿( 2 x + y ) nel punto (1,1) è uguale
Il piano tangente al grafico di z=x+xy
2
nel punto (0;0;0) ha equazione Z=X
IL gradiente di
f ( x , y , z )= xy + yz in (0;0;0) è (0;0;0)
La funzione f ( x , y )=¿ x ∨ y nel punto (0;1) è continua
L’integrale di
f ( x , y )= x − y esteso al dominio D ={( x , y ) ∈ R
2
: x
2
≤ y ≤ √ x } Risposta: 0
Se f ( x , y )= sen ( x y ) si ha fx =cos ( xy ) ; fy =cos ( xy )
La forma differenziale ῳ = senxdx + cosydy Risposta: è esatta
Se -4 < -3, indicare allora quale delle disuguaglianze è vera:
Se presi due valori a e b appartenenti all'insieme dei numeri Reali sono tali che a > b, indicare
allora quale disuguaglianza è vera:
ac < bc, per ogni c maggiore o uguale a 0
Sia N l'insieme dei numeri naturali:
Esiste il minimo ed è 0 ma non esiste massimo
Siano A= {1,2,5, 7,10}, B= {2,3, 5, 6,7, 9} e la loro intersezione C. Indicare quale delle seguenti
affermazioni è vera:
Il minimo è 2 ed il massimo è 10
Sia A= {x ∈ R: 6 ≤ x ≤ 2980}. Allora...
Esistono massimo e minimo rispettivamente pari a 2980 e 6
L’estremo superiore di un insieme si definisce:
Massimo dei maggioranti
Sia A= {x ∈ R: 7
L'estremo inferiore di A
Quale/i fra le seguenti funzioni è/ sono suriettiva/e?
Soltanto b
Considero la funzione f(x)=8-x definita da R a R F
- . Qual è' la sua inversa:
Considera la funzione f(x)=x+1, con dominio l'insieme dei numeri reali non negativi e insieme B
l'insieme dei numeri naturali (incluso lo zero). Una soltanto delle seguenti affermazioni è falsa:
f è suriettiva
Il codominio della funzione rappresentata in figura è:
f(A)= {2,4,9, 12}
Considera la seguente tabella che lega la variabile y a quella x. A quale legge corrisponde:
f(x)= x
Dati: gli insiemi: A = {triangolo, quadrato, rombo, esagono, decagono} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12} la
funzione: 'x ha un numero di angoli interni uguale a y, con x ∈ A e y ∈ allora il dominio e il
codominio sono rispettivamente...:
A e {3,4,6}
Quale/i fra le seguenti funzioni definite da A a B ?/sono solo iniettive?
Solo a
Il dominio della funzione
y =log
2
log
3
x
Risposta:
Il dominio della funzione
y =
√
log
1
2
( x − 1 )
e': [Suggerimento(il
log
a
x
con 0 N.B. cambia il verso
della disuguaglianza) Risposta: 1
Indicare quale delle seguenti funzioni ha domninio R: 3
x + 1
La condizione di esistenza dell'equazione √
x
2
- 4 = 0 Risposta: x ≤ − 1 U x ≥ 1
Indicare quanto vale il seguente limite:
lim
n → + ∞
√
n
Risposta: 0
Per successione si intende: Una funzione
Il seguente limite
lim
n → + ∞
(− 2 n
3
Risposta: Vale +∞
Indicare quanto vale il seguente limite:
lim
n → + ∞
e
2 n + 1
Risposta: Vale +∞
Se allora quanto il seguente limite
lim
n → + ∞ −
1
5 n
2
Risposta: 0
Se indicare quanto vale il limite della successione
3
√
n
2
n
Risposta: 7
Indicare quanto vale il limite seguente:
lim
n→ 0
n
3
3 n
Risposta: 0
Indicare quanto vale il seguente limite
lim
n → + ∞
4 n ∗ sen (
n
Risposta: Forma indeterminata 0 * ∞
Indicare quanto vale inf 0: E’ una forma indeterminata
Indicare il valore di
lim
n → + ∞
n
5
2
n
2
− n + 9
Risposta: +∞
Indicare il valore del seguente limite lim
n → + ∞
3 n
3
2
6 n
3
− n + 9
Risposta:
Indicare il valore del seguente limite
lim
n → + ∞
n + 7 n
2
6 n
4
− n + 9
Risposta: 0
Indicare a qual è la relazione che sussiste tra successioni monotone, limitate e regolari:
Monotona + limitata regolare
X=0 punto di continuità
X=0 discontinuità seconda specie
X=4 punto di continuità
Sia la funzione
X=0 discontinuità eliminabile
X=0 discontinuità seconda specie
La funzione
f ( x )=cos x
Risposta: una funzione pari e periodica
La funzione f
x
= x
3
Risposta: Dispari
Considerata la funzione f
x
=log ∨ 4 − x
2
∨¿ Risposta: 4 – x
2
Data la funzione f
x
= x
5
possiamo dire che:
La funzione è invertibile e la sua inversa è
f
− 1
( x )=
5
√
y + 1
Data la funzione f
x
= x
2
e
− x
la condizione per determinare la realtà delle funzioni sono:
nessuna per x
2
è sempre definita e
e
− x
e
− x
è sempre definita perché e
x
∀x
Riferendosi alla funzione f
x
= x
2
e
− x
, il campo di esistenza è : R
Data la funzione
f ( x )=
x + 1
essa è: monotona strettamente decrescente nel suo insieme di
definizione ¿− ∞ , − 1 [ U ]− 1 , + ∞ ¿
Data la successione
2 n
n
2
il suo limite per n + ∞ Risposta: 0
Data la funzione
log ( 1 + x )
x
il suo limite per n 0 Risposta: 1
La funzione f
x
x
4
x
ha nel punto x=0 Risposta: Ammette un unico asintoto verticale
rappresentato dalla retta x=0 in quanto
lim
x→ 0
−¿ x
4
− 3
x
=+ ∞ ¿
lim
x→ 0
+¿ x
4
− 3
x
=− ∞ ¿
La funzione f
x
x
4
x
ha nel punto x=0 Risposta: Ammette due asintoti orizzontali rappresentati
dalle rette y = ± 1
La funzione f
x
x
4
x
ha nel punto x=0 Risposta: Non ammette asintoto obliquo
