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Il fatto che un vettore u sia un autovettore di una data matrice A relativo ad un autovalore λ,
significa che u è una soluzione non nulla del sistema omogeneo del sistema:(A- λl
n
) X=0 con X
vettore incognita.
Determinare l’equazione della retta t tangente alla parabola di equazione y= x
2
A(1;-3): y=-2x- 1
Considerati i sottospazi di R
3
V={(x,y,z,)ϵ R
3
X+Y-Z=0}, W={(X,Y,Z) ϵ R
3
:2X-Y=0}la loro
dimensione è:
dimV=2, dimW=
Considerati i sottospazi di R
3
V={(x,y,z,)ϵ R
3
X+Y-Z=0}, W={(X,Y,Z) ϵ R
3
:2X-Y=0}la loro
dimensione
è: B
V
= {(1,0,1), (0,1,1)}, B
W
Considerati i sottospazi di R
3
V={(x,y,z,)ϵ R
3
X+Y-Z=0},W={(X,Y,Z) ϵ R
3
:2X-Y=0}:
dimV∩W=1 e la sommaV+Wnon è diretta
Si stabilisce se il rango della seguente matrice è massimo con l’ausilio del determinante D=
il rango della matrice non è massimo perché il determinante è nullo
Dato il vettore (1,0) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori {(1,1), (0,1)}
secondo gli scalari: a=1, b=- 1
Il modulo (o norma) di un segmento orientato rappresenta: un numero non negativo che
rappresenta la distanza tra i due punti, estremi del segmento orientato, rispetto ad una data
misura
Un’applicazione lineare conserva sempre: la dipendenza dei vettori
Una funzione monotona in un intervallo [a, b] è: integrabile secondo Riemann
Data una funzione f derivabile n volte in x
0
, il resto R
n
(x)è: un infinitesimo in X
0
di ordine
superiore a (X-X
0
n
La serie di Taylor di centro X 0
= 0 della funzione f (x) =X
2
+1: 1 + X
2
La seguente affermazione è corretta: ϕ(t): [a,b]→R
n
è una curva di classe C
→ essa è
rettificabile e la sua lunghezza è data dall’ integrale
(ϕ)=f |ϕ’(t)|dt
Un campo gradiente è: un campo con rotore nullo
L’integrale generale del problema di Cauchy è: y(0) = 1
yy’=
ha soluzione y(x)= √ 4 𝑥 + 1
Data una curva γ definita sull’intervallo [a, b] questa si dice rettificabile quando: sup
p
l(p)partizione dell’intervallo [a,b]
Sia f: A ≤ R →R con A aperto, condizione sufficiente affinché f sia differenziabile in A è
che: esistono le derivate parziali di f e sono continue in A
L’area della regione di piano compresa tra le funzioni f=1/1+x
2
e g =2 + x, x ϵ [0,1] è:
f
1
0
2+x-(1/1x
2
) dx= 5/2 – π/
L’omeomorfismo f: R
2
R
2
tale che f(x,y,) = (y; x – y) risulta: invertibile
La retta di equazione parametrica con t ϵ R passa per il punto: ( 1 , - 1 , 2 )
Il sistema ha infinite soluzioni
La derivata della funzione 𝑓(𝑥) =
𝑋
4
− 3
𝑋
è: 𝑓(𝑥) =
3 𝑋
4
− 3
𝑥
2
L’integrale della forma differenziale w= (3x
2
2
2
esteso al segmento di estremi (0, 0) e (1,1) vale : 4
La soluzione al problema di Cauchy
è : y(x) = e
x
4 x
La funzione f(x) = cosx è: una funzione pari e periodica
La funzione f: R
2
R
2
definita come f (x,y) =
𝑥𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
se (x, y) ≠ 0 e f (0, 0) = 0 è continua ma non
differenziabile
Riferendosi alla funzione f(x) = x
2
e
, il campo di esistenza è: R
La funzione f(x) =
𝑥
4
− 3
𝑥
; non ha punti che annullano la derivata, quindi non ha punti di massimo o
di minimo
La matrice A = è invertibileAssegnata
Si considera l’omomorfismo f: R
2
R
2
f(x,y,z) = (x+2y+Xy+z) una basa ortonormale dell’
immagine è data da :
per il teorema della dimensione, l’immagine è bidimensionale a una sola base ortogonale è
data da
Il dominio della funzione 𝑓
𝑥+ 1
𝑥− 4
√ 6 𝑥−𝑥
Risposta:
Il limite lim
𝑥→ 0
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥
𝐼𝑛( 1 +𝑡𝑔
2
𝑥)
vale: 0
IL limite lim
𝑥→+∞
𝑠𝑖𝑛
2
(
1
𝑥
)
1 −𝑐𝑜𝑠(
1
𝑥
)
vale: 2
La funzione 𝑓
2 𝑒
𝑥
− 3
𝑒
𝑥
Risposta: Non ha asintoto orizzontale
La funzione 𝑓
= | 4 − 𝑥| Risposta: E’definita, continua e derivabile
Il punto che verifica la relazione del teorema di Lagrange con riferimento
alla funzione 𝑓
4
− 1 e all’intervallo
[
]
Risposta: C = 0
Una funzione f(x) è continua nell’intervallo
[
]
e derivabile in
]
[
. Quale ulteriore ipotesi
manca per essere certi che esista un punto c ∈ ]𝑎; 𝑏[ tale che f ‘ (c) = 0
Risposta: f(a) e f(b) devono essere diverse da 0
La funzione 𝑓(𝑥) = 𝐼𝑛𝑥 − 𝑥 + 1 è decrescente in ] 1 ; +∞[
La funzione 𝑓
− 2 𝑥
massimo in A x=2 Risposta: x=
1
2
IL polinomio di Taylor di secondo grado per la funzione 𝑓
= 𝐼𝑛𝑥 con centro nel punto x 0
Risposta:
−𝑥
2
2
3
2
L’insieme E =
2
2
è limitato
La derivata rispetto ad x della funzione 𝑓
= 𝐼𝑛( 2 𝑥 + 𝑦) nel punto (1,1) è uguale
2
3
Il piano tangente al grafico di z=x+xy
2
nel punto (0;0;0) ha equazione Z=X
IL gradiente di 𝑓
= 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 in (0;0;0) è (0;0;0)
La funzione 𝑓
= |𝑥|𝑦 nel punto (0;1) è continua
L’integrale di 𝑓
= 𝑥 − 𝑦 esteso al dominio D ={(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2
2
𝑥} Risposta: 0
Se 𝑓
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥 𝑦) si ha 𝑓𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
La forma differenziale ῳ = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦 Risposta: è esatta
Una primitiva della forma differenziale ῳ = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦 è Risposta: 𝑓
L’integrale generale dell’equazione 𝑦
′
= 3 𝑦 è Risposta: 𝑦 = 𝑐𝑒
𝑥
L’integrale generale dell’equazione 𝑦
′
= 3 𝑦 + 1 è Risposta: 𝑐𝑒
2 𝑥
1
3
L’equazione 𝑦
′
= 2 𝑦 + 1 con la condizione 𝑦( 1 ) = 0 ha la soluzione 𝑦 =
( 3 𝑒
2 𝑥
− 1 )
2
L’equazione 𝑦
′′
′
- 2 𝑦 = 0 ha come integrale generale C 1
e
x
+ C
2
e
2x
Calcolare il valore della seguente espressione ( 2 − 2 ) Risposta: 1
Dati gli insiemi A, B (≠∅) e la relazione R= (A×B, G) dicesi relazione inversa:
La relazione R
= (B×A, G
) dove G
={(b,a):(a,b)∈G}
Se - 4 < - 3, indicare allora quale delle disuguaglianze è vera:
− 1
4
− 1
3
Sia A= {x ∈ R: 6 ≤ x ≤ 2980 }. Allora...
Esistono massimo e minimo rispettivamente pari a 2980 e 6
Il dominio della funzione 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔
2
3
𝑥 Risposta: ] 1 , +∞[
Il dominio della funzione 𝑦 =
2
(𝑥 − 1 ) e': [Suggerimento(il 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑥 con 0 N.B. cambia il
verso della disuguaglianza) Risposta: 1
Il dominio della funzione e':
1 < x ≤ 2
Il seguente limite lim
𝑛→+∞
3
- 𝑛 − 5 ) Risposta: Vale +∞
Indicare quanto vale ∞
0
: E’ una forma indeterminata
Indicare a qual è la relazione che sussiste tra successioni monotone, limitate e regolari:
Monotona + limitata regolare
Se c’è un punto isolato, la funzione: è sempre continua La funzione definita, continua e invertibile
su un intervallo
La funzione 𝑓(𝑥) =
𝑥
4
− 3
𝑥
ha nel punto x=0 Risposta: Ammette un unico asintoto verticale
rappresentato dalla retta x=0 in quanto lim
𝑥→ 0
−
𝑥
4
− 3
𝑥
= +∞, lim
𝑥→ 0
𝑥
4
− 3
𝑥
La funzione 𝑓
𝑥
4
− 3
𝑥
ha nel punto x=0 Risposta: Ammette due asintoti orizzontali
rappresentati dalle rette 𝑦 = ± 1
La funzione 𝑓(𝑥) =
𝑥
4
− 3
𝑥
ha nel punto x=0 Risposta: Non ammette asintoto obliquo
La derivata della funzione 𝑓
𝑥
4
− 3
𝑥
è Risposta: 𝑓′
3 𝑥
4
𝑥
2
Data una funzione f derivabile n volte in x
0
, il resto R
n
(x)è: un infinitesimo in X
0
di ordine
superiore a (X-X
0
n
Data una curva γ definita sull’intervallo [a, b] questa si dice rettificabile quando: sup
p
l(p)partizione dell’intervallo [a,b]
Dati in R
3
i vettori S= {(1,1,2); (2,4,6); (-1,2,5); (1,1,10)} essi sono:
un sistema linearmente dipendente perché costituito da 4 vettori in uno spazio
tridimensionale. Il rango è R
Data la retta (k-1) x +y +k - 2=0 determinare il parametro k, affinché la retta data sia parallela
alla retta y=2x- 1 : k=- 1
Dato il vettore (1,0) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori {(1,1), (0,1)}
secondo gli scalari: a=1, b=- 1
Data la forma differenziale ῳ = (𝑥 + 𝑧)𝑑𝑥 − (𝑑𝑥 − (𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑧): La sua primitiva è
f(x, y, z) =
𝑥
2
2
𝑦
2
2
+ 𝑧𝑦 + 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ R
Data la funzione 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒
𝑥
1 −𝑥
il suo campo di esistenza è: X ∈ R - { 1 }
Data la funzione 𝑓
3
2
2
il suo gradiente è:
2
2
2
Data la funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦 − 𝑥
2
l’insieme di livello è {(𝑥, 𝑦) ∈ R
2
: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 }: una
parabola
Gli autovalori della matrice A=
hanno molteplicità pari a:
ma(2) = mg(2) = 2, ma(4) = mg(4) = 1
In R
4
si considerano gli insiemi V=
[(
𝑎, 𝑐, 𝑑 ∈ R
]
e W=
[(
𝑎, 𝑐, 𝑑 ∈ R
]
il
sottospazio somma V + W: Non è somma diretta. La sua dimensione è pari a 4 e una sua base data
da Bv+w=
In R
4
si considerano gli insiemi V=
[(
𝑎, 𝑐, 𝑑 ∈ R
]
e W=
[(
𝑎, 𝑒, 𝑑 ∈ R
]
essa: Sono
sottospazi di R
!
e le loro basi sono rispettivamente Bv={( 0 , 1 , 0 , 0 ): ( 0 , 0 , 1 , 0 ): ( 0 , 0 , 0 , 1 )}
Bw=
Il dominio della funzione 𝑓
2
− 1 è l’insieme dei punti di una parabola
Il segno della funzione 𝑓
𝑥
1 −𝑥
Positivo nell’intervallo
[
[
]
[
Il seguente integrale
2
di funzioni irrazionali con denominatore di secondo grado ha
soluzione: 3 log
= 2 log
Il valore del seguente integrale
√ 1 − (𝑢𝑥 𝑥 𝑑𝑥) è: − 2
Il dominio della funzione 𝑓(𝑥) = log( 9 − 𝑥
2
𝑥
Risposta:]− 3 , 𝑙𝑜𝑔 2 ]
Il dominio della funzione 𝑓
= log
2
Risposta:
]
[
]
[
Il limite lim
𝑥→ 0
√
1 + 3 𝑧
3
− 1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
vale: 1
Il limite lim
𝑎→ 0
1
2
vale: 0
Il limite lim
𝑥→ 0
1 −𝑐𝑜𝑠𝑥
vale: 1
Il limite lim
𝑥→∞
𝑥
3
√
𝑥
3
𝑥
2
+𝑒
𝑥
vale: - ∞
Il minimo della funzione 𝑓
= 3 𝑥𝑙𝑜𝑔 è:
Il dominio della funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) = log( 9 − 𝑥
2
2
) è : Il cerchio di centro l’origine e raggio
3 esclusa la frontiera
Il punto (1, 0) per la funzione 𝑓
3
2
𝑦 : Non è un punto critico
[𝑥 + 2 𝑦 + 3 𝑦 = 1
Il sistema lineare
[
𝑥 − 𝑦 + 2 𝑧 = − 3 : E’ IMPOSSIBILE
I [ 2 𝑥 + 𝑦 + 5 𝑧 = 0
Il limite lim
𝑥→ 0
2
2
𝑥) Risposta: 0
Il limite lim
𝑥→+∞
2
2
𝑥) Risposta: - ∞
Il differenziale della funzione 𝑓
3
𝑥 Risposta:
3
𝑥
2
Il valore medio della funzione 𝑓
2
nell’intervallo
[
]
è: 13
La funzione 𝑓
− 2 𝑥
ha un punto di massima A x=2 in x=
2
La funzione 𝑓
2
−𝑥
è decrescente
La funzione 𝑓
2
− 2
3
La funzione 𝑓
2
− 2
3
ha dominio: 𝑅 −
La funzione 𝑓(𝑥) =
2
− 2
3
è positiva: 𝑥 ∈ ]−∞, − 1 [
La serie∑
2 𝑛
𝑛+ 4
𝑛
+∞ ′′
𝑛= 0
converge per 𝑥 ∈ ]− 2 , 2 [
La matrice A=
Possiede due autovalori distiniti ƛ 1 =2 e ƛ 2 =3. Possiede due autovettori
distiniti associati ad autovettori distinti
La funzione 𝑓
2
2
𝑥) ha derivata:𝑓
′
2
La funzione 𝑓
2
2
𝑥) è crescente:
]
− 3
2
[
La funzione 𝑓
2
2
𝑥) ha solo un massimo relativo
La funzione 𝑓
2
2
𝑥) Ha un massimo relativo ed è illimitata inferiormente
La soluzione dell’equazione 𝑦
′′
− 𝑦 = 0 che verifica le condizioni 𝑦 =
𝜋
2
′
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
cos 𝑥
La lunghezza della curva di equazioni parametriche 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
3
3
2
𝑥) t∈
[
]
Le curve di livello della funzione 𝑓
2
sono: rette oppure iperboli
Nel punto di ascissa x=2 𝑓
= log( 1 + 2 𝑥) è derivabile in tal punto e 𝑦 =
1
𝑥
x −
5
𝑥
+ log s
la retta tangente in tal punto
Soluzione dell’equazione 𝑦
′
2
𝑥
3
Soluzione dell’equazione 𝑦
′
Si consideri la matrice A=
i suoi autovalori sono: ƛ1=2 , ƛ2=
Si considera l’omoformismo f: R
3
R
2
f(x,y,z) = (x+2y+xy+z) esso è: lineare perché chiuso rispetto
alla somma e rispetto al prodotto per uno scalare
Si considera l’omoformismo f: R
3
R
2
f(x,y,z) = (x+2y+xy+z) : ha dimensione uno e una sulla base è
data da Bxy=[( 1 , − 1 , 1 )]
Si considera l’omoformismo f: R R f(x,y,z) = (x+2y+xy+z) ha una base ortonormaledell’immagine
è data da: per il teorema della dimensione,l’immagine è bidimensionale a una sola base
ortogonale è data da Bxy=
[(
2
2
2
2
]
Sia F:T< R3R3 un campo vettoriale e S una superficie limitata da T, l’integrale di div F su T misura:
il flusso totale scente da S per unità di tempo
Sia f(x) continua. Se ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
allora necessariamente a=b
Siano f(x)= sin 2x e g(x) = x infinitesimi per x 0; quale affermazione è vera: f e g sono dello
stesso ordine
Un integrale particolare dell’equazione 𝑦
′
2
+ 3 𝑥 Risposta: 𝑦(𝑥) =
1
2
2
Un integrale particolare dell’equazione 𝑦
′
− 2 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 Risposta: 𝑦 =
1
5
2
5
Un integrale particolare dell’equazione 𝑦
′
2 𝑥
Risposta: 𝑦
2 𝑥
Una soluzione dell’equazione 𝑦
′′
− 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 Risposta:
1
2
Una soluzione dell’equazione 𝑦
′′
− 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 Risposta: −
𝑠𝑖𝑛𝑥
2
Una soluzione dell’equazione 𝑦
′′
′
+ 2 𝑦 = 0 Risposta: 𝑦 = 2 𝑒
𝑥
Una soluzione dell’equazione 𝑦
′′
+ 𝑦 = 2 𝑥 − 3 Risposta: 2 𝑥 − 3
