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MATEMATICA 3
● CONDIZIONE SU EQ. & DISEQ.
se 𝐴(𝑥)= 𝐵(𝑥) → 𝐴(𝑥) ≥ 0 se 𝐴(𝑥)< 𝐵(𝑥) → 𝐴(𝑥) ≥ 0 𝐵(𝑥) ≥ 0 𝐵(𝑥) > 0 𝐴(𝑥) = 𝐵^2 (𝑥) 𝐴(𝑥) < 𝐵^2 (𝑥)
se 𝐴(𝑥)> 𝐵(𝑥) → 𝐴(𝑥) ≥ 0 𝐵(𝑥) ≥ 0
𝐵(𝑥) < 0 𝐴(𝑥) > 𝐵^2 (𝑥)
● FUNZIONI
- iniettiva: se 𝑥 1 ≠ 𝑥 2 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑦 1 ≠ 𝑦 2. ragiono per assurdo → 𝑥 1 ≠ 𝑥 2 ; 𝑦 1 = 𝑦 2
- suriettiva: se comunque scelta una y ho sempre una x
- biunivoca: se contemporaneamente iniettiva e suriettiva
- inversa*: se 𝑓(𝑥): 𝑥 → 𝑦 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑓 (deve essere biunivoca prima) − (𝑥): 𝑦 → 𝑥
- crescente: se 𝑥 1 < 𝑥 2 → 𝑦 1 < 𝑦 2
- decrescente: se 𝑥 1 < 𝑥 2 → 𝑦 1 > 𝑦 2
- monotoma: ha proprietà vere su tutto il dominio
- pari: se 𝑓(𝑥) = 𝑓(− 𝑥); simmetrica rispetto all’asse y (es: coseno)
- dispari: se 𝑓(− 𝑥) =− 𝑓(𝑥);simmetrica rispetto all'origine (es: seno)
- composta: (g o f) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)). Non vale la pr. commutativa
- funzione inversa : da un punto di vista geometrico, corrisponde alla ad una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante
● GEOMETRIA ANALITICA
- distanza di 2 punti: 𝐴𝐵 = (𝑋𝐴 − 𝑋𝐵)^2 + (𝑌𝐴 − 𝑌𝐵)^2
- punto medio: 𝑀 =
𝑋𝐴+𝑋𝐵 2 ;^
𝑌𝐴+𝑌𝐵
- eq retta passante per 2 punti:
𝑋−𝑋 1 𝑋 2 −𝑋 1 =^
𝑌−𝑌 1 𝑌 2 −𝑌 1
- fascio di rette: 𝑌 − 𝑌𝑃 = 𝑚(𝑋 − 𝑋𝑃)
- distanza punto-retta: 𝑑 =
|𝑎 (^) 𝑋𝑝+𝑏𝑌𝑝+𝑐| 𝑎^2 +𝑏^2
- due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare
- due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari antireciproci: 𝑚 · 𝑚 1 =− 1
- ortocentro: punto di intersezione delle altezze
- circocentro: punto di intersezione degli assi (luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento)
- incentro: punto di intersezione delle bisettrici (luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo) e centro della circonferenza inscritta
- baricentro: punto di intersezione delle mediane. Il baricentro di un triangolo è 𝐺
𝑋 1 +𝑋 2 +𝑋 3 3 ;^
𝑌 1 +𝑌 2 +𝑌 3
- fascio di rette proprio: famiglia di rette passanti per un punto il quale viene detto centro del fascio
- fascio di rette improprio: famiglia di rette parallele tra loro, hanno lo stesso coefficiente angolare
- fascio di rette : in genere contiene sempre un parametro K visto che sto descrivendo un’insieme di rette
● CIRCONFERENZA
= luogo dei punti del piano che siano equidistanti da un punto fisso detto centro
- eq: 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
- eq: (𝑥 − 𝑥 𝑐)
2
2 = 𝑟 2
- centro: 𝑐 −( 𝑎 2 ; − 𝑏 2 )
- raggio: 𝑟 = 𝑎 se = 0 la circonferenza si riduce a un punto, il
2 4 +^
𝑏^2 4 − 𝑐^ 𝑟 centro, e prende il nome di circonferenza degenere
- condizione di tangenza: impongo il delta = 0 per avere 2 intersezioni coincidenti tra retta e circonferenza
● IPERBOLE
= luogo dei punti del piano tali che la differenza delle distanze di un punto dai fuochi sia il modulo costante
1° famiglia → asse focale sull’asse x
- (^) |𝑃𝐹 1 − 𝑃𝐹 2 | = 2𝑎
- eq: 𝑥
2 𝑎^2
2 𝑏^2
2 = 𝑎 2
- eccentricità= 𝑐𝑎 con𝑎 > 1
- asintoti: 𝑦 =± 𝑏𝑎 𝑥 (passano per l'origine)
2° famiglia → asse focale sull’asse y
- (^) |𝑃𝐹 1 − 𝑃𝐹 2 | = 2𝑏
- eq: 𝑥
2 𝑎^2
2 𝑏^2
2 = 𝑎 2
- eccentricità= 𝑐𝑏 con𝑏 > 1
- asintoti: 𝑦 =± 𝑏𝑎 𝑥
● IPERBOLE EQUILATERA
= si ottengono le iperbole equilatere riferite agli asintoti ruotando di 45° il grafico dell’iperbole
- fuochi e vertici vivono sulle bisettrici y = x e y = -x
xy = k con k > 0 xy = k con k < 0
● FUNZIONE OMOGRAFICA
= applicando una traslazione alle iperbole scritte sopra si ottiene la funzione omografica
- eq: 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑
- asintoto orizzontale→ si ottiene facendo il rapporto dei coefficienti delle x
- asintoto verticale → si ottiene annullando il denominatore
● ESPONENZIALI
- la funzione esponenziale è sempre positiva
- sono funzioni monotone
- hanno comportamento asintotico rispetto all’asse x
- sono iniettive
- dominio è R, codominio y > 0
- nelle disequazioni esponenziali se 0 < 𝑎 < 1allora cambio il verso
MATEMATICA 4
● GONIOMETRIA
definizioni: 𝑡𝑎𝑛α = 𝑠𝑒𝑛α𝑐𝑜𝑠α ; 𝑐𝑜𝑡α = (^) 𝑠𝑒𝑛α𝑐𝑜𝑠α ; 𝑠𝑒𝑐α = (^) 𝑐𝑜𝑠α^1 ; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐α = (^) 𝑠𝑒𝑛α^1
identità fondamentale: 𝑠𝑒𝑛α 2
formule con tan,sen,cos: 𝑠𝑒𝑛α^2 = 𝑡𝑎𝑛α
2 1+𝑡𝑎𝑛α^2 ; 𝑐𝑜𝑠α^2 = 1 1+ 𝑡𝑎𝑛α^2
formule di addizione: 𝑐𝑜𝑠(α + β) = 𝑐𝑜𝑠α𝑐𝑜𝑠β − 𝑠𝑒𝑛α𝑠𝑒𝑛β 𝑠𝑒𝑛(α + β) = 𝑠𝑒𝑛α𝑐𝑜𝑠β + 𝑐𝑜𝑠α𝑠𝑒𝑛β 𝑡𝑎𝑛(α + β) = (^) 1−𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛β𝑡𝑎𝑛α+𝑡𝑎𝑛β
formule di sottrazione: 𝑐𝑜𝑠(α − β) = 𝑐𝑜𝑠α𝑐𝑜𝑠β + 𝑠𝑒𝑛α𝑠𝑒𝑛β 𝑠𝑒𝑛(α − β) = 𝑠𝑒𝑛α𝑐𝑜𝑠β − 𝑐𝑜𝑠α𝑠𝑒𝑛β 𝑡𝑎𝑛(α − β) = (^) 1+𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛β𝑡𝑎𝑛α−𝑡𝑎𝑛β
formule di duplicazione: 𝑠𝑒𝑛2α = 2𝑠𝑒𝑛α𝑐𝑜𝑠α
𝑐𝑜𝑠2α = 𝑐𝑜𝑠α^2 − 𝑠𝑒𝑛α^2 ; = 1 − 2𝑠𝑒𝑛α^2 ; = 2𝑐𝑜𝑠α^2 − 1 𝑡𝑎𝑛2α = 2 𝑡𝑎𝑛α 1−𝑡𝑎𝑛α^2
formule di bisezione: 𝑠𝑒𝑛2 α 2 = 1−𝑐𝑜𝑠α 2
𝑐𝑜𝑠 2 α 2 =^
1+𝑐𝑜𝑠α 2 𝑡𝑎𝑛 α 2 = (^) 1+𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛α ; = 1−𝑐𝑜𝑠α𝑠𝑒𝑛α
formule parametriche: 𝑠𝑒𝑛α = 2𝑡 1+𝑡^2 𝑐𝑜𝑠α = 1−𝑡
2 1+𝑡^2 𝑡𝑎𝑛α = 2𝑡 1−𝑡^2
angolo tra 2 rette: 𝑡𝑎𝑛γ =
𝑚 1 −𝑚 2 1+𝑚 1 𝑚 2
● SENO (ordinata)
dominio: R codominio: − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1 periodo: 2π non è invertibile → restringo i valori del dom e codom 𝑓−1: − 1; 1[ ] → ⎡⎣− π 2 ; π 2 ⎤⎦
● COSENO (ascissa)
dominio: R codominio: − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1 periodo: 2π non è invertibile → restringo i valori del dom e codom 𝑓 − : − 1; 1[ ] → [0; π ]
● TANGENTE (ordinata)
dominio: 𝑅 − (^) { π 2 + 𝑘π} codominio: R periodo: π non è invertibile → restringo i valori 𝑓−1: 𝑅 → ⎡⎣− π 2 ; π 2 ⎤⎦
● COTANGENTE (ascissa)
dominio: 𝑅 − {𝑘π } codominio: R periodo: π
● GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
- distanza tra due punti: 𝐴𝐵 = (𝑋𝐴 − 𝑋𝐵) 2 + (𝑌𝐴 − 𝑌𝐵) 2 + (𝑍𝐴 − 𝑍𝐵) 2
- punto medio: 𝑀 =
𝑋𝐴+𝑋𝐵 2 ;^
𝑌𝐴+𝑌𝐵 2 ;^
𝑍𝐴+𝑍𝐵
- distanza punto-piano: 𝑑(α; 𝑃) = |𝑎 (^) 𝑋𝑝+𝑏𝑌𝑝+𝑐𝑧𝑝+𝑑| 𝑎^2 +𝑏^2 +𝑐^2
- equazione del piano: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
- condizione di parallelismo: 𝑣//𝑤 𝑠𝑒 (^) 𝑎'𝑎 = (^) 𝑏'𝑏 = (^) 𝑐'𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
- condizione di perpendicolarità: 𝑣 ⊥ 𝑤 𝑠𝑒 𝑎𝑎' + 𝑏𝑏' + 𝑐𝑐' = 0
● LA RETTA
- si può ottenere come intersezione tra 2 piani
- può essere definita con la direzione attraverso il passaggio per un punto dato 𝑥 = 𝑥𝑝 + 𝑎𝑡 con 𝑣(𝑎; 𝑏; 𝑐) e 𝑃(𝑥𝑝; 𝑦𝑝; 𝑧𝑝) 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧𝑝 + 𝑐𝑡
- piano e retta sono ⊥se i loro vettori sono //
- piano e retta sono // se i loro vettori sono ⊥
● LA SFERA
- equazioni: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (𝑥 − 𝑥𝑐)^2 + (𝑦 − 𝑦𝑐)^2 + (𝑧 − 𝑧𝑐)^2 = 𝑟^2
- centro: 𝑐 (− 𝑎 2 ; − 𝑏 2 ; − 2 𝑐)
2 4 +^
𝑏^2 4 +^
𝑐^2 4 − 𝑑
