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Istituzioni e didattica della
matematica
4 marzo 2020
Gli oggetti della geometria
Gli oggetti della geometria
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
La geometria e quella parte della matematica che studia le forme geometriche. Quanto sia complesso caratterizzare una forma geometricae messo in evidenza dall’esempio con cui inizia il capitolo 13 “Gli oggetti della geometria” e da quanto vedremo oggi.
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Immaginiamo di voler descrivere questi oggetti. Quale linguaggio ci serve?
Da dove si parte?
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
In geometria la rappresentazione “visiva” ha un ruolo particolarmente importante, ma proprio per questo abbiamo bisogno di aumentare gli sforzi per codificare queste rappresentazioni (“descriverle a parole”) e per individuare anche in questo frangente quelle pi `u appropriate a un determinato contesto.
Punto
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
Che cosa `e un punto? Se cerchiamo la definizione di punto in un dizionario, potremmo trovarne una analoga a queste:
- ente geometrico privo di dimensioni,
- ente geometrico che non si estende in nessuna delle tre dimensioni. Ci accorgiamo per `o che entrambe queste definizioni contengono parole di cui dobbiamo spiegare il significato: ente? dimensioni? (e perch ´e queste dimensioni sono proprio tre?) Se provassimo veramente a rispondere a queste domande, dovremo utilizzare altre parole di cui a loro volta dovremmo spiegare il significato.
Punto
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
Ci troviamo esattamente nella posizione in cui ci siamo trovati quando avete introdotto il concetto di insieme: anche in questo caso siamo davanti a un concetto primitivo. Con il concetto di punto abbiamo raggiunto l’idea alla base della geometria, idea che non riusciamo a descrivere efficacemente con altre parole.
I punti sono gli oggetti primitivi che ci permettono di costruire le altre figure geometriche.
Concetti primitivi
I concetti primitivi alla base della geometria sono
- punto
- retta
- piano (Nel libro di testo trovate descrizioni di “modelli” che possiamo utilizzare per visualizzare questi enti primitivi.)
Alla base della geometria Euclidea c’ e uno studio delle **proprieta** di questi enti primitivi: i postulati.
Postulati
Descriviamo le propriet a degli oggetti matematici attraverso certe ipotesi ( **postulati** e/o **assiomi** ) e a partire da queste costruiamo ragionamenti per dedurre proprieta che possiamo ricavare da queste ipotesi (dimostrando proposizioni e/o teoremi ).
- Per due qualsiasi punti distinti passa una e una sola retta;
- i punti di una retta sono ordinati, in una sequenza infinita. Da cui si pu `o ricavare
- due rette distinte del piano possono avere in comune nessuno oppure un solo punto.
Segmenti e semirette
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
La propriet `a
- i punti di una retta sono ordinati, in una sequenza infinita
permette di definire segmenti e semirette.
Assiomatica Euclidea
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
La “nostra” geometria, la geometria che meglio descrive l’ambiente a noi prossimo, si basa sugli Elementi di Euclide, che `e un’opera fondamentale. Naturalmente un testo datato migliaia di anni non poteva non subire una revisione critica e quanto stiamo descrivendo in questo corso tiene conto della metodica riorganizzazione dell’impostazione Euclidea, a opera dei matematici che a lui sono seguiti, e in particolare terremo conto dell’opera di Hilbert all’inizio del 1900.
Critiche all’assiomatica euclidea
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
Senza voler sminuire l’importanza del valore dell’opera di Euclide, sono state sollevate alcune critiche alla costruzione euclidea. It is quite natural that, after a lapse of about 2250 years, some details are now seen to be capable of improvement (Coxeter, Introduction to geometry , p. 5)
Critiche all’assiomatica euclidea
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
- utilizzo di propriet `a intuitive non enunciate esplicitamente come postulati
- se traccio due rette non parallele queste si intersecano in un punto (presuppone la continuit `a della retta, cfr. Villani, Cominciamo dal punto, p. 70)
Critiche all’assiomatica euclidea
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
- utilizzo di propriet `a intuitive non enunciate esplicitamente come postulati
- utilizzo del termine “uguale”
Critiche all’assiomatica euclidea
Marina Cazzola Istituzioni e didattica della matematica
- utilizzo di propriet `a intuitive non enunciate esplicitamente come postulati
- l’idea di “eguaglianza” di triangoli
e descritta a partire dall’idea di “sovrapponibilita” ma se una figura viene “mossa” come possiamo essere sicuri che la sua struttura interna non subisca modifiche?
Critiche all’assiomatica euclidea
In particolare Hilbert si propone di rivedere l’assiomatica di Euclide per formalizzare queste assunzioni implicite.
[David Hilbert and Edgar Jerome Townsend, The Foundations Of Geometry, Kessinger Publishing, ristampa 2006, 1902, vedi anche paragrafo “L’impostazione di Hilbert” nell’appendice al capitolo 13 del libro di testo]
Esposizione degli argomenti
The Euclidean way of exposition can he highly recommended, without reservation, if the purpose is to examine the argument in detail. Especially, if it is our own argument, and it is long and complicated, and we have not only found it but have also surveyed it on large lines so that nothing is left but to examine each articular point in itself, then nothing is better than to write out the whole argument in the Euclidean way.
[Polya, How to solve it, 1945, p. 70]
Definizioni: poligono
Quali di queste figure vogliamo chiamare poligono?
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Compito
- Decidere quali tra gli oggetti in figura volete chiamare poligono ;
- scrivere la definizione di poligono, cio `e scrivere quelle condizioni che caratterizzano l’oggetto poligno.
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[Cfr. pp. 320-321 del libro di testo.]
