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Matematica Generale
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Esercizi di ricapitolazione sul calcolo integrale
Calcolo delle primitive
1) Data la funzione 𝑓(𝑥) = 𝑒
− 2 𝑥
𝑥
−𝑥
2
, determinare una sua primitiva
nell’intervallo (4,10)
Sol) ∫ 𝑓
( 𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒
− 2 𝑥
𝑥
−𝑥
2
1
2
− 2 𝑥
1
2
∫
− 2 𝑥
−𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
− 2 𝑥
1
2
ln|−𝑥
2
Una primitiva nell’intervallo indicato è quindi la funzione 𝐹(𝑥) = −
1
2
− 2 𝑥
1
2
ln
2
2) Risolvere ∫
−𝑥+ 2
1 −𝑥
2
Sol)
−𝑥+ 2
1 −𝑥
2
=
𝑥− 2
− 1 +𝑥
2
𝐴
(𝑥− 1 )
𝐵
(𝑥+ 1 )
𝐴(𝑥+ 1 )+𝐵(𝑥− 1 )
(𝑥− 1 )(𝑥+ 1 )
Da {
si ha
A=−
1
2
3
2
Quindi ∫ −
1
2 (𝑥− 1 )
3
2 (𝑥+ 1 )
1
2
ln
3
2
ln
3) Data la funzione 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
( 3 𝑥
2
− 5 )
4
, determinare la funzione primitiva
passante per il punto (0,1)
Sol ) ∫
𝑥
2
( 3 𝑥
2
− 5 )
4
𝑑𝑥 =
1
2 ∙ 6
∫
6 𝑥( 3 𝑥
2
− 5 )
4
𝑑𝑥 =
1
12
( 3 𝑥
2
− 5 )
5
5
Imponendo F(0)=1 si ha F(0) =
(− 5 )
5
60
637
12
e quindi la primitiva è F(x)=
1
12
( 3 𝑥
2
− 5
)
5
5
−
637
12
4) Data la funzione 𝑓
1
2
𝑒
𝑥
( 1 +𝑒
𝑥
)
determinarne una primitiva
Sol )
1
2
∫
𝑒
𝑥
( 1 +𝑒
𝑥
)
1
2
ln( 1 + 𝑒
𝑥
. Una primitiva è quindi 𝐹(𝑥)=
1
2
ln
𝑥
5) Risolvere, tramite un’opportuna sostituzione ∫
𝑙𝑛𝑥+ 3
𝑥𝑙𝑛𝑥
Sol) 𝑙𝑛𝑥 = 𝑡 da cui 𝑥 = 𝑒
𝑡
𝑑𝑥 = 𝑒
𝑡
𝑑𝑡. ∫
𝑙𝑛𝑥+ 3
𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑡+ 3
𝑡𝑒
𝑡
𝑒
𝑡
𝑑𝑡 = ∫
𝑡+ 3
𝑡
𝑑𝑡 =
1 𝑑𝑡 + ∫
3
𝑡
𝑑𝑡 = 𝑡 + 3 ln
𝑡
𝑥
6) Stabilire se la funzione 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1 | ammette primitive nel suo dominio
Sol) La funzione è continua nel suo dominio (R) per cui ammette primitive
Calcolo integrali definiti e loro applicazioni
1) Risolvere ∫
𝑥
3
−𝑥− 1
𝑥+ 1
4
2
Sol) 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 (𝑥
3
3
2
− 𝑥)(𝑥 + 1 ) − 1 , da cui
𝑥
3
−𝑥− 1
𝑥+ 1
2
1
𝑥+ 1
𝑥
3
3
𝑥
2
2
− ln
Quindi ∫
𝑥
3
−𝑥− 1
𝑥+ 1
4
2
= [
𝑥
3
3
𝑥
2
2
− ln|𝑥 + 1 |]
2
4
56
3
12
2
3
5
38
3
ln (
3
5
2) Risolvere ∫
(ln(−𝑥) +
2
𝑥
− 1
−𝑒
6) Risolvere ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑒
2
𝑒
dove f è la funzione integranda dell’esercizio 5 del calcolo delle
primitive
Sol) ∫
𝑙𝑛𝑥+ 3
𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥
𝑒
2
𝑒
Da 𝑙𝑛𝑥 = 𝑡, l’intervallo di integrazione diventa da 𝑙𝑛𝑒 = 1 a ln(𝑒
2
) =
Da cui ∫
𝑡+ 3
𝑡
𝑑𝑡 =
2
1
[𝑡]
1
2
1
2
Funzione Integrale
1) Determinare la funzione integrale centrata in x = 2 della funzione f(x) =
(𝑥− 1 )
− 2
𝑙𝑛𝑥
2
e, indicando con F(x) tale funzione, calcolare
a) F(e)
b) L’equazione della retta tangente a F(x) nel punto x = 2
Sol) 𝑝𝑒𝑟 𝑥 > 1
1
2
∫
− 2
ln(𝑡))𝑑𝑡
𝑥
2
Si ha, per parti, ∫
− 2
ln (𝑡)) 𝑑𝑡 = −
𝑙𝑛𝑡
𝑡− 1
∫
1
( 𝑡− 1
) 𝑡
𝑙𝑛𝑡
𝑡− 1
ln|𝑡 − 1 | − ln|𝑡| + 𝑐 (Poichè ∫
1
(𝑡− 1 )𝑡
1
(𝑡− 1 )
− 1
𝑡
𝑑𝑡 = ln|𝑡 − 1 | − ln|𝑡| + 𝑐).
Quindi la funzione integrale è
1
2
[−
𝑙𝑛𝑡
𝑡− 1
− ln
]
2
𝑥
1
2
𝑙𝑛𝑥
𝑥− 1
ln
− ln
𝑙𝑛 2
2 − 1
− ln
1
2
𝑙𝑛𝑥
𝑥− 1
𝑥− 1
𝑥
a) 𝐹(𝑒) =
1
2
1
𝑒− 1
𝑒− 1
𝑒
b) y=F(2)+F’(2)(x-2) F(2)=0 F’(x)=f(x)=
(𝑥− 1 )
− 2
𝑙𝑛𝑥
2
(per il II teorema
fondamentale del Calcolo Integrale), per cui F’(2)=ln2/
Da cui y=
𝑙𝑛 2
2
(x-2)
2) Determinare il polinomio di Taylor al secondo ordine centrato in x = 1 della funzione
integrale ∫
2
𝑥
1
Sol) La funzione integranda è continua per cui soddisfa le ipotesi del II teorema
fondamentale del calcolo integrale
𝑌 = 𝐹( 1 ) + 𝐹’( 1 )(𝑥 − 1 ) + 1 / 2 𝐹’’( 1 )(𝑥 − 1 )
2
F(1)=0 F’(x)=f(x)= √
2
+ 1 F’(1)=
3 F’’(x)=f’(x)=
4 𝑥
2 √ 2 𝑥
2
F’’(1)=2/
Quindi y = √ 3
( 𝑥 − 1
)
2
2 √ 3
(𝑥 − 1 )
2
3) Determinare la funzione integrale centrata in x= - 1 della funzione
−𝑥
e calcolare F(-1)
Sol) ∫
𝑥
− 1
𝑥
− 1
𝑥
− 1
0
− 1
−𝑡
𝑥
0
𝑥
− 1
2
−𝑥
Integrali impropri su intervalli illimitati
1) Risolvere ∫ 𝑓
( 𝑥
) 𝑑𝑥
+∞
− 1
dove f(x) è la funzione dell’esercizio 3 della sezione precedente
Sol) ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
− 1
con 𝑓(𝑥) = {
−𝑥
è uguale a
lim
𝑥→+∞
1
= lim
𝑥→+∞
−𝑥
Alternativamente:
