sintesi calcolo combinatorio matematica di base, Schemi e mappe concettuali di Didattica Della Matematica

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Strumento Formula Ordine Ripetizione Esempio Permutazioni semplici nl x libri su scaffale Permutazioni con ripet. (parziale) anagrammi di MAMMA Permutazioni circolari x tavolo rotondo Disposizioni semplici x podio olimpico Disposizioni con ripet. nl PIN numerici Combinazioni semplici A) x commissione, lotto Combinazioni con ripet. (Gio) x palline con reimmissione Calcolo Combinatorio — Elementi Completi Idea di Base Il calcolo combinatorio risponde a una domanda fondamentale: "In quanti modi diversi posso scegliere o disporre degli oggetti?" Tutto dipende da due domande chiave: Domanda Risposta L'ordine conta? Sì > Disposizioni / Permutazioni La ripetizione è ammessa? Sì > con ripetizione 1. Fattoriale Per convenzione: 0!=1 ni=n-(n-1)-(n-2)--. Esempio: 5! = 5:4-3-2-1 = 120 È il mattone fondamentale di tutto il calcolo combinatorio. «1 2. Permutazioni Semplici Disporre tutti gli n oggetti in fila (ordine conta, no ripetizione) Pr=n! Esempio: In quanti modi si possono disporre 4 libri su uno scaffale? P,= 4! = 24 modi 3. Permutazioni con Ripetizione Disporre n oggetti in fila dove alcuni sono identici tra loro ! pirtar ste — so) kil-kal---kpl dove k1, ks, . . . sono le frequenze degli elementi ripetuti. Esempio: Quanti anagrammi ha la parola MAMMA (5 lettere: Mx3, Ax2)? 5 120 cara 62 1° % | | 4. Permutazioni Circolari Disporre n oggetti in cerchio (una rotazione non crea nuova disposizione) per = (n-1)! Esempio: In quanti modi 5 persone possono sedersi a un tavolo rotondo? Pé" = 4! = 24 modi Si "fissa" una persona come riferimento e si permutano le altre. 7.Combinazioni Semplici Scegliere k oggetti da n senza considerare l'ordine, senza ripetizione (ta Si legge: "n suk"o "n choose k" Esempio: In quanti modi scegliere una commissione di 3 persone su 8? ! oo (ì) 8! -8:7:6 _ 56 3) 73151 3-21 Esempio: Quante cinquine al lotto (90 numeri, ne scelgo 5)? (5) = 43.949.268 8. Combinazioni con Ripetizione Scegliere k oggetti da n potendo ripetere, senza considerare l'ordine +k-1 c=("* 1) Esempio: In quanti modi scegliere 3 palline da un sacchetto con 4 colori (rimettendo ogni volta)? 4 =Il (i) 0» 9. Proprietà del Coefficiente Binomiale Ou O 0 Simmetria: n\ _ n ) k) \n-k Scegliere 2 su 10 = scegliere chi esclude 8 su 10: (19) = (10) = 45 Identità di Pascal: n\_(m-1 A nl k) \k-1 k L Questa genera il celebre Triangolo di Tartaglia: Questa genera il celebre Triangolo di Tartaglia: 1 11 19201" 1331 14641 1510 1051 10. Principio Fondamentale del Conteggio Se un'operazione A si può fare in m modi e un'operazione B in n modi: In sequenza (E):m x n modi Esempio: Scelgo una maglietta (3 colori) e un naio di pantaloni (4 colori): v 3x4= 12 combinazioni