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Richiami di probabilita`
Scheda
Assiomi di probabilita`
La probabilita^ pðEÞ di un evento E e un numero reale che verifica i seguenti assiomi:
a. 0 pðEÞ 1 qualunque sia l’evento E;
b. se e` lo spazio campionario, allora: pð Þ ¼ 1;
c. se A e B sono eventi incompatibili, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ.
Probabilita` secondo la definizione classica
Sia E un evento di uno spazio campionario , in cui tutti gli eventi elementari hanno la stessa possibilitadi verificarsi. Supponiamo che l’evento E sia formato da k eventi elementari (brevemente detti «casi favorevoli») e lo spazio campionario sia formato da n eventi elementari (brevemente detti «casi possibili»). Si definisce probabilita dell’evento E, e si indica con pðEÞ, il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili:
pðEÞ ¼
k n
Probabilita` dell’evento contrario
Se A eun evento e AA e il suo evento contrario, allora si ha:
pðAÞ ¼ 1 pðAÞ
Probabilita` dell’unione di due eventi
Se A e B sono due eventi, allora:
pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ pðA \ BÞ
Probabilita` condizionata
Siano A e B due eventi, con B di probabilita` non nulla; allora:
pðAjBÞ ¼
pðA \ BÞ pðBÞ
Eventi indipendenti
Per due eventi indipendenti A e B vale la regola del prodotto: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðBÞ
Formula di disintegrazione
Sia H 1 , H 2 ,..., Hn una collezione di insiemi che forma una partizione dello spazio campionario. Allora, per ogni evento A, vale l’uguaglianza:
pðAÞ ¼ pðAjH 1 Þ pðH 1 Þ þ pðAjH 2 Þ pðH 2 Þ þ ::: þ pðAjHnÞ pðHnÞ
Formula di Bayes
Dati due eventi A e B, tali che pðAÞ 6 ¼ 0, risulta:
pðBjAÞ ¼
pðAjBÞ pðBÞ pðAÞ
Valore medio, varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria
discreta
Sia X una variabile aleatoria che assume i valori x 1 , x 2 , ..., x (^) n, con probabilita` rispettive p 1 , p 2 , ..., p (^) n. Allora:
EðXÞ ¼ x 1 p 1 þ x 2 p 2 þ ::: þ x (^) n p (^) n
½x 1 EðXÞ^2 p 1 þ ½x 2 EðXÞ^2 p 2 þ :::: þ ½xn EðXÞ^2 pn
V ðXÞ ¼ oppure sðXÞ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V ðXÞ
p
x 12 p 1 þ x^22 p 2 þ :::: þ x n^2 p (^) n ½EðXÞ^2
Proprietadi una funzione di densita di probabilita`
f ðxÞ 0 per ogni x 2 R e
ðþ
f ðxÞ dx ¼ 1
Calcolo delle probabilita` relative a una variabile aleatoria continua X
di densita`^ f ðxÞ
pða < X < bÞ ¼
ðb
a
f ðxÞ dx
dove a, b 2 R oppure a ¼ 1 e b 2 R oppure a 2 R; b ¼ þ
Valore medio, varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria
continua ðþ
½x EðXÞ^2 f ðxÞ dx
EðXÞ ¼
ðþ
x f ðxÞ dx V ðXÞ ¼ oppure sðXÞ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi VðXÞ
p
ðþ
x^2 f ðxÞ dx ½EðXÞ^2
Distribuzioni binomiale, di Poisson, uniforme, esponenziale, normale
Nome, simbolo e parametri Densita`^ Media Varianza Binomiale X Bðn, pÞ n 2 N, 0 < p < 1
n k
pk^ ð 1 pÞnk^ np np ð 1 pÞ
Poisson X PðlÞ l > 0
el^
lk k! k ¼ 0, 1, 2, ...
l l
Uniforme X Uða; bÞ a < b
1 b a a^ <^ x^ <^ b 0 altrimenti
8 < :
a þ b 2
ðb aÞ^2 12
Esponenziale X EðlÞ l > 0
lelx^ x 0 0 x < 0
1 l
1 l^2
Normale X Nðm, s^2 Þ m 2 R, s > 0
1 s
ffiffiffiffiffiffi 2 p
p e
ðxmÞ^2 2 s^2 m s^2
Formule, definizioni e teoremi
