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Corsi Mario – Statistica Sociale
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Medie analitiche La statistica
Sai ched'è la statistica? È na' cosache serve pe fà un conto in generalede la gente che nasce, che sta male,che more, che va in carcere e che spósa.Ma pè me la statistica curiosaè dove c'entra la percentuale,pè via che, lì, la media è sempre egualepuro co' la persona bisognosa.Me spiego: da li conti che se fannoseconno le statistiche d'adessorisurta che te tocca un pollo all'anno:e, se nun entra nelle spese tue,t'entra ne la statistica lo stessoperch'è c'è un antro che ne magna due.
Carlo Alberto Salustri (Trilussa)(1871-1950)
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Medie analitiche Come detto, gli indici statistici di centralità o medie, si prefiggono lo scopodi sintetizzare la configurazione di una serie di micro-dati o di unadistribuzione.Se il dato su cui si opera è
quantitativo
allora l’operazione di sintesi, oltre
che con le medie di posizione, può effettuarsi
elaborando algebricamente
i singoli valori. Per tale motivo si parla di
medie analitiche
o di calcolo.
Queste, con un solo valore compreso nell’intervallo di valori determinato daidati, sintetizzano l’ “ordine di grandezza” del fenomeno osservato.Tuttavia, fermo restando il vincolo di essere comprese tra il minimo ed ilmassimo valore della distribuzione, esse differiscono in base al criterio concui si interpreta il concetto di “centralità”.
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Medie analitiche Diversi modi di “vedere” la “centralità” e quindi di definire una mediaanalitica^ Siano dati due regoli lunghi rispettivamente cm
^10
e cm
^20
. Quale
lunghezza dovrebbero avere due regoli identici complessivamentelunghi come i due dati?
+^ M
M
M
Calcolata in questo modo la media si definisce
aritmetica
. È questa la
media per antonomasia chiamata spesso “media” senza aggiungereulteriori attributi.
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Medie analitiche Media aritmetica. Formalizzazione.Per dati singoli:
x N
N
x
x
x x M
N i
i
N
i
=^
1
2 1 1
Per dati in una distribuzione di frequenza con
k
valori (classi) distinti:
∑=^ ∑=
=^
k i
i k i
i i f
f x
M
1 1 1
con
N
f k i
=i
∑=^1
Per i caratteri raggruppati in classi
x^ indica il valore centrale della classei
(^
*x ). Tale media viene spesso indicata anche con il simbolo i
x
.
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Medie analitiche Diversi modi di “vedere” la “centralità” e quindi di definire una mediaanalitica^ Siano dati due quadrati i cui lati misurino rispettivamente cm
^10
e cm
^20
Quale lato dovrebbero avere due quadrati identici la cui superficiecomplessiva risulti pari a quella dei due dati?
2 2 2 2
+^ M
M
2 2
M
Calcolata in questo modo la media si definisce
quadratica
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Medie analitiche Media quadratica. Formalizzazione.Per dati singoli:
x N
N
x
x
x x
M
N i
i
N
i
=^
1
2
2
2
(^22) (^21)
2
Per dati in una distribuzione di frequenza con
k
valori (classi) distinti:
∑=^ ∑=
=^
k i
i k i
i i f
f x
M
(^211)
2
con
N
f k i
=i
∑=^1
Per i caratteri raggruppati in classi
x^ indica il valore centrale della classe.i
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Medie analitiche Diversi modi di “vedere” la “centralità” e quindi di definire una mediaanalitica^ Siano dati due cubi i cui lati misurino rispettivamente cm
^10
e cm
^20
Quale lato dovrebbero avere due cubi identici il cui volume complessivorisulti pari a quello dei due dati?
3 3 3 3
+^ M
M
3 3
M
Calcolata in questo modo la media si definisce
cubica
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Medie analitiche Media cubica. Formalizzazione.Per dati singoli:
3
1
3
3
3
3
(^32) (^31)
3
x N
N
x
x
x x
M
N i
i
N
i
Per dati in una distribuzione di frequenza con
k
valori (classi) distinti:
3
(^311)
3
∑=^ ∑=
=^
k i
i k i
i i f
f x
M
con
N
f k i
=i
∑=^1
Per i caratteri raggruppati in classi
x^ indica il valore centrale della classe.i
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Medie analitiche Diversi modi di “vedere” la “centralità” e quindi di definire una mediaanalitica^ Un istituto bancario concede sui depositi un tasso del
^10
% nel primo
anno e del
^20
% nel secondo anno. Quanto vale il tasso costante che nel
medesimo periodo assicura la stessa redditività?
1 (^
+^
M
M
1 (^
= ≅ − + ⋅ + = M
Calcolata in questo modo la media si definisce
geometrica
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Medie analitiche Media geometrica. Formalizzazione (
i x^
Per dati singoli:
N
N i
i
N^
N
i
g^
x x x x x M M
=^
1
2 1
0
Per dati in una distribuzione di frequenza con
k
valori (classi) distinti:
=^
i^ ∏=
i
f
k i
f xi
M
1
0
con
N
f k i
=i
∑=^1
Per i caratteri raggruppati in classi
x^ indica il valore centrale della classe.i
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Medie analitiche Diversi modi di “vedere” la “centralità” e quindi di definire una mediaanalitica^ Un’auto percorre prima
^1
chilometro alla velocità di
^10
km/h poi il
successivo con la velocità di
^20
km/h. Con quale velocità costante
dovrebbe muoversi per percorrere i
^2
chilometri nello stesso tempo?
+^
M
M
M
M
Calcolata in questo modo la media si definisce
armonica
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Medie analitiche Media armonica. Formalizzazione (
x^ i
Per dati singoli:
−^
=^
N i
i
N
i
a
N x
x
x
x x
N
M
M
1
2 1
1
Per dati in una distribuzione di frequenza con
k
valori (classi) distinti:
=
−
=^
k i
i k i i
i f f x
M
(^11)
1
con
N
f k i
=i
∑=^1
Per i caratteri raggruppati in classi
x^ indica il valore centrale della classe.i
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Medie analitiche Generalizzazione (Tutte le medie analizzate in un’unica “formula”: le mediepotenziate).Si dimostra che:
1
1
−^
≤^
r r
r^
M
M
M
valendo l’uguaglianza solo se tutti i valori della variabile sono identici.Da un punto di vista grafico la situazione è così riassumibile:
xmin
(armonica)
M^ -
(geometrica)
M^0
(aritmetica)
M^1
(quadratica)
M^2
(cubica)^ M
3
xMax
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Medie analitiche Chiudiamo osservando come alcune peculiarità di calcolo impongano limitiall’applicabilità delle medie illustrate.Così, l’impossibilità di estrarre radici di indice pari per quantità negativeimpone limiti al calcolo della media geometrica che si applica solo perquantità non negative. Il fatto poi che un solo valore nullo azzererebbe ilprodotto sposta l’applicabilità ai soli valori positivi.Per la media armonica sorgono difficoltà insormontabili quando uno o piùvalori risultino nulli non potendosi, per essi, calcolarsi gli inversi.Va peraltro detto come, nella stragrande maggioranza dei casi, le quantitàosservate su di un collettivo risultino positive il che pone le “emergenze”dette su di un piano più che altro “accademico”.
