Distribuzioni Doppie: Regressione Lineare e Correlazione, Slide di Statistica Descrittiva

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Distribuzioni doppie

Regressione e correlazione

Serena Arima

15 ottobre 2020

Relazione matematica

Relazione matematica tra y e x

y = f (x)

(^1) Relazione tra area del cerchio (y ) e il suo raggio (x)

y = πx^2

(^2) Relazione tra valore in $ (y ) e valore in euro (x)

y = 1. 2 x

(^3) Equazione di una retta y = β 0 + β 1 x

Relazione statistica

Modello di regressione di y su x

(^1) La forma della relazione non è nota

(^2) Fattori non osservati possono influenzare la variabile y

Relazione statistica

y = f (x) + ε Modello di regressione di y su x

f (x) relazione matematica tra y a x

ε fattori non osservati

Modello di regressione lineare

Modello di regressione lineare di y su x

y = β 0 + β 1 x + ε

β 0 : intercetta (ordinata all’origine).

β 1 : coefficiente angolare (pendenza): I (^) β 1 > 0: y cresce al crescere di x

I (^) β 1 < 0: y decresce al crescere di x

I (^) β 1 = 0: x non influenza x

Modello di regressione lineare

(^1) Rappresentiamo N coppie di osservazioni

(xi , yi ) i = 1 ,... , N

sul piano cartesiano (punti osservati, o nuvola di punti)

(^2) Il problema è trovare la retta che meglio si adatta ai punti.

(^3) Equivale a trovare i valori di β 0 e β 1 per determinare quella retta.

Esempio: Relazione tra istruzione e reddito

8 10 12 14 16

1,

2,

2,

Studio

Stipendio

Esempio: Relazione tra istruzione e reddito

8 10 12 14 16

1,

2,

2,

Studio

Stipendio

Metodo dei minimi quadrati

Valori teorici di yi

y ˆi = b 0 + b 1 xi i = 1 ,... , N

Il metodo dei minimi quadrati consiste nel determinare i valori b 0 e b 1 che minimizzano:

Sq =[y 1 − (b 0 + b 1 x 1 )]^2 + [y 2 − (b 0 + b 1 x 2 )]^2 +... + [yN − (b 0 + b 1 xN )]^2 =

=

∑^ N

i= 1

[yi − (b 0 + b 1 xi )]^2 =

∑^ N

i= 1

(yi − yˆi )^2

Occorre risolvere il seguente problema di minimo:

∂Sq ∂b 0

∂Sq ∂b 1

Metodo dei minimi quadrati

Le soluzioni del problema di minimo sono:

b 1 =

∑^ N

i= 1

(xi − μX )(yi − μY )

∑^ N i= 1

(xi − μX )^2

CXY

DX

b 0 = μY − b 1 μX

Retta di regressione stimata di y su x

y ˆ = b 0 + b 1 x

Esempio: Relazione tra istruzione e reddito

Esempio: Relazione tra istruzione e reddito

8 10 12 14 16

1,

2,

2,

Studio

Stipendio

Esempio: Relazione tra istruzione e reddito

• Riferimento: Cicchitelli, D’Urso, Minozzo (2017) Capp. 10-
• xi yi xi − μX yi − μY (xi − μX )(yi − μY ) (xi − μX )
• 9 1,2 -2 -0,8 1,6
• 12 2,2 1 0,2 0,2
• 16 2,7 5 0,7 3,5
• 11 2,0 0 0,0 0,0
• 8 1,8 -3 -0,2 0,6
• 10 2,1 -1 0,1 -0,1
• 66 12,0 5,8
• μX = 11 μY =
• 5, b 1 =
• = 0,
• b 0 = 2 − 0,145 · 11 = 0,
• xi yi xi · yi x i
• 9 1,2 10,8
• 12 2,2 26,4
• 16 2,7 43,2
• 11 2,0 22,0
• 8 1,8 14,4
• 10 2,1 21,0
• 66 12,0 137,8
• 137,8 − 6 · 11 · b 1 =
• 766 − 6 ·
• = 0,
• b 0 = 2 − 0,145 · 11 = 0,

Interpretazione dei parametri del modello

(^1) b 1 : variazione media di y quando x aumenta di una unità

(^2) b 0 : valore della y quando x = 0.