Correlazione tra due variabili: analisi delle distribuzioni doppie, Slide di Statistica Economica

Scarica Correlazione tra due variabili: analisi delle distribuzioni doppie e più Slide in PDF di Statistica Economica solo su Docsity!

Capitolo 11

Analisi delle distribuzioni

doppie: correlazione

Statistica: principi e metodi

Data una distribuzione doppia in forma

disaggregata , si dice che tra le due variabili X e

Y

vi è correlazione positiva o concordanza

quando esse tendono a crescere (decrescere)

insieme

vi è correlazione negativa o discordanza

quando al crescere di una variabile l’altra

tende a decrescere.

Correlazione

Interpretazione

geometrica della formula

Correlazione positiva : i punti osservati sono collocati in prevalenza nel I e nel III quadrante dei nuovi assi cartesiani aventi origine nel punto ( μX, μY).

μμ μμ Y

μμμμ X

μμμμ Y

μμμμ X

Correlazione negativa : i punti osservati sono collocati in prevalenza nel secondo e nel quarto quadrante dei nuovi assi cartesiani aventi origine nel punto ( μX, μY).

∑^.



 

 

 

 (^) − −

N

i Y

i Y

X

i X σ

y μ

σ

x μ

N

r 1

·

1

Ne segue che i prodotti

sono in prevalenza positivi nel

primo caso e prevalentemente

negativi nel secondo. Cosicché la

quantità

media di tali prodotti, è positiva nel

primo caso e negativa nel secondo.

Impossibile visualizzare l'immagine.

∑^ ,



 

 

 

 (^) − −

N

i Y

i Y

X

i X σ

y μ

σ

x μ

N

r 1

·

1

Interpretazione

geometrica della formula

μμμμ Y

μμμμ X

μμμμ Y

μμμμ X

∑^.



 

 

 

 (^) − −

N

i Y

i Y

X

i X σ

y μ

σ

x μ

N

r 1

·

1

È positivo quando la retta di regressione di Y su X ha

coefficiente angolare positivo (b 1 >0); è negativo nel caso

opposto (b 1 <0).

Il segno del coefficiente di regressione e del coefficiente di

correlazione è determinato dal numeratore che rappresenta in

entrambi i casi la codevianza

Proprietà del coefficiente di

correlazione lineare di Bravais

x

xy

N

i 1

i X

N

i 1 i X i Y

D

C

(x μ )

(x μ )(y μ )

b =

∑

∑

x y

xy N i 1

N

i 1

i Y

i X

N

i 1 i X i Y D D

C

(x μ ) (y μ )

(x μ )(y μ ) r = − −

− −

∑ ∑

∑

= =

Non cambia se le modalità della singola variabile vengono

moltiplicate per una costante o aumentate (diminuite) di

una costante positiva.

Proprietà del coefficiente di

correlazione lineare di Bravais

Se ai termini della distribuzione disaggregata x 1 , x 2 , …, xN, aggiungiamo una quantità costante a, vi=xi+a, si ha

N X,^ Y i 1

N i 1

2 i Y

2 i X

N i 1 i X i Y N i 1

N i 1

2 i Y

2 i V

N i 1 i V i Y V,Y r (x a μ -a) (y μ )

(x a μ -a)(y μ )

(v μ ) (y μ )

(v μ )(y μ ) r =

• − −

• − − = − −

− −

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

= =

=

= =

=

Se moltiplichiamo i termine della distribuzione disaggregata x 1 , x 2 , …, xN, per una quantità costante positiva non nulla b, vi=bxi, si ha

N X,^ Y i 1

N i 1 i X^2 i Y^2

N i 1 i X i Y N i 1

N i 1 i X^2 i Y^2

N i 1 i X i Y N i 1

N i 1 i V^2 i Y^2

N V,Y i^1 i V i Y r b (x μ ) (y μ )

b (x μ )(y μ ) (bx bμ ) (y μ )

(bx bμ )(y μ ) (v μ ) (y μ )

(v μ )(y μ ) r = − −

− −

− −

− −

− −

− −

= =

= = =

= = =

=

Coefficiente di

correlazione lineare di

Bravais: calcolo

Tabella di calcolo dell’indice r per i dati che seguono (durezza e spessore di sei stoffe ritardanti di fiamma)

indice di

correlazione

1. 94 · 0. 26

2. 92 r =

Durezza (mg-cm) xi

Spessore (mm) yi^ xi^ - μX^ yi^ - μY^ (^ xi^ - μX)

(^2) ( yi - μY) (^2) ( xi - μX) · ( yi - μY)

7.98 0.28 -10.64 -0.20 113.17 0.04 2. 24.52 0.65 5.90 0.17 34.83 0.03 0. 12.47 0.32 -6.15 -0.16 37.80 0.03 1. 6.92 0.27 -11.70 -0.21 136.85 0.05 2. 24.11 0.81 5.49 0.33 30.16 0.11 1. 35.71 0.57 17.09 0.09 292.13 0.01 1. = 0. (^77) Totale 644.94 0.26 9.

Le medie sono:

μ X = 18. 62 ; μ Y = 0. 48

0

1

0 10 20 30 40

∑ ∑

∑

− −

− −

N i 1

N

i 1

i Y

i X

N

i 1 i X i Y (x μ ) (y μ )

(x μ )(y μ ) r

Per quanto abbiamo visto riguardo all’indice di

determinazione nel caso delle distribuzioni di

frequenze nel capitolo 10, abbiamo

Quando uno o entrambi i caratteri sono divisi in

intervalli, l’indice r si calcola prendendo i valori

centrali di classe.

Il caso delle distribuzioni doppie

di frequenze

. ( ) ( )

( )( )

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

− −

− −

t i X i j j Y j

s i

i X j Y ij

s i

t j

x μ n y μ n

x μ y μ n r

1 0

2 0

2 1

1 1