Misurazione della precisione degli stimatori: Errore quadratico medio (MSE) e consistenza, Slide di Statistica

Scarica Misurazione della precisione degli stimatori: Errore quadratico medio (MSE) e consistenza e più Slide in PDF di Statistica solo su Docsity!

Teoria della stima

SA Gattone

L’inferenza statistica riguarda l’insieme di metodologie che affrontano il problema di come trarre conclusioni su di un’intera popolazione sulla base di quanto osservato su un campione

Sia X la v.c. che rappresenta il fenomeno osservato sulla popolazione di interesse.

Immaginiamo di essere interessati al valore di un parametro incognito θ

θ quindi è una sintesi numerica della popolazione

La teoria dell’inferenza statistica può essere suddivisa in:

1. STIMA PUNTUALE
2. STIMA PER INTERVALLO
3. VERIFICA D’IPOTESI

STIMATORE (1)

Sia X 1 , X 2 ,... , X n un campione casuale semplice di dimensione pari a n estratto dalla popolazione X Lo stimatore è una opportuna funzione delle osservazioni campionarie che ha come obiettivo quello di pervenire ad una stima di θ Si noti quindi che lo stimatore non è altro che una statistica campionaria (funzione delle osservazioni campionarie) che ha l’obiettivo di stimare θ. Lo indichiamo con:

T = t(X 1 , X 2 ,... , X n )

T è una v.c. perchè il suo valore dipende dal campione casuale estratto

Prima dell’estrazione del campione

CAMPIONE CASUALE X 1 , X 2 ,... , X n

STIMATORE T = t(X 1 , X 2 ,... , X n )

STIMATORE (2)

Lo stimatore ha una sua distribuzione di probabilità: la distribuzione campionaria La conoscenza della distribuzione campionaria ci permette di capire se lo stimatore scelto produrrà con elevata probabilità stime vicine a θ I (^) Quale stimatore scegliamo? I (^) Dobbiamo definire delle proprietà desiderabili che uno stimatore deve possedere per essere preferito agli altri

E’ opportuno assicurarsi che l’errore nella stima non presenti sistematicità e sia piccolo in ordine di grandezza

STIMATORE: proprietà

Le proprietà vengono distinte in esatte e asintotiche

1. Esatte: Correttezza e Efficienza. Studiano le proprietà dello stimatore tenendo fissa le dimensione del campione.
2. Asintotiche: Consistenza. Studiano le proprietà al crescere della dimensione campionaria.

Proprietà della efficienza (1)

E’ desiderabile che al variare dei campioni, l’errore di stima |T − θ | sia piccolo. Come misura di prossimità di T a θ possiamo usare il valore atteso di (T − θ )^2 ossia E (T − θ )^2 Questa quantità viene chiamata errore quadratico medio dello stimatore T , indicato anche con MSE (T ) ( Mean Squared Error ):

MSE (T ) = E [(T − θ )^2 ]

I (^) Misura la precisione dello stimatore I (^) La sua radice quadrata rappresenta l’errore standard dello stimatore cioè quanto mediamente le stime oscillano attorno al parametro θ

Proprietà della efficienza: MSE

Dati due stimatori T 1 e T 2 del parametro θ , T 1 è più efficiente di T 2 se e solo se:

MSE (T 1 ) < MSE (T 2 ) per tutti i valori di θ.

Si dimostra che l’MSE può essere decomposto in due componenti ovvero si ha che:

MSE (T ) = E [T − θ ]^2 = Var (T ) + B(T )^2 cioè l’errore quadratico medio è pari alla varianza dello stimatore più la sua distorsione al quadrato. Inoltre, se lo stimatore è corretto allora B(T )^2 = 0 e quindi MSE (T ) = Var (T ) Dati due stimatori corretti, T 1 e T 2 , T 1 è più efficiente di T 2 se e solo se Var (T 1 ) < Var (T 2 )

MSE = VAR ( T ) + B ( T )^2 (2)

Si noti che: I (^) E [T − E (T )]^2 = Var (T ) I (^) E [E (T ) − θ ]^2 = B(T )^2

L’ultimo termine risulta pari a zero infatti si ha:

2 E [T − E (T )][E (T ) − θ ] = 2 [E (T ) − θ ]E [T − E (T )] = 2 [E (T ) − θ ][E (T ) − E (T )] = 0_._

Pertanto si ha che:

MSE (T ) = E [T − θ ]^2 = Var (T ) + B(T )^2

Consistenza(1)

Uno stimatore è consistente se la sua precisione aumenta all’aumentare della dimensione campionaria In particolare si dice che lo stimatore T n è consistente in media quadratica se e solo se:

n^ lim→∞ MSE^ (T n ) =^0

La consistenza in media quadratica garantisce che, al crescere di n, la distribuzione campionaria di T n si addensa sempre di più intorno a θ ossia tende a concentrare la sua massa di probabilità intorno a θ

Correttezza asintotica (consistente in media)

T n è asintoticamente corretto se

n^ lim→∞ E^ (T n ) =^ θ

STIMA PUNTUALE DELLA MEDIA μ DI UNA

POPOLAZIONE: LA MEDIA CAMPIONARIA

Lo stimatore media campionaria è pari a:

X^ ¯ = 1

n

∑^ n

i = 1

X i

I (^) La media campionaria è uno stimatore corretto in quanto E ( X¯ ) = μ I (^) La media campionaria è uno stimatore consistente in quanto MSE ( X¯ ) = Var ( X¯ ) = σ 2 n e^ lim n →∞^

σ^2 n =^0

VARIANZA (MSE) DELLA MEDIA CAMPIONARIA:

DIMOSTRAZIONE

Per l’indipendenza delle X i applichiamo la regola che la varianza della somma è pari alla somma delle varianze. Pertanto la varianza della media campionaria X¯ = (^1) n

∑ n i = 1 X i^ è pari a:

Var ( ¯X ) = Var [

n

∑^ n i = 1

X i ] =

n^2

∑^ n i = 1

Var (X i )

n^2

∑^ n

i = 1

σ^2 =

n^2 n σ^2 =

σ^2 n

Confronto fra due stimatori (1)

Immaginiamo di estrarre un campione da una popolazione X con media pari a μ = 100 e varianza pari a σ^2 = 22 Definiamo due stimatori per il parametro μ :

1. T 1 = X¯ = (^1) n

∑ n i = 1 X i

2. T 2 = 12 X 1 + (^12) n −^11 ∑ n i = 2 X i

I (^) T 1 è la media campionaria I (^) T 2 assegna peso 12 al primo elemento estratto e peso 12 alla media dei rimanenti n − 1 elementi del campione

N.B. Ricordiamo che X 1 , X 2 ,... , X n rappresenta un campione casuale semplice di v.c. i.i.d. ciascuna con media pari a E (X i ) = μ e varianza pari a Var (X i ) = σ^2 , ∀ i.