Stima Puntuale: Metodi e Proprietà degli Stimatori, Schemi e mappe concettuali di Statistica

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Dipartimento di Economia Aziendale

Prof. Carlo Matta

Corso di Statistica

Stima puntuale

Recap

• CAMPIONE CASUALE

• POPOLAZIONE

• SPAZIO CAMPIONARIO STATISTICO

• STATISTICHE CAMPIONARIE E LORO DISTRIBUZIONI DI

PROBABILITÀ

• DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA MEDIA

• DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA VARIANZA

Stima puntuale: significato

La stima puntuale di un parametro restituisce un valore preciso per il

parametro (incognito) della popolazione con livello di precisione

prefissata.

L’idea è quella di scegliere lo stimatore più appropriato per attribuire un

valore al parametro di interesse 𝜃: l’aggettivo «puntuale» viene utilizzato

per distinguere questo aspetto dalla stima per intervallo con cui si

restituisce un insieme di valori plausibili che contengono, con un

prefissato margine di errore, il valore del parametro 𝜃.

L’interesse di questo tipo di studio è rivolta prevalentemente a parametri

come la media 𝜇 di una generica popolazione o alla varianza 𝜎

2

ma allo

stesso tempo la teoria verrà formalizzata per un generico stimatore del

generico parametro 𝜃.

Proprietà degli stimatori

Sia 𝑋 1

2

𝑛

un campione casuale proveniente da una popolazione

di cui interessa stimare il parametro 𝜃. Sia 𝑇 = 𝑡 𝑋 1

2

𝑛

uno degli

stimatori eleggibili per la stima di 𝜃. Consideriamo la variabile casuale

data dalla differenza tra lo stimatore e il valore del parametro incognito

che chiameremo ERRORE DI STIMA , che può assumere un valore

positivo, negativo o nullo. Prendiamo il valore atteso

ed anch’esso può essere positivo, negativo o nullo: nel primo caso lo

stimatore tende a sovrastimare il parametro, nel secondo caso tende a

sottostimarlo mentre se è nullo si bilanciano errori negativi e positivi.

Errore quadratico medio

Sia 𝑋 1

2

𝑛

un campione casuale proveniente da una popolazione

di cui interessa stimare il parametro 𝜃. Si chiama ERRORE

QUADRATICO MEDIO (o Mean Square Error ) dello stimatore 𝑇 =

1

2

𝑛

del parametro 𝜃 la quantità

2

L’errore quadratico medio dello stimatore 𝑇 di 𝜃 può essere anche scritto

2

dove 𝑉𝑎𝑟 𝑇 = E 𝑇 − 𝐸(𝑇)

2

è la varianza dello stimatore 𝑇.

Notiamo che per gli stimatori non distorti vale la seguente relazione:

𝑀𝑆𝐸 𝑇 = 𝑉𝑎𝑟 𝑇 ⇔ 𝐸 𝑇 = 𝜃, per ogni 𝜃.

Efficienza di uno stimatore

Dati due stimatori dello stesso parametro 𝜃, 𝑇 1

1

1

2

𝑛

e 𝑇 2

2

1

2

𝑛

si dice che il primo è PIU’ EFFICIENTE del secondo se

1

2

2

2

, per ogni 𝜃,

in cui si assume che per almeno un valore di 𝜃 vale la disuguaglianza in

senso stretto.

Poiché l’errore quadratico medio 𝑀𝑆𝐸 𝑇 1

può dipendere dal valore

incognito di 𝜃, lo stimatore 𝑇 1

è più efficiente di 𝑇 2

solo se il suo errore

quadratico medio:

• non supera quello di 𝑇 2

per ogni valore di 𝜃;

• è inferiore a quello di 𝑇 2

per almeno un valore di 𝜃.

Consistenza – distribuzioni a confronto

Possiamo rappresentare graficamente le distribuzioni di probabilità

dell’errore di stima 𝑇 − 𝜃 per diverse dimensioni campionarie

considerate: da 𝑛 = 20 , ad 𝑛 = 50 , poi 𝑛 = 100 fino a arrivare a 𝑛 = 200.

Possiamo notare come la distribuzione dell’errore di stima divenga

sempre più concentrata attorno all’origine: aumenta la probabilità che

l’errore di stima sia contenuto nell’intervallo 𝜃 − 𝜀, 𝜃 + 𝜀.

Non distorsione asintotica

Uno stimatore 𝑇 𝑛

𝑛

1

2

𝑛

del parametro 𝜃 si dice

ASINTOTICAMENTE NON DISTORTO se

lim

𝑛→∞

𝑛

= 0 , per ogni 𝜃

ciò equivale a dire che la sua distorsione tende a 0 al tendere di 𝑛 a

infinito.

Questa proprietà può essere alternativamente scritta anche nella forma

seguente (sfruttando la definizione di non distorsione), ovvero

lim

𝑛→∞

𝑛

cioè se il valore atteso dello stimatore tende al parametro da stimare al

crescere della numerosità del campione.