slides statistica: variabilità, Dispense di Statistica

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Esercitazioni di Statistica

Variabilità

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Introduzione

Indici di variabilità Scostamento semplice medio e scostamento quadratico medio per distribuzioni disaggregate Scostamento semplice medio e scostamento quadratico per distribuzioni di frequenza Coefficiente di variazione Differenze medie semplici per distribuzioni disaggregate e distribuzioni di frequenza

Scostamenti medi per distribuzioni disaggregate

Scostamento semplice medio

Sμ =

N

∑^ N

i= 1

|xi − μ|

Scostamento quadratico medio o deviazione standard

σ =

N

∑^ N

i= 1

(xi − μ)^2 =

N

x i^2 − μ^2

Proprietà degli scostamenti medi

Assumono valore 0 nel caso di assenza di variabilità

Non cambiano se a ciascun termine della distribuzione si aggiunge una quantità costante (positiva o negativa)

Moltiplicando ciascun termine della distribuzione per una costante (positiva o negativa) anche gli indici risultano moltiplicati per il valore assoluto della costante

Esercizio

Sono dati gli incassi giornalieri in euro di un ristorante nei sei giorni di apertura della prima settimana di giugno:

440 320 350 250 650 810

Determinare: Scostamento semplice medio Scostamento quadratico medio Varianza e devianza Aggiungere ad ogni termine della distribuzione 30 e verificare la proprietà degli scostamenti medi Moltiplicare ogni termine della distribuzione per 0.4 e verificare la proprietà degli scostamenti medi

Esercizio soluzione μ = 470

xi 440 320 350 250 650 810

|xi − μ| 30 150 120 220 180 340

(xi − μ)^2 900 22500 14400 48400 32400

Sμ = 10406 = 173 , 3 euro σ =

234200 6 =^197 ,^6 euro

σ^2 = 39033 , 3 euro^2 Dev (x) = 234200 euro^2

Esercizio

E’ data la seguente distribuzione degli esami sostenuti da un laureando di un corso di laurea secondo il voto:

Voto N. di esami 23 2 24 2 25 4 26 6 27 5 28 4 29 3 30 4 totale 30

Calcolare lo scostamento semplice medio e la deviazione standard

Esercizio soluzione

Voto N. di esami xi · ni |xi − μ| · ni (xi − μ)^2 · ni 23 2 46 7,6 28, 24 2 48 5,6 15, 25 4 100 7,2 12, 26 6 156 4,8 3, 27 5 135 1 0, 28 4 112 4,8 5, 29 3 87 6,6 14, 30 4 120 12,8 40, totale 30 804 50,4 122,

μ = 26 , 8 Sμ = 301 50 , 4 = 1 , 68 σ =

1 30 122 ,^8 =^2 ,^02

Esercizio-soluzione

Classi di reddito ni x¯i x¯i · ni x¯i 2 · ni 0 a 1 200 0. 5 100 50 1 a 2 350 1. 5 525 787. 5 2 a 4 450 3 1350 4050 4 a 8 500 6 3000 18000 1500 4975 22887.

¯x =

= 3. 32 μ^2 q =

σ^2 = 15. 26 − 3. 322 = 4. 24 euro^2 σ =

4. 24 = 2. 06 euro

Indici percentuali di variabilità

Gli indici di variabilità visti fino ad ora (insieme alle Differenze medie, Campo di variazione e Differenza interquartile) costituiscono gli indici di assoluti di variabilità che sono espressi nella stessa unità di misura del carattere, risentono dell’ordine di grandezza della distribuzione pertanto non sono idonei per il confronto della variabilità di più distribuzioni quando le medie sono diverse oppure quando le unità di misura utilizzate sono diverse.

Per rendere comparabili distribuzioni diverse si utilizzano gli indici percentuali di variabilità che sono ottenuti rapportando gli indici assoluti di variabilità alla media aritmetica e moltiplicandoli per 100. Si parla quindi di deviazione standard percentuale, differenza media percentuale, campo di variazione percentuale e differenza interquartile percentuale.

Gli indici percentuali di variabilità sono numeri puri (adimensionali)

Esercizio

Si vuole confrontare il benessere (espresso in reddito medio mensile) delle 1500 famiglie italiane (euro) con quello di un gruppo di 800 famiglie americane (dollari). I valori di sintesi per i due gruppi sono riportate nella seguente tabella

Famiglie x¯ σ italiane 3 , 32 2 , 06 americane 4 , 3 2 , 55

Per poter confrontare gruppi che differiscono tra loro per diverse metriche e/o ordine di grandezza si utilizza il coefficiente di variazione, il cui valore è un numero puro uguale al rapporto tra lo scostamento quadratico medio e la media aritmetica.

Esercizio-soluzione

Famiglie x¯ σ CV italiane 3 , 32 2 , 06 62 % americane 4 , 3 2 , 55 59 %

Le famiglie italiane, osservate, hanno un reddito medio mensile pari a 3, migliaia di euro con una variabilità relativa pari al 62%, nelle famiglie americane, con reddito medio di 4,3 mgl di dollari, si osserva una variabilità più bassa, pari al 59%.

Esempio: differenza semplice media

Differenza semplice media

Essendo la differenza |xi − xj | = |xj − xi |

La formula può essere riscritta

N(N − 1 )

∑^ N

i= 2

∑^ i−j

j= 1

|xi − xj |