slides statistica: concentrazione, Dispense di Statistica

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Esercitazioni di Statistica

Concentrazione e eterogeneità

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Introduzione

La concentrazione nel caso delle distribuzioni disaggregate

La concentrazione nel caso delle distribuzioni di frequenze

L’eterogeineità

La concentrazione

Un carattere è trasferibile quando è possibile che una unità statistica “ceda” una parte di carattere ad un’altra unità. Esempi: reddito, cd posseduti, voti elettorali ecc.

Lo studio della concentrazione riguarda il modo in cui il carattere quantitativo trasferibile si accentra in un numero ridotto di unità.

Esempio: in Italia nel 2011, l’ammontare dei redditi da lavoro dipendente era di 654.836 milioni di euro, possiamo essere interessati a conoscere come questo ammontare fosse ripartito fra le diverse famiglie italiane. Se la maggior parte dell’ammontare era detenuto da poche famiglie possiamo dire che il reddito era concentrato, al contrario se ogni famiglia deteneva la stessa quantità di reddito possiamo dire che questo era equidistribuito tra le famiglie.

La concentrazione

Analizzando l’ammontare totale del carattere si studia il suo grado di “addensamento” in poche unità.

Massima concentrazione quanto l’intero ammontare del carattere è posseduto da una sola unità Equidistribuzione quando l’intero ammontare del carattere è ripartito equamente tra le unità.

Le unità statistiche vanno sempre ordinate in modo crescente del carattere posseduto

Equidistribuzione

Un carattere quantitativo trasferibile X, con n valori osservati x 1 , x 2 , ..., xN , si dice equidistribuito se ognuna delle N unità possiede 1/N dell’ammontare complessivo del carattere:

An =

∑^ N

i= 1

xi

ossia per ogni i si ha che:

xi =

A

N

= ¯x

¯x = 7 , 6

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

7,6 7,6 7,6 7,6 7,

Variabilità e concentrazione

Se non si verifica l’equidistribuzione allora sussiste un certo grado di concentrazione.

Esiste una corrispondenza con il concetto di variabilità. Infatti tanto più un carattere è concentrato, tanto più è elevata la variabilità del carattere, mentre se non sussiste variabilità allora anche la concentrazione è nulla.

Equidistribuzione=concentrazione nulla

Misura della concentrazione

Ai = x 1 + x 2 + ... + xi ammontare del carattere posseduto dalle i unità (meno dotate)

AN = N · μ ammontare complessivo del carattere

Qi i-esima frazione del carattere (cumulate relative carattere)

Pi i-esima frazione di unità (cumulate relative delle unità)

Qi =

Ai

AN

Pi =

i

N

i = 1 , 2 , ....N

Misura della concentrazione

Nel caso di equidistribuzione

Qi = Pi poiché come ogni unità è un n-esimo dell’intero collettivo, anche il suo ammontare è un n-esimo dell’ammontare totale; se invece si è nel caso di massima concentrazione, tutte le Qi , esclusa QN (che è uguale a 1) valgono 0. In tutte le situazioni intermedie Qi ≤ Fi.

Considerando le differenze:

N∑− 1

i= 1

(Pi − Qi )

queste saranno tutte uguali a 0 nel caso di equidistribuzione e tutte uguali a Pi (escluso l’ultima che è 0) nel caso di massima concentrazione,

Indice di concentrazione di Gini

G =

N∑− 1

i= 1

(Pi − Qi )

N∑− 1

i= 1

Pi

G=0 equidistribuzione

G=1 concentrazione massima

Calcolo dell’indice di concentrazione di Gini

i xi Pi Ai Qi Pi − Qi 1 3,5 0,2 3,5 0,09 0, 2 6 0,4 9,5 0,25 0, 3 7 0,6 16,5 0,43 0, 4 9,5 0,8 26 0,68 0, 5 12 1 38 1 38

G =

N∑− 1

i= 1

(Pi − Qi ) N∑− 1

i= 1

Pi

Soluzione

i xi Pi Ai Qi Pi − Qi

R =

Interpretazione geometrica del rapporto di concentrazione

Rappresentando su un piano cartesiano i punti di coordinate (Pi , Qi ) si ottiene congiungendo tali punti la curva di concentrazione o curva di Lorenz.

Nel caso di equidistribuzione la curva si riduce nel segmento di equidistribuzione avente come estremi i punti (0,0) e (1,1).

Nel caso di massima concentrazione la curva coincide con la spezzata che unisce i punti di coordinate (0,0) ( N N− 1 , 0) (1,1) detta curva di massima concentrazione

0.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

pi

qi

Relazione tra area e rapporto di concentrazione

Quando N è sufficientemente grande l’area di massima concentrazione è

approssimativamente uguale a 12 in questo modo la formula diventa

R =

N

N∑− 1

i= 1

(Pi − Qi )

Tra i due indici G e R sussiste la seguente relazione di proporzionalità

R =

N − 1

N

G

Area di concentrazione

0.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

pi

qi

0.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

pi

qi

0.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

pi

qi

0.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

pi

qi