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. 2023
Lo
spazio
vettoriale
IR"
· Spazi
Vettoriali
APPLICAZIONI LINEARi
·
Endomorfismi
-Teorema spettrale
11 INTERO
IR
=
/V , ve ....,
Un)
: V
,
Ve ...
UnEIR
↑
Vettori
diRt
componenti
Di
· EX
:=
,
0
,
-5) vettore di Ir
componenti di
T
n
=
IRE = IR
h
=
Ir2- coppia
di
Numeri coordinate Cartesiane
h
= 3
IR3 - > SPAZIO TriDimensionale
ESEMPIO
IB
1
=
(3) puntipla · I I
IR2aY-
1
Y & (
,
- DUPLA
I
>
X
1
Esiste il
Vettore Nuvo in
ogni/r -
,
0
,
0 ....
d IR
OPERAZIONI VETTORIAL
· SOMMA
DIVETTORI ci sono
intutti qui spazi Vettoriali
· PRODOTTO PER
SCALARE
· PRODOTTO
SCALARE sono specifici
di IRh
·
NORMA
·
PRODOTTO VETTORIALE
Specifico di IR
1 SOMMA Di
Vettori
↑= Iv
,
Va ,
....
Un) =
(w , Wa , ....,
wa)
IRh
↑
=
(V
Wy
,
Va
Wa
,
....,
Vw
Wn)
ESEMPIO
↑
(
,
0
,
- W
=
,
Na
,
#)
↑
,
0
+ N
,
S
+)= (+ 3
,
N
,
5 +π)
LA REGOLA
DEL PARAUELOGRAMMA
aY
-m
w
X
Posso
sommare
solo
vettori
nello
stesso IRh
in
↑
x
·
METODO
PUNTA CODA
·
METODO
VETTORE APPLICATO AD UN PUNTO
A
a
·
Spostamento
RIGIDO
~
Vettore APPLICATO A P
w
a
sposto %
·
P
i
>
>
&
g
T ve
T
Y &
a
~
opposto di Un
Vettore
↑
=
/V ,
Va
, ....,
Un
-V = /-
Ve ,
Va ,
.. ...
Vm)
DIFFERENZA
DI Due VITTORI
=
,
Va
. . ..,
Un)
=
/We
,
Wa ,
...
,
Wa)
-W
=
/1- We ,
Va-Wa , ....,
Vn-Wal
au
-y
↓
PUNTA CODA DeL Vettore
Ea
↓ 7
TRASLO NEL'ORIGINE
↑
2 > X
PROPRIETÀ
SOMMA VETTORI
e PRODOTTO PER
SCALARE
↑,
,
EcIRN
XIMER
·
= + · (M)
=
1(m)
· +=
· ( +
M)
= 1 +
mu
-propr .
Distributiva
· T
( v )
= 0
· d/+ wY)= di+ 6
· (+ )
/+ E) - PROPR
. Associativa
· ov=
. =
DEF COMBINAZIONI LINEARI
, E
, ...
er
di
da,
↓+ da+....
da - combinazione Lineare di in ... in
IL Vettore NUMO
È
L'UNICA COMBINAZIONE LINEARedi
UN INSIEME VUOTO
DI
VITTORI
DEF
: SOTTOSPAZIO
Generato
,v
....,
UNE
IRh
~
Insieme di
Vettori
2(
, ...
:=
G
:
d
,
de ...,
deir]
e
sottospazio generato da un
att
2(a)
=
20
2(8)
=
[
:
ver]
Insieme
di tuti
vettori
Il
art
A
↑
LIV ,
wi)
e
sotto spazio generato
3
i
2 ~
BASE CANONICA DI IRN
e
......
In
EIRh
e
= 11
,
,
,
......,
= 10
,
,
0
,
0
,
....
a
et
=
,
0
.
0
,
.
... ,
POSIZIONE
I-ESIMA
Esempio
IR IR
N
en
=
,
es
= 10
,
i
11
,
0
. 0
i
=
10
,
,
015
es"
3
=
10 ,
,
in
CeMMA-
Ogni
Mer si scrive
in modo
unico
come combinazione lineare
di e
....
In
Ier
,
...
In
ertest .... den)
DIMOSTR
: FE
V
,
Ve ,
Vz ....,
Un
= Vi (
,
V2/0 ,
,
.. .
.,
0
I
VALe L'UGUAGUANZA
Un
10
,
0
,
0
↑=
VentVest ....
+ Unew
Lee
....,
en)
= ir
Esempio
1R3 T
= (
1
,
,
= -
2
.
23
= -
1
. 1
0
.
5
2
.
k
PRODOTTO SCALARE
Siamo
T=
/V ,
...,
un)
W
=
/Wr
,
Wa ...,
Wal
↑ W=
VW
VaWa
+...
Un
Wh
Def =
Weir" : III= 1 e detto
Versore
Vert
,
/Ilüllo)
= E Detto Versore ASSOCIATO
A
VERSORE NORMALIZZAZION
= 111. 11
=
/
11
Il VII
Esempio
= = (
,
.
VERSORE ASSOCIATO
?
NORMA
= 11TIl
= 33 + 02 + +d
= N
= N25 = 5
.
T=
(3 ,
0
,
4
=
(
,
0
,
-5)a
NORMA
=
(3)
02(
=
16
=
=
1
PROPRIETÀ DEVA NORMA DELLA SOMMA
, EIRh
118
E 112 = 115112
2/
· ) + 11112
PRODOTTO SCALARE
DIMOSTRAZIONE
Il+
wi?
)
(8+ 1
. (8+ )(
= (
. (F
w) = (n+ c)
.
W=
↑
w.
v.
w=.
ww= 11/12+ 2(V)
11
11 m
DISUGUAGLIANZA
Di
CAUCHY-SCHWARZ
-IRh
In MII I Will
L'uguagliaza
è vera
DIMOSTRAZIONE
se
= ~
=
VVabene
se
fo foto vitto
oIl-J
=
11 V1K + 2 8
.
=
11 V12-26(
. )+
/1 - d)11wl)?
=
11 VIK-26/8.)
1-d12 Il Il= 118112-26/
.)
=
8/d)
ma
N
D0 D = /-2 (v
)) (11 WI(
4/82-
4/11112115112) 0
Y
(
. 12114211WK
I
.
I11 VIIII WI
CAuchi-Schwartz
f(x)
= 0
DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE 8-03-
weirn
118
+ww
11
/I+ 11
L'uguaglianza
vale se e solo se
et
hanno
lo
stesso
verso
IMOSTRAZIONE
11 u 112 + 3 + In
21v
.
wi
Will 112 + altilli
Il=
w
(In
S
Uso
Cauchy-Schwarz
11
1121111
w I. W
Nu I d
. w
↓II IdlIll
↓=Il do ho
ugraglianza
solo se
do
perché
si Chiama disuguaglianza
Tringolare
IR
1
T
T
corollario=
siamo
,
io
eirn
Ilt-wl 111 +
11 w
DIMOSTRAZIONE
CORONARIO D
=
TER
11511
:
11/5-
ll
11 -
11/111-Il/ Il-II 11-
Il-w1-111-
quindi
Ilt-11/
ESEMPIO
IR
#(
,
=
(
,
,
trovare
↑ w = H
. ( y)
(
.
0
=
= 1
(IV
= 19 + 12 + 02 = 2
=
(
,
10
=
wi
=
w
,
,
(
, f
,
0
=
)
2 ,
VETTORE RIFLESSO
: -
e Detto
Vettore riflesso
o simmetrico di
t
rispetto
aut
A
Il
us"
D
Determinante di Due Vettor
di 122
Siamo
er
V=
(v
,
va)
=
/W , 2
La
quantità
di
det =
VWz-VzW/
è
detta determinante di
i
si
scrive Une V
2
anche
Wr Wa
Esempio
= 13
,
= ( 1 ,
det=
34
= (
.
1
.
= 4
10
AREA DEL PARALELO GRAMMA
N
&
l'area del
parallelogramma
di lati
,
e =
I Idet(v
,
/I
A
i
l'area del
triangolo
di lati
i
in è
uguale
T
det
T
·
dett
,
w)
=
o
CORONARIO
·
L'area
del
parallelogramma
di lati
as, t
Idet/B
,
Al
al
·
l'area
del
triangolo
di lati a
,
A
/deta
a
·
A
B
· A
,
B
,
C stanno
sulla
Stessa
Retta
(coolinean)
det(AB ,
0
DETERMINANTE
Di 3 VETTORI
IR PRODOTTO MISTO
u =
(M1 , Mz, Mz)
=
(V
, Va ,
V3)
>
W
Wn ,
Wa
,
Wg)
dettu , , l
=
Mr
Va V
Ma
Un
Va Un
Va
M
Wa Wa
We Wa
We
Wa
Mr Ma
Ms
Un Va
V
=
11 (verus
Ma
Ve Us
Ma
Ve
Ve
Wa
Wa
VWS Wi
Wa
wi
Wa
we
. x
è
ortogonale
sia
it che
aut
·
Il XII
=
area del
parallelogramma
di lati
,
i
·
REGOLA
DELLA MANO DESTRA
:
Medio
Ex POLICE
PROPRIETÀ DEL
PRODOTTO VITTORIALE
· X
=
-x
·
(V)
x
(d)
= X(x)
·
(n
)x=
MX
Nx
· Il
XI1 = 11 Mil IIII sino
Sangolo
trat ,
i
*= xi
= =X
LEMMA
·
L'area
del
parallelogramma
di Cati AB
,
Ac
=
Il/B-1)x(c-1)
·
L'area
del
triangolo
di lati
AB
,
AC =
1ll
(B-Ax(cAl
· A ,
B
,
c sono
collineari
= (B
PROTEZIONE DI
UN VETTORE IN
IR SU
UN
PIANO
↑ ,
NeIr
Non paralleli
er !
p ,
WiE IR
:
·
Üpe2/i
,)
e
=
vxr
·
n
, >
· U = +m
· n= /x
.
jux)
IlX
TORe Vel Riflesso
>
Ws
=
è
detto
vettore Riflesso di rispetto
al
piano 2/
,)
Esercizi Vibro (Cap1)
1 m
,
,
T=
,
0 ,
0
i
,
2
,
- =
(
i
,
,
Rispettivi
i
,
,
(
,
,
=
(
,
Versori
(
% 0 ,
a
4
&
(
,
,
- = 1(
S
,
,
-2)
55
2
=
2
.
V
0
M
+w)
·
(M
= (
,
,
·
(
1
1
2
,
=
3
=
5
2v
= i +
-vers(f)
,
3
=
No)
=
1(
,
3
,
No)
=
( ,
vettori paralleli
a 2
511tN
telR
Vettori
/la V con modulo
1t+ 3t
=
1
t + 3t
A
It
t(
&
t
=
1
.
(p
5s)
!
t
=
3v
=
2i
j
3km
= i-
j
k
3M
= (
,
,
solo
=
(
2
,
(
,
3
,
a =
Na
1
=
53
VETTORE PARAUELO ALLA BISETTRICE
verstultversin
=
I')
E'
)
=
paravelo alla
Biscarice
Spiegazione pag a
