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Lezione del 26/01/
Argomenti trattati: Calcolo letterale; operazioni con monomi e polinomi; alcuni semplici prodotti notevoli. Tradurre un’istruzione in espressione letterale e viceversa. Problemi con equazioni di primo grado. Disequazioni e ordinamento dei numeri reali. Verifica della soluzione di una disequazione; principi di equivalenza e risoluzione di disequazioni di primo grado.
Breve riassunto, esempi ed esercizi Esempio 1 Scriviamo, come opportuna espressione letterale: “Il quadrato della meta di un numero reale diminuita di 1”. Per fare cio, fissiamo il numero reale x ∈ R. Consideriamo la meta di x x −→ x 2 la diminuiamo di 1 (il termine femminile diminuita non puo che essere riferito a met`a) x 2 −→^
x 2 −^1 quindi il quadrato della met`a diminuita di 1 x 2 −^1 −→
( (^) x 2 −^1
o, equivalentemente (svolgendo il quadrato di binomio), x^2 4 −^ x^ + 1. Esempio 2 Scriviamo: “Il quadrato della meta di un numero reale diminuito di 1”. La frase presenta un ambiguita: il termine diminuito a chi e riferito? A quadrato oppure a numero reale? Riscriviamo i due possibili modi di intendere l’istruzione. Primo caso: “Il quadrato, diminuito di 1, della meta di un numero reale” (diminuito riferito a quadrato) Per fare ci`o, fissiamo il numero reale x ∈ R.
Consideriamo la met`a di x x −→ x 2
quindi il quadrato della met`a x 2 −→
( (^) x 2
infine il quadrato diminuito di 1 ( (^) x 2
( (^) x 2
o, equivalentemente, x^2 4 −^1. Secondo caso: “Il quadrato della meta della differenza tra un numero reale e 1” (diminuito riferito a numero reale:e stato necessario riformulare la frase per togliere l’ambiguita) Per fare cio, fissiamo il numero reale x ∈ R. Consideriamo la differenza tra x e 1
x −→ x − 1
quindi la met`a della differenza x − 1 −→ x^ − 2 1
infine il quadrato della met`a della differenza x − 1 2 −→
( (^) x − 1 2
o, equivalentemente, (x − 1)^2 4 =^
x^2 − 2 x + 1
Esempio 3 Scriviamo: “La met`a del cubo di un numero reale aumentata di π”. Consideriamo il numero reale x ∈ R; consideriamo il suo cubo x −→ x^3
quindi la met`a del cubo
x^3 −→ x
3 2 e aumentiamo di π la met`a del cubo x^3 2 −→^
x^3 2 +^ π.
Esempio 7 Determiniamo, se esiste, un numero naturale pari che sia uguale al suo quadruplo diminuito di 7. Preso n ∈ N, indichiamo il generico numero pari con 2n. Il suo quadruplo diminuito di 7 risulta essere
4(2n) − 7
da cui l’uguaglianza 2 n = 4(2n) − 7 , quindi 2 n = 8n − 7 6 n = 7 n =^76 La soluzione ottenuta non e un numero naturale: non esiste un numero naturale che abbia la proprieta richiesta. Esempio 8 Determiniamo un numero razionale il cui quadruplo `e uguale al suo reciproco. Consideriamo un numero razionale q ∈ Q; il suo quadruplo risulta essere
4 q,
mentre il suo reciproco `e 1 q , da cui, imponendo l’uguaglianza (il quadruplo uguale al reciproco)
4 q =^1 q
risolviamo: 4 q · q =^1 q · q
q^2 =^14
q 1 = − 12 , q 2 = +^12.
Abbiamo trovato due soluzioni, entrambe numeri razionali.
Esempio 9 Determiniamo un numero reale il cui doppio e uguale al suo opposto aumentato di 1. Consideriamo un numero reale x ∈ R. Il suo doppioe 2x, il suo opposto aumentato di 1 e −x + 1, da cui l’uguaglianza 2 x = −x + 1 che ha per soluzione x =^13 ovvero il numero reale cercato. Esempio 10 Data l’espressione (2x − 1)^3 possiamo individuare la successione di operazioni: x −→ 2 x −→ 2 x − 1 −→ (2x − 1)^3 e scriviamo: “Il cubo del doppio di un numero reale diminuito di 1”. Tale frase puo risultare ambigua: il termine “diminuito” e riferito al numero, al suo doppio o al suo cubo? (Nell’espressione algebrica,e il doppio ad essere diminuito di 1). Possiamo perfezionare scrivendo: “Il cubo della differenza tra il doppio di un numero reale e 1”. Esempio 11 Data l’espressione (3x − 2)^2 = (3x)^2 − 2 possiamo osservare che, al primo membro, le operazioni sono x −→ 3 x −→ 3 x − 2 −→ (3x − 2)^2 ovvero, il quadrato della differenza tra il triplo di un numero reale e 2; al secondo membro, x −→ 3 x −→ (3x)^2 −→ (3x)^2 − 2 ovvero, la differenza tra il quadrato del triplo di un numero reale e 2. Scriviamo, infine: “Il quadrato della differenza tra il triplo di un numero reale e 2 `e uguale alla differenza tra il quadrato del triplo del numero e 2”.
Affrontiamo ora una prima parte sulle disequazioni.
e applicando il primo principio
− 4 x + 3x ≤ +3 − 2
−x ≤ 1
da cui, moltiplicando per −1, x ≥ − 1.
L’insieme delle soluzioni `e S = [− 1 , +∞).
