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Lezione del 4/5: esercizi con alcuni svolgimenti
Esercizio 1. Disporre in ordine crescente i seguenti numeri reali:
log 212 , log 3 9 , log 4 4 , log 5251 , log 6
Esercizio 2. Disporre in ordine crescente i seguenti numeri reali:
log 3 4 , log 21 3
, log 5 1 , log 4 3 , log 122.
Svolgimento:
Poniamo, per comodit`a,
y 1 = log 3 4 , y 2 = log 2
3 ,^ y^3 = log^5 1 ,^ y^4 = log^4 3 ,^ y^5 = log^122 e analizziamo caso per caso. La scrittura y 1 = log 3 4 equivale, per definizione, a 3y^1 = 4: si tratta di determinare l’esponente y 1 che, assegnato alla base 3, permette di ottenere
4 dall’elevamento a potenza. Tale esponente `e un numero irrazionale, di cui possiamo
fornire, in prima approssimazione, la stima 1 < y 1 < 2, essendo
31 < (3y^1 = 4) < 32.
Analogamente, la scrittura y 2 = log 2 13 equivale a 2y^2 = 13 ; ricordando che 2−^2 = 14 e
2 −^1 = 12 , abbiamo la stima − 2 < y 2 < −1, essendo
2 −^2 < (2y^2 =^1 3
) < 2 −^1.
Si hanno poi (verificare) y 3 = 0 e y 5 = −1, mentre, dalla scrittura 4y^4 = 3 otteniamo
(seguendo i casi precedenti) 0 < y 4 < 1. L’ordinamento finale `e
log 213 < log 122 < log 5 1 < log 4 3 < log 3 4.
Esercizio 3. Una massa m, aumentata del 20%, raggiunge i 42 kg. Quale sarebbe il valore, invece, dopo una diminuzione del 20%?
Svolgimento:
Indichiamo l’aumento del 20% di m con 10020 m. Pertanto, 42 kg corrispondono a m+ 10020 m = 120 100 m^ (il 120% di^ m). Risolviamo l’equazione 120 100 m^ = 42
che ammette la soluzione m = 35 (kg). Operiamo la diminuzione del 20%:
m − 10020 m = 10080 m = 10080 · 35 = 28.
La massa finale, dopo la diminuzione del 20%, risulta essere di 28 kg.
Esercizio 4. Determinare due numeri x e y, sapendo che 18 corrisponde ai 23 di x e 21 corrisponde ai 34 di y.
Esercizio 5. Un capo d’abbigliamento ha un prezzo iniziale di e180. Determinare il prezzo finale dopo ciascuno dei seguenti procedimenti: a) Un aumento del 10% ed un successivo ribasso del 30%; b) Un ribasso del 20%; c) Due ribassi successivi del 10%.
Svolgimento a):
Se indichiamo con p =e180 il prezzo iniziale, con p′^ il prezzo intermedio dopo l’aumento del 10% e con pf il prezzo finale, dopo la successiva diminuzione, si ha lo schema
p −→ p′^ = p +^10 100
p −→ pf = p′^ − 30 100
p′
da cui: p′^ = 180 +^10 100
pf = 198 −
100 ·^ 198 = 198^ −^59 ,^ 40 = 138,^60.
Il prezzo finale dopo il procedimento a) risulta essere di e138,60 (In particolare, verificare che `e inferiore sia di quello determinato con b), sia di quello determinato con c) ).
Esercizio 6. Indicato il generico prezzo iniziale con x, determinare a quale percentuale di x corrisponde il prezzo finale, seguendo ciascuno dei tre procedimenti dell’Esercizio 5.
Svolgimento c):
Se indichiamo con p′^ il prezzo intermedio ottenuto da x con un primo ribasso del 10% e con pf il prezzo finale, ottenuto ribassando nuovamente p′^ del 10%, abbiamo
p′^ = x − 10 100
x =^100 −^10 100
x = 90 100
x
ovvero p′^ corrisponde al 90% del prezzo iniziale x. Successivamente,
pf = p′^ −
100 p
100 x^ −^
100 ·^
100 x^ =
