Facoltà di Scienze Economiche, Giuridiche e Politiche
Corso di Laurea Triennale in Economia e Gestione
Aziendale
Modulo didattico: Statistica
a.a. 2020/2021
Docente: Marco Ortu
Campionamento e distribuzioni
campionarie
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Statistica Economico-Aziendale: Campionamento e Distribuzioni Campionarie, Dispense di Statistica
Una introduzione alla statistica economico-aziendale, con un focus sul campionamento e sulle distribuzioni campionarie. Viene spiegato cosa è una popolazione e un campione, perché usare un campione, e come estrarre conclusioni e prendere decisioni basandosi sui dati campionarie. Il documento include definizioni di stimatori e distribuzioni campionarie, nonché il teorema del limite centrale.
Tipologia: Dispense
2020/2021
1 / 55
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Facoltà di Scienze Economiche, Giuridiche e Politiche
Corso di Laurea Triennale in Economia e Gestione
Aziendale
Modulo didattico: Statistica
a.a. 2020/
Docente: Marco Ortu
Campionamento e distribuzioni campionarie
Strumenti della Statistica Economico-Aziendale Statistica Descrittiva
- Raccogliere, presentare, e descrivere i dati Statistica Inferenziale
- Estrarre conclusioni e/o prendere decisioni
riguardanti una popolazione sulla base solo dei dati
campionari
Popolazione vs. Campione a b c d ef gh i jk l m n o p q rs t u v w x y z
Popolazione Campione
b c g i n o r u y
Perché usare un Campione? ▪ Richiede meno tempo di un censimento ▪ Meno costoso da amministrare di un censimento ▪ È possibile ottenere risultati statistici con precisione sufficientemente alta sulla base dei campioni.
Statistica Inferenziale Facciamo inferenza sulla popolazione esaminando i risultati campionari Statistiche campionarie Parametri della popolazione (note) Inferenza (non noti, ma possono essere stimati usando il campione)
Statistica Inferenziale ▪ Stima
- Esempio: stimare il peso medio
della popolazione usando il peso
medio campionario
▪ Verifica delle ipotesi
- Esempio: usare le evidenze nel
campione per verificare
l’affermazione che il peso medio
della popolazione è di 75 kg.
Estrarre conclusioni e/o prendere decisioni riguardanti una popolazione sulla base dei risultati del campione.
Definizioni
▪ Uno stimatore di una parametro della popolazione è
- una variabile aleatoria che dipende dalla
informazione contenuta nel campione...
- il cui valore fornisce un’approssimazione del
valore sconosciuto del parametro
▪ Uno specifico valore della variabile aleatoria viene
chiamaro stima puntuale
Stima Puntuale e per Intervallo
▪ Una stima puntuale è un unico valore;
▪ Un intervallo di confidenza fornisce ulteriori
informazioni circa la variabilità;
Stima Puntuale Limite Inferiore Intervallo di Confidenza Limite Superiore Intervallo di Confidenza Ampiezza Intervallo di Confidenza
Correttezza
▪ Uno stimatore puntale viene definito stimatore non
distorto (o corretto) per il parametro se il suo valore
atteso (o media) della distribuzione campionaria di è
,
▪ Esempi:
- La media campionaria è uno stimatore non distorto per μ
- La varianza campionaria è uno stimatore non distorto per σ 2
- La proporzione campionaria è uno stimatore non distorto per p θ ˆ θ ˆ (θ ) = θ ˆ E
- è uno stimatore non distorto, è distorto: Non distorsione (continuazione) 1 ˆ θ 2 ˆ θ θ
1 ˆ θ 2 ˆ θ
Efficienza ▪ Supponiamo esistano diversi stimatori non distorti per ▪ Lo stimatore più efficiente o stimatore non distorto con varianza minima per è lo stimatore non distorto con la varianza più piccola ▪ Siano e due stimatori non distorti per , basati sullo stesso numero di osservazioni campionarie. Allora,
- è più efficiente di se
- L’efficienza relativa di rispetto a è il rapporto tra
le loro varianze:
) ˆ ) Var( ˆ Var( 1 2 θ θ ) ˆ Var( ) ˆ Var( Efficienza Relativa 1 2 θ θ = 1 ˆ θ 2 ˆ θ 1 ˆ θ 2 ˆ θ 1 ˆ θ 2 ˆ θ
Efficienza ▪ Per vedere come uno stimatore si accentra rispetto a , si considera la sua varianza ▪ Ma se stimatore è distorto la sua varianza non può essere utilizzata ▪ Si utilizza l’errore quadratico medio MSE: 𝑀𝑆𝐸 = 𝐸 (𝑇𝑛 − 𝜗) 2 = 𝑉𝑎𝑟[𝑇𝑛] − 𝐷 2 (𝑇𝑛) ▪ Dove: 𝐷 𝑇𝑛 = 𝐸 𝑇𝑛 − 𝜗 Dati due stimatori 𝜗 1 e 𝜗 2 , entrambi distorti, 𝜗 1 è quello più efficiente se il suo l’errore quadratico medio più basso. 𝑀𝑆𝐸 𝜗 1 < 𝑀𝑆𝐸 𝜗 2
Teorema del Limite Centrale
Al crescere n ↑
della
dimensione
del
campione…
la distribuzione
campionaria
diventa quasi
normale
indipendentemente
dalla distribuzione
della popolazione
x
Proprietà della Distribuzione Campionaria della media Per campionamenti con reintroduzione:
Se n aumenta,
diminuisce
Campione più grande Campione più piccolo (continuazione) X x σ μ