Scarica Statistica, appunti del corso e più Appunti in PDF di Statistica solo su Docsity!
STATISTICA
La statistica analizza in termini quantitativi i fenomeni collettivi, ovvero quei fenomeni composti da una
pluralità di manifestazioni individuali (soggetti, oggetti, concetti, …).
STATISTICA DESCRITTIVA : si pone di descrivere le principali caratteristiche di fenomeni collettivi
per i quali conosco tutte le unità della popolazione
1 - unità statistica : unità oggetto di indagine
2 - popolazione : insieme di tutte le unità statistiche → unità statistica=singola unità
3 - variabile : caratteristica osservabile dell’unità statistica (es: altezza)
una variabile che ha 1 sola modalità è una COSTANTE → le variabili sono infinite
4 - modalità : possibili realizzazioni della variabile (da 2 a infinito); devono essere:
- esaustive: devono rappresentare tutti i possibili modi di manifestarsi del carattere
- non sovrapposte: ad ogni unità statistica si può associare una sola modalità
5 - frequenza : numero di volte che una modalità si presenta
6 - campione : sottoinsieme della popolazione
VARIABILI
→ QUALITATIVE : le sue modalità non sono numeriche
- sconnesse: variabili le cui modalità non hanno un ordinamento naturale
→ es. genere, colore di capelli
- ordinabili: pur non avendo modalità numeriche, posseggono un ordinamento naturale
→ es. titolo di studio
→ QUANTITATIVE : le sue modalità sono numeriche
discrete: ha un numero di modalità finito o numerabile (es. voto di un esame, numero di figli)
continue: ha un numero di modalità infinito o non numerabile (variabili infinite), es. altezza
→ l’uomo tende a discretizzarle
→ es: lunghezza, tempo, peso, temperatura (grandezze fisiche)
Quando si osserva la modalità assunta da un certo carattere in corrispondenza di un’unità statistica, si ha
un dato statistico. L’ insieme di dati (o dataset) è una raccolta di dati statistici relativi a una popolazione. Il
numero di unità statistiche in un dataset si dice numerosità (N).
Come scrivere i dati statistici?
- Successione 8, 5, 5, 4, 7, 7, 8, 6, 6, 5
- Tabella
xi ni → n=somma delle frequenze
→ i=indice che va da 1 a …
= 10 (N)
X1 X2 XN → N=frequenza
X=modalità
X=voto liceo
xi ni fi Ci Fi
N= 10
indici sintetici → riassunto di più numeri in uno solo
approccio grafico → consente una visualizzazione immediata della struttura della distribuzione di un
carattere; consente un immediato confronto tra più distribuzioni; consentono di evidenziare dati “anomali”
(outliers), ovvero sostanzialmente diverse da tutte le altre; si presta bene a scopo divulgativo rispetto alla
forma tabellare
INDICI SINTETICI
→ ogni procedura di sintesi perde precisione/informazione (con la media aritmetica si perde eterogeneità)
1 - INDICI di POSIZIONE / TENDENZA CENTRALE
MEDIA ARITMETICA = valore che lascia invariata la somma di tutte le unità → ha 5 proprietà
Successione → 𝜇 =
Σ 𝑥𝑖
𝑁
Tabella → 𝜇 =
Σ 𝑥𝑖 ∙𝑛𝑖
𝑁
𝑛𝑖
𝑁
La media aritmetica si applica solo alle variabili quantitative (discrete e continue)
Proprietà :
- Internalità : la media aritmetica è sempre compresa tra le modalità con il minimo e il massimo valore
- Linearità : la media aritmetica della combinazione lineare di un carattere è uguale alla combinazione
lineare della media aritmetica del carattere (se trasformo la variabile di partenza anche la media si
trasforma)
- Baricentricità : la somma degli scarti della media aritmetica è pari a zero
- Minima somma degli scarti al quadrato : la somma degli scarti al quadrato da una costante è minima
quando è uguale alla media aritmetica
- Associatività : per ogni partizione delle modalità osservate in L gruppi disgiunti
MODA = modalità con frequenza più elevata → si può calcolare su tutte le variabili
Se la frequenza maggiore è posseduta da due o più modalità del carattere, allora la moda non esiste
X=voto
Successione: 24, 26, 24, 26, 25, 30, 24, 27
ni = FREQUENZA ASSOLUTA = numero di volte che una certa
modalità di un carattere viene osservata nella pop.
fi = ni/N = FREQUENZA RELATIVA = rappresenta la frazione di
unità statistiche che presentano una certa modalità di un
carattere → percentuale
Ci = CUMULO DELLE FREQUENZE ASSOLUTE = somma delle
frequenze assolute
Fi = Ci/N o somma delle relative = FREQUENZA CUMULATA
RELATIVA
- l’ultima cumulata è sempre uguale alla numerosità
- le cumulate non si sommano
N = NUMEROSITÀ DELLA POPOLAZIONE
la somma delle frequenze
relative è sempre 1
2 - INDICI DI VARIABILITÀ
Stanno tra 0 e ∞, hanno un minimo (0) → 0 ≤ 𝜎
2
La variabilità di un carattere è la sua attitudine ad assumere diverse modalità
VARIANZA = media aritmetica degli scarti dalla media aritmetica al quadrato
Si applica alle variabili quantitative
Successione 𝜎
2
Σ (𝑥𝑖− 𝜇)
2
𝑁
Tabella 𝜎
2
Σ ( 𝑥𝑖− 𝜇)
2
∙ 𝑛𝑖
𝑁
L’unità di misura della varianza è quella della variabile al quadrato
Proprietà:
2
- Se un carattere X ha un’unica modalità osservata, allora 𝜎
𝑥
2
- Se 𝑌 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋 con a, b ∈ R: 𝜎
𝑌
2
2
𝑋
2
DEVIAZIONE STANDARD = è la radice quadrata della varianza → √𝜎
2
L’unità di misura è la stessa della variabile
RANGE ( o CAMPO DI VARIAZIONE) = differenza tra il massimo ed il minimo → MAX. – MIN.
- è un indice sensibile → indice robusto
- non considera tutte le modalità osservate
SCARTO INTERQUARTILE = differenza tra il terzo e il primo quartile → 𝑊 = 𝑄
- 75
- 25
- è più robusto del range, ma a volte può valere 0 anche se la variabile non è costante
- rappresenta l’intervallo che comprende la metà delle unità statistiche più vicine alla mediana
COEFFICIENTE DI VARIAZIONE = serve per confrontare l’eterogeneità di 2 variabili con unità di misura
diverse; consente il corretto confronto della variabilità tra caratteri; ci dice quanto la deviazione standard è
grande rispetto alla media aritmetica
𝜎
𝜇
- si applica alle variabili quantitative
- il CV non ha unità di misura → è un numero puro
Es : - peso bambini (B) 3kg 4kg 5 kg → il range è 2kg
- peso madri (m) 60 kg 62 kg 64 kg → il range è 4kg
2
( 3 − 4 )
2
2
2
3
2
3
→ σB = 0 , 816
𝑚
𝑚
2
( 60 − 62 )
2
2
2
3
8
3
→ σm = 1 , 632
prendo tutte le modalità, ad ognuna sottraggo la media e
metto al quadrato, infine divido per il numero di modalità
la varianza è anche la media dei quadrati (xi
2
) meno il quadrato
della media (μ
2
) → con questo metodo non bisogna
approssimare molto
𝐵
0 , 816
4
= 0 , 204 → è più eterogeneo
𝑚
1 , 632
62
INDICI DI POSIZIONE/TENDENZA CENTRALE
INDICE CHI FORMULA U.M. PREGI DIFETTI SIMBOLO
Media
Variabili
3/
Successione
Tabella
stessa - internalità
- baricentricità
- minima somma
degli scarti al
quadrato
indice sensibile μ
Moda
tutte le
variabili
frequenza più
elevata
stessa tutte le variabili - non è unica
MO
Mediana
2/3/4 Successione
1 - ordino
2 - trovo la pm
3 - trovo la
mediana
Tabella
Fi ≥ 0,
robusta poco sensibile ME/Q
Quartili
Quantili
2/3/4 Fi - robusti
biometriche
poco sensibile Q1/Q
Media
Geometrica
3/
𝐺 = √Π 𝑥𝑖
𝑛
“pura” se
variazioni
percentuali
unica per
variazioni
percentuali
se c’è uno 0 la
media geometrica
va a 0
(solo xi > 0)
G
INDICI DI VARIABILITÀ
INDICE CHI FORMULA U.M. PREGI DIFETTI SIMBOLO NOTE
Varianza
3/4 Successione
2
2
Tabella
2
2
unità
2
misura
interpretabile
2
formula
alternativa
2
2
2
Deviazione
Standard
3/
2
unità - non robusta 𝜎
Range
3/4 MAX. – MIN. stessa rapido - non robusto
Scarto
Interquartile
3/4 Q3 – Q1 stessa robusto vale 0 anche
se X non è
costante
Coefficiente
di
Variazione
(CV)
3/
puro indispensabile
nei confronti
si applica solo
a variabili con
uno 0 non
arbitrario
Tabella a doppia entrata
Y
X
M 20 8 6 10 44
F 9 4 7 3 23
29 12 13 13 67 =N
tabella univariata
xi ni
M 44
F 23
N=
yi ni
N=
DIPENDENZA PERFETTA: la dipendenza perfetta è una situazione estrema di associazione, dove data
un’unità statistica, la conoscenza della modalità di un carattere informa completamente sulla modalità
dell’altro
1) INDIPENDENZA STATISTICA
Due variabili sono statisticamente INDIPENDENTI se e solo se le distribuzioni condizionate relative sono
uguali fra loro (uguali o fra riga o fra colonna)
Y
X
C L
M 2
F 6
→ c’è INDIPENDENZA tra le variabili perché i maschi hanno le stesse percentuali delle femmine, infatti le
condizionate relative sulle due righe sono uguali, quindi c’è indipendenza a sinistra
Come sapere il GRADO di dipendenza statistica tra due variabili? → CHI QUADRO (x
2
2
2
𝑁∙(𝑎𝑑−𝑏𝑐)
2
Π 𝑚𝑎𝑟𝑔
FREQUENZA CONGIUNTA (𝑥 ∩ 𝑦) = le celle della tabella (gli 8
numeri), c’è solo 1 frequenza congiunta → frequenza bivariata
FREQUENZA MARGINALE = somma per colonna o per riga delle
frequenze, rappresenta la frequenza assoluta della variabile x e ce ne
sono 2 (marginale di riga/di colonna) → è una frequenza univariata
- Marginale di riga = x
- Marginale di colonna = y
FREQUENZE CONDIZIONATE = sono la somma del numero di righe e
del numero di colonne → sono frequenze univariate
- y I x=M
- y I x=F
- x I y=
- x I y=
- x I y=
- x I y=
quindi :
- 1 variabile sola → frequenza marginale
- 2 variabili → una variabile è fissa → frequenze condizionate
→ non è fissa → frequenza congiunta
0,2 e 0,8 sono FREQUENZE CONDIZIONATE RELATIVE
L’indice del chi-quadro è un indice di associazione assoluti, in quanto il suo valore dipende dalla numerosità
del collettivo analizzato e dal numero di modalità dei due caratteri considerati. Quindi è difficile intuire, per
valori maggiori di 0, in che posizione ci troviamo tra l’indipendenza statistica e la dipendenza perfetta.
Necessità di un indice che permetta di capire la quanto sia alto il grado della dipendenza → V di Cramer
V di Cramer (indice parassita) =
𝑥
2
𝑁
oppure
Ι(𝑎𝑑−𝑏𝑐)Ι
√Π𝑚𝑎𝑟𝑔
→ − 1 ≤ 𝑉 ≤ 1 (indice relativo)
se V=1, allora c’è massima dipendenza
un altro metodo per capire se c’è dipendenza o meno richiede di fare il prodotto dei marginali (di riga o di
colonna) di una cella e dividerlo per N
𝑛𝑖∙𝑛𝑗
𝑁
Questo è anche un metodo molto utile per costruire una tabella con variabili indipendenti: basta partire dai
marginali e calcolare tutte le celle tramite la formula riportata sopra. La distribuzione congiunta che ne
risulta avrà tutte le condizionate relative di riga o di colonna uguali tra loro. Le frequenze congiunte calcolate
in questo modo si chiamato frequenze ATTESE o TEORICHE, e sono fondamentali per calcolare il chi quadro.
Gli indici chi-quadro e V di Cramer si basano sulle frequenze e non sulle modalità, quindi possono essere
calcolate per qualunque coppia di variabili, anche quelle qualitative.
2) INDIPENDENZA LINEARE (primo grado)
- l’indipendenza lineare contiene l’indipendenza statistica
- si calcola solo per variabili quantitative (analisi di correlazione) → ma, se le variabili sono binarie si può
calcolare
COVARIANZA (𝜎
𝑥𝑦
; 𝐶𝑂𝑉) = indice per misurare il grado di correlazione (diretta o inversa) tra due caratteri
quantitativi (indice di associazione assoluto)
Successione
𝑥𝑦
Σ (𝑥𝑖−𝜇𝑥)∙(𝑦𝑖−𝜇𝑦)
𝑁
oppure
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑖−𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎
𝑁
0 1 2 3
0
1
2
3
4
Valori Y
- relazione diretta
- relazione inversa → indice per capire la relazione = COVARIANZA
- assenza di relazione
più i punti sono ravvicinati/allineati, più il
coefficiente di correlazione è vicino a 1
PROBABILITÀ
Concetti chiave:
- PROVA : esperimento dall’esito incerto (es. lancio di un dado)
- EVENTO ELEMENTARE (A, B) : risultato dell’esperimento (es. 5 nel lancio di un dado)
- SPAZIO CAMPIONARIO (Ω) : insieme di tutti gli eventi elementari (es. 1,2,3,4,5,6 in un dado), per
cui è un evento composto e si verifica sempre ; un evento è detto impossibile se non contiene nessun
evento elementare ⊘
o Finito : contiene un numero finito di eventi
o Infinito numerabile : contiene un numero di eventi che può essere messo in corrispondenza
biunivoca con i numeri naturali
o Continuo : contiene un’infinità non numerabile di eventi
il numero di elementi di un insieme si chiama cardinalità (cardinalità infinita, finita numerica, finita
non numerica)
- EVENTO COMPOSTO : unione di eventi elementari (es. esce pari nel lancio di un dado)
- PROBABILITÀ : numero compreso tra 0 e 1 (estremi inclusi) che si associa ad un evento composto
(es. esce pari in un dado =
3
6
Tipi di probabilità:
- Probabilità CLASSICA = rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero totale di esiti possibili
#𝐹𝐴𝑉
#𝑃𝑂𝑆𝑆
𝑛.𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑛.𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
→ non si applica agli eventi improbabili
- Probabilità FREQUENTISTA = limite della frequenza relativa di un evento quando un esperimento
viene ripetuto un numero molto grande di volte
Probabilità SOGGETTIVA = è la somma che si è disposti a pagare se l’evento si verifica
Probabilità ASSIOMATICA = si basa su degli assiomi, tali che: ogni evento elementare ha probabilità
non-negativa, la somma delle probabilità di tutti gli aventi elementari è 1, la probabilità di un evento
è pari alla somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari che esso contiene; quindi:
- l’evento certo ha probabilità 1, P(Ω)=1;
- la probabilità di qualunque evento elementare è compresa tra 0 e 1;
- la probabilità della negazione di un evento è pari a 1 meno la probabilità di un evento;
- l’evento impossibile ha probabilità 0, P(⊘)=0;
- la probabilità di qualunque evento è compresa tra 0 e 1
L’Algebra degli Eventi
L’algebra degli eventi consente di ottenere eventi composti dagli eventi elementari e da altri eventi composti
utilizzando operazioni logiche:
- Implicazione : l’evento più restrittivo implica l’altro → se A implica B (A → B), allora P(A) ≤ P(B)
- Identità: se A implica B e B implica A gli eventi sono uguali poiché sono composti dagli stessi eventi
elementari
- Negazione : l’evento che si verifica se non si verifica A → Ā negato → il negato dell’intero spazio
campionario è insieme vuoto (⊘), non ha elementi → P(Ā) = 1-P(A)
- Intersezione : evento composto dagli elementi in comune fra A e B → l’intersezione può creare un
insieme vuoto, in questo caso gli eventi sono INCOMPATIBILI in quanto non possono verificarsi con-
temporaneamente
- Unione : evento composto da elementi che sono tutti quelli di A e tutti quelli di B → l’unione non può
creare insiemi vuoti; se due eventi sono tali per cui la loro unione è uguale allo spazio campionario, i
due eventi sono NECESSARI , cioè almeno uno avviene di sicuro
Si utilizza il diagramma di Venn come illustrazione grafica dell’algebra degli eventi.
Formula delle probabilità totali : 𝑃
La regola della probabilità totale può essere estesa a 3 eventi, applicando la regola ad A e B U C:
Probabilità Condizionata
Dati due eventi, le probabilità marginali sono le probabilità associate a un singolo evento in un insieme di
eventi. Si ottengono attraverso la relazione della probabilità classica. Esse forniscono informazioni sulle
singole variabili indipendentemente dalle altre.
Un aggiornamento delle informazioni cambia lo spazio campionario, quindi cambia la probabilità (cambia il
denominatore).
La probabilità di un evento 𝐴 ⊆ Ω condizionata all’evento 𝐵 ⊆ Ω tale che P(B)>0 si definisce come:
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
formula delle probabilità condizionata
Quando l’aggiornamento non influisce sugli eventi, gli eventi sono INDIPENDENTI
→ due eventi A e B sono indipendenti se P(A I B) = P(A), con P(B)>
Rielaborando la definizione di probabilità condizionata si ottiene la regola della probabilità composta (o
formula dell’intersezione ):
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴Ι𝐵) ∙ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵Ι𝐴) ∙ 𝑃(𝐴) formula dell’intersezione
La regola della probabilità composta può essere estesa a 3 eventi A, B e C applicando la regola a 𝐴 ∩ 𝐵 𝑒 𝐶:
Un’altra formula essenziale è quella di Bayes , utilizzata per calcolare la probabilità di un evento quando si
ha una nuova informazione:
𝑃(𝐵Ι𝐴) ∙𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
formula di Bayes →
Altra formula importante è quella della probabilità assoluta , la quale si può applicare solo nel caso si abbia
una partizione dello spazio campionario:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴Ι𝐶) ∙ 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐴Ι𝐵) ∙ 𝑃(𝐵) formula della probabilità assoluta
Partizione dello spazio campionario: divisione dello spazio campionario in eventi incompatibili e necessari
- In una partizione si può applicare la formula della probabilità assoluta
- In una partizione la somma di tutte le probabilità è 1
Variabili Casuali
Dato uno spazio campionario, una variabile casuale è una funzione che associa ad ogni evento elementare
un numero reale. In pratica, una variabile casuale partiziona lo spazio campionario originale creando un
nuovo spazio campionario S formato da numeri reali, che vengono detti determinazioni o realizzazioni della
variabile casuale.
Le variabili casuali sono solo variabili quantitative. Se lo spazio campionario ha cardinalità finita o numera-
bile, allora la variabile casuale è discreta. Se la cardinalità è infinita non numerabile è continua.
Variabili Casuali Discrete
Nelle variabili discrete generiche vi è una serie di modalità (finita o non numerabile) ad ognuna delle quali
è associata una certa probabilità.
il denominatore è sempre un marginale e si
calcola con la formula della probabilità
assoluta
Valore atteso 𝐸(𝑥) = 𝜆
Varianza 𝜎
2
Deviazione standard 𝜎 = √
Variabili Casuali Continue
Una variabile casuale continua ha un supporto infinito non numerabile. Le variabili casuali continue si basano
su una funzione, chiamata DENSITÀ DI PROBABILITÀ.
La densità ha due caratteristiche:
- deve essere sempre ≥ 0 (non negativa) → f(x)≥
- l’area sotto la curva deve essere uguale a 1
Quindi, l’area sotto la curva è sempre compresa tra 0 e 1, come la probabilità. Più l’intervallo tra due numeri
è stretto, più l’area si avvicina allo zero; per cui, la densità di un segmento/punto è zero. Attenzione però, la
densità di probabilità non è una probabilità. Il concetto di densità di probabilità è l’analogo del concetto di
densità di frequenza per i caratteri quantitativi suddivisi in classi.
VARIABILE CASUALE NORMALE (o GAUSSIANA)
Una variabile casuale normale è definita da due parametri, la media e la deviazione standard, che determi-
nano la posizione e la dispersione della distribuzione. Difatti, si scrive 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎)
- l’area sotto la curva vale 1 (funzione positiva)
- le normali descrivono quasi tutti gli eventi
- hanno una forma a campana
- media, moda e mediana coincidono
- è simmetrica rispetto all’asse centrale
- le code della distribuzione si avvicinano asintoticamente all’asse delle x, senza però toccarlo mai
(il range è ∞)
- diminuendo/aumentando la media, la funzione di densità di probabilità viene traslata a sinistra/de-
stra (mantenendo però intatta la forma)
- diminuendo/aumentando la deviazione standard, la funzione di densità di probabilità viene com-
pressa/espansa (mantenendo però intatta la posizione)
Tuttavia, pur conoscendo la sua funzione di densità, non esiste un modo diretto per trovare l’area corrispon-
dente a un dato intervallo (non è integrabile). Quindi, per trovare l’area sotto la curva si utilizzano le TAVOLE
DELLA NORMALE STANDARD.
Normale Standard (Z)
- la media è uguale a zero, 𝜇 = 0
- la varianza è uguale a 1, 𝜎
2
- media, moda e mediana coincidono
- è simmetrica rispetto all’origine: i valori di un numero e del suo oppo-
sto lasciano a sinistra aree complementari
- non tocca mai l’asse delle x → sta tra - 4 e 4
Per trovare l’area sotto la curva si utilizzano le TAVOLE DELLA NORMALE
- se ho un punto e devo trovare un’area, in quel caso devo partire dai bordi (dove stanno i punti) e
dirigermi verso il centro (dove troverò l’area che cerco)
- se ho un’area e devo trovare un punto, in questo caso devo partire dal centro (dove stanno le aree)
e dirigermi verso i bordi (dove troverò il punto desiderato) → esercizio inverso
Intervallo aperto a sinistra
Es. area a sinistra di 1,28 → P(Z < 1,28) = 0,
Intervallo aperto a destra
Es. area a destra di 1 → P(Z > 1) = 1 – P(Z > 1) = 1- 0,8413 = 0,
Intervallo chiuso
P(A<Z<B) = P(Z<B) – P(Z<A) → area di un intervallo
Esercizio inverso
Es. qual è il punto che lascia l’86% alla sua sinistra? → trovo il punto più vicino
a 0,86, cioè 1,
Dopodiché trovo z di 1,08 → z=0,
Importante: il punto che trovo non è una probabilità
L’area al di fuori degli estremi è 0 se dalla parte negativa e 1 se dalla parte positiva.
Al mondo non esistono fenomeni descritti da una normale standard, ma essa viene utilizzata per trovare
normali generiche X.
Da Poisson alla Normale
Gli esercizi sulla Poisson sono tendenzialmente molto simili. Si ricava il parametro λ e poi si calcola la
probabilità di un punto P(X = x) o di un insieme di punti P(X < x).
Nel secondo caso può capitare, però, che i punti da calcolare siano troppi: in questo caso, si può approssi-
mare la Poisson con una variabile Normale, facendo affidamento su un teorema che ci consente di passare
da una variabile all’altra.
Metodo da seguire :
trovare il parametro λ con la proporzione
so che essendo una Poisson, la media e la varianza sono uguali a λ (𝜇, 𝜎
2
= λ )
scrivere i dati in questo modo: 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎)
sostituire la X (variabile normale) con Z (normale standard) e il tot con
𝑡𝑜𝑡 − 𝜇
𝜎
quindi 𝑃(𝑋 ⋚ 𝑡𝑜𝑡) = 𝑃(𝑍 ⋚
𝑡𝑜𝑡−𝜇
𝜎
- intervallo aperto a sinistra (<)
- intervallo aperto a destra (>) → 1 − 𝑃(𝑍 <
𝑡𝑜𝑡−𝜇
𝜎
- intervallo chiuso (< tot <)
- per gli esercizi inversi utilizzare la formula: 𝑥
𝛼
𝛼
es. trovare il 3° quartile → 𝑥
0 , 75
0 , 75
Teorema del limite centrale : se N (somma di più esperimenti) cresce, la variabile data dalla somma dei vari
esperimenti è una VARIABILE NORMALE
La NORMALE è un’approssimazione della POISSON
C’è anche un’altra formula : 𝑀𝑆𝐸 =
Σ (𝑥𝑖−Θ)
2
𝑁
Quindi, sia la varianza che il bias si preferiscono piccoli.
Se due stimatori sono corretti il loro bias è 0, dunque MSE = V(T)
INTERVALLO DI CONFIDENZA
L’ intervallo di confidenza si utilizza per trovare la stima della media della popolazione μ (parametro).
Dato 𝑋~𝑁 (𝜇,
𝜎
2
𝑛
), se aumenta n , la varianza diminuisce e la normale si stringe.
Per cui, è meglio avere un campione più grande in un’indagine poiché più il
campione è grande, più la variabile diventa continua ed è quindi una normale.
Ma la variabile continua ha probabilità zero in un punto, quindi per trovare la
probabilità devo prendere un INTERVALLO (intervallo di confidenza).
La confidenza di un intervallo è la probabilità di azzeccare un risultato che sia
uguale al parametro. Intervalli molto ampi avranno solitamente una fiducia
maggiore rispetto a quelli più stretti, ma saranno meno informativi. Al contra-
rio, se l’intervallo è piccolo la fiducia sarà minore, ma risulterà comunque più
informativo. Quindi, gli intervalli larghi sono meno informativi, ma hanno più probabilità di azzeccare il valore
del parametro, mentre intervalli stretti sono più precisi, ma sbaglieranno più facilmente.
Le confidenze standard sono: 90%, 95%, 99%
I dati essenziali per risolvere questo tipo di problemi sono 4:
- X-barrato = la media del campione della popolazione
- 𝜎 = la deviazione standard della popolazione (o la varianza con 𝜎
2
- n = numerosità della popolazione
- 𝛼 = probabilità di errore → si calcola con il complementare della confidenza
Es. confidenza al 95% → 𝛼 = 1 − 0 , 95 = 0 , 05
1° TIPO INTERVALLI DI CONFIDENZA
Intervalli di confidenza con varianza della popolazione nota
1 −𝛼/ 2
𝜎
2
𝑛
2° TIPO INTERVALLI DI CONFIDENZA
Intervalli di confidenza con varianza della popolazione incognita
→ sono intervalli di confidenza con la VARIANZA DEL CAMPIONE (S
2
) , si può chiamare anche varianza
corretta poiché S
2
è uno stimatore
La varianza del campione è uno stimatore della varianza e sostituisce 𝜎
2
𝛼/ 2
(𝑛− 1 )
𝑆
2
𝑛
Si nota che la z non c’è più, ma viene sostituita dalla t di STUDENT. La t di Student
è una variabile come la normale standard, ma con le code più pesanti , quindi l’in-
tervallo si allarga (senza però aumentare il livello di confidenza). In pratica, si ha un
peggioramento dell’intervallo dovuto al fatto di usare una quantità (la varianza
campionaria) che incorpora un po’ di incertezza.
Al crescere di n, la variabile tende ad assomigliare alla normale (teoria del limite
generale).
questo tipo di intervalli nella
realtà non esistono
n- 1 = gradi di libertà → è l’unico parametro della t di Student
il risultato si trova con le tavole della t di Student : bisogna cercare il
numero tra il risultato di (n-1) e il risultato di
Quando i gradi di libertà tendono ad infinito, la distribuzione T tende a coincidere con una normale standard.
Pochi gradi di libertà generano una distribuzione T piatta con un’alta varianza e code pesanti, mentre al
crescere dei gradi di libertà la varianza della distribuzione tende a 1, come la normale standard.
3° TIPO INTERVALLI DI CONFIDENZA
Intervalli di confidenza senza la varianza della popolazione
→ si utilizzano le percentuali , ovvero la proporzione del campione
Anche la proporzione del campione è uno stimatore (come X-barrato e S
2
), ed è corretto e molto efficiente.
Dunque, in questo tipo di intervalli i dati saranno 3:
- p^ = proporzione del campione
- n = numerosità della popolazione
- 𝛼 = probabilità di errore
𝐼𝐶 𝑡𝑖𝑝𝑜 3 = 𝑝^ ± 𝑧
1 −𝛼/ 2
𝑝^( 1 −𝑝
^
)
𝑛
ESERCIZIO INVERSO degli INTERVALLI DI CONFIDENZA
In questo tipo di esercizi, conoscendo l’ampiezza dell’intervallo di confidenza, si vuole conoscere la nume-
rosità della popolazione n , la quale si calcola attraverso la formula:
𝑧∙ 0 , 5
𝑚.𝑒.
2
1 −𝛼/ 2
m.e. = margine di errore → è il raggio dell’intervallo → l’ampiezza dell’intervallo è il doppio del raggio
VERIFICA DI IPOTESI → metodo base
Osserviamo una certa situazione che ci sembra sospetta, però non siamo sicuri se:
- Sia una coincidenza casuale
- Ci sia del marcio sotto
La verifica di ipotesi è lo scegliere fra queste due situazioni. Vogliamo verificare se una certa ipotesi (formu-
lata a livello di popolazione) sia vera. La guida in questo caso è la probabilità se fosse stato casuale di
osservare ciò che si è osservato. Questa probabilità è chiamata P-VALUE.
Esattamente come negli intervalli di confidenza, introdurremmo test sulla proporzione p e sulla media μ,
con quest’ultima distinta in due casi, a seconda che la varianza della popolazione sia nota o incognita. Lo
stimatore della media della popolazione μ sarà come sempre la media campionaria X, mentre lo stimatore
della proporzione della popolazione sarà come sempre la proporzione campionaria P^. Lo stimatore media
campionaria X si distribuisce come una Normale con valore atteso pari a μ e varianza
2
, mentre lo stima-
tore proporzione campionaria P^ si distribuisce come una Normale con valore atteso pari a p e varianza
𝑝( 1 −𝑝)
𝑛
. È importante notare come da queste due distribuzioni si vede bene che i due stimatori sono corretti
e piuttosto efficienti perché al crescere di n le loro varianze tendono a 0.
TEST UNIDIREZIONALI (a una coda)
Test Tipo 1 (varianza nota)
- Si scrivono i dati: la media campionaria X, la varianza 𝜎
2
, la numerosità della popolazione n, la media
μ e il livello di significatività 𝛼
- Si scrivono poi le ipotesi:
- H
0
(ipotesi nulla): μ = valore della media
- H
1
: μ </> valore della media
- Si calcola il valore della statistica test → 𝑆. 𝑇. =
𝑋−𝜇
√
𝜎
2
𝑛
⁄
Si trova il p-value → 1 − 𝑃(𝑍 < Ι 𝑆. 𝑇. Ι)
Se il valore del p-value è inferiore rispetto al livello di significatività RIFIUTO l’ipotesi H 0
p-value piccolo → rifiuto H 0
