Introduzione alla Statistica Matematica: Probabilità, Test Diagnostici e Inferenza, Appunti di Statistica Inferenziale

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CORSO

VILLANI

Sofia Montesano

26

novembre 2024

-a

Lezione villani 10

Statistica Matematica

la

probabilità

= se una prova ha un insieme di risultati

ugualmente

possibili ,

la

probabilità

di un evento E sarà dato dal rapporto

da un Numero del Casi favorevoli e ll Numero del Casi

possibili

P(E)

ASSIOMI DI PROBABILITÀ -A Sono 3

2) Ad

ogni evento casuale E è associabile un numero reale non negativo

detto

probabilità

di E

.

P(E)

la

probabilità

di un evento certo è P(-) =

Se E e E sono due eventi

disgiunti (non

hanno niente in

comune)

: a PEUF) = P(F) so niente intersezione , la probabilità è la somma ESERCIZIO : MEMBRI del CLUB STUDENTESCO

MASCHI

MATRICOLE

·

Qual è la

probabilità

di estrarre una

ragazza

> estrarre una ragazza Studenti L'anno P(F) =

provando ,

e

Studenti C. S.

Juniors - >

è 11

Studenti C. S serious

Studenti tuttii corsi

60 40 100

TEORIA DELLA SOMMA Anche con

qualcosa

in comune

Se A e B sono due eventi

qualsiasi

:

• N

P(AuB)

P(A)

P(b)

P(AnB) -

se

A

e B sono

disgiunti

o

ASSIOMA

la

probabilità

dell'unione all due eventi

MASCHI Femmine Totale

MATRICOLE

28 20 · Qual è lo

probabilità

di estrarre uno studente

del corsi

Superiori

(U)?

Studenti

L'anno

Studenti

C. S.

Juniors

Juniors

(5) o servors (S)

=> ↓

gli

studenti del corsi

superiori

(U) possono essere la

probabilità

al

Studenti C. S serious

= P(u) =

P(SVI)

Studenti tuttii corsi Sem estrarre uno E studente C. S è Il 30 % I

VALIDATÀ

SENSIBILITÀ Specificità

La

probabilità

che un La

probabilità

che un test risulti

TEST risulti Positivo dato che

I

soggetti

sono MALATI NEGATIVO dato che l

Soggetti

sono

• spec

ad eur

e se

Se

= P(T+

/M

)

NON-MALATI

la

tipoutopico

Sp

=

P(T-1M-

ERRORE DIAGNOSTICO

Se = 100 %

DIAGNOSI

TEST

t

o

rosso = Falso Negativo

Quanto

vale

S

Sensibilità

- D

spa

Se

• ⑧ 4040

O VERDI =

Falso Positivo

I

specificità

-D

C

d

c + d

MALATTIA

Errore

DIAGNOSTICO =

t

+ a ba + b

Test

A + C b + d

↓

probabilità

del Falsi Negati

?C

oppure

• sensibilite

I

possibiltà

faso

positivo

oppure 1-specifica

P(x

1T

)

A

Ma a me

interesserà

stabilire sula

base

del

Test -A

la

probabilità

che un

soggetto

sia Malato se è

pato

al Test -d

Capacità Predittiva POSITIVA

diagnostico

se un

soggetto

sia malato

o Sano

la

probabilità

che un

soggetto

Sia sano se

è

Negati

al

testd Capacità Predittia Negativo

(p(r

1Tt

VALORE

PREDITTIVO POSITTLO VALORE

PREDITIO NEGATIVO

laprobabilitare lspetto la probabi chesoggetaste

TEST ELISA su campione da

popolazione

di

Tossicodipendenti

• Wi

gold standard per

M + / M-

Positivo

NEGATIVO

• esempioD

VPP =

P(M

(T

) VPN = P(r

/T

-)

MALATI

NON

MALATI

t g 5 204

ELISA

CALCOLA

:

m

· SENSIBILITA'

· SPECIFICITà

Si

3

·

VALORI

VPP

=

=

e

VPN

=

56

we

DONATORI DI

SANGUE

MALATI

NON MALATI

ELISA

t g 495594

Pe

c

• d

• 1

94059406

100 2000

9900

·

TEST

MECCANISMI PATOLOGIA

= Se ,

Sp

La capacità

predittiva dipende

dal

grado

di diffusione della malattia

Grado di Diffusione della malattia = Upp ,

VPN

TEOREMA DI

BAYERS

Sex

Pr Spx(

• Pu)

UPP = VPN

=

Sex Pu +

(

Sp)X(

Se)XPr Spx(

Pr)

(

Se)XP

Lezione C : 28

novembre 2024

· la distribuzione di

probabilità

normale e la distribuzione normale standardizzata

· introduzione al Test

ipotesi

DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA RELATIVA DELLA STATURA DI

UN

CAMPIONE DI 125

,

0

UOMINI

(UDM

:

piedi)

↓

rappresentato da un

istogramar

a come

d'organo

mezza

CASO PARTICOLARE DI DISTRIBUZIONE NORMALE

Se la media qu

è uguale

a o e= 1 la funzione della distribuzione formale si

semplifica

e descrive

quella

che SI Chiama

FUNZIONENORMAA

f(x)

=

&

s

↓

come

Diventa dopo

la

semplificazione

?

f(x)

=

[

2X

La funzione densità di

probabilità

è definita da

[5z2]

f(z)

=

Xe M

valoreoscate

ESERCIZIO:

·

P(zsz)

?

• > 1 -

P(z

)

P(z

1

,

9772

1

-A

Primo

Disegno

/

Z

Z

↓

Mi

Interessa l'intervallo

·

p(z

= z =

?

2P(z=

P(zs-2)

=

Secondo

Disegno

9772

0228 = 0

.

9544

f(x) =

.

P(z

• >

Mi interessa la

parte

bianca

I=

Qualsiasi variabile

quantitativo

di

tipo cinico-biologico

"approssima

la

distribuzione normale e

può

essere

trasformata in uno Z score

Z

XXM

Esempio

:

La

pressione

diastolica media della

popolazione

in età scolare è 58

me/hy

con una deviazione standard di 6

10 anni questo

abbia

in valore

di

pressione

inferiore

A

Somm/g

1

·

Qual è la

probabilità scegliendo

a caso un bambino di

11111121IIIIIIII

P(X

50)P(z

D

X

Al

X =

50mming

=

6mming Me

=

mag

Zms

ESERCIZIO

l'eparina

è una sostanza

pollarionica

con funzione

anticoagulante

,

essenziale

per

l'emodinamica

interventistica e

per

la

arcolazione

Extra-corporez (CEC) impiegata negli

interventi chirurgia.

Possono

essere usati diversi

tipi

di

eparine ,

Tutte

sono efficaci

(n

.

d

. d. Verificato con Trial Clinici

controllati

...

DOMANDA

?

&

Il

Tempo

di

protrombinemica

nel

pazienti

sottoposti

a

CEC

e

trattati

con BMS(A)

è diverso

da

quello

del

pazienti

Trattati

con Epsoclar

(B)

?

CHE INFORMAZIONI

· Tempo di PROTrombinemiaD QUANTITATIVA

HO?

• >

·

TIPO di TRATTAMENTO -D Qualitativa

dicotonica

Ja

Faccio La Media

TEMPO DI PROTOMBINEMIA

n Media DS I

Tempi

medi di

protrombinemia

sono

maggiori

quando

Il

(s)

(sec)

Trattati

con

Epsociar

BMS

1

,

447

Epsoclar

,

962

↑ -*z

,

225 secondi

A

la

distanza tra le due medie deve essere

diverso da Zero

METODO Obiettivo

.

L

Formulo le Ipotesi STATISTICHE

le Ipotesi StatisticheSono 2 :

Ipotesi

di

Ho-DIDest

Nulla

Domand

contienee di Assurdo

Ricerca

Ha

y

ipotesi alternativa

L'ipotesi

di ricerca viene

trasformata

in 2 ipotesi.

Ipotesi

nulla

L'ipotesi nulla contiene il contrario di

quello

che mi interessa dimostrare con la Mia ricerca.

l

Riprendo l'ipotesi

di ricerca e la

ricopio

negandola

IPOTESI

STATISTICHE

Ho e

Il

tempo

medio

di

protombinemia

della

-D M

M popolazione

BMS è

uguale a quello

medio della

popolazione Epsodar -DMe = M2-D-M = o] RAGonament s Ha

Il tempo

medio di

protombinemia BMS è

diverso da

quello

medio

della

DM = MC popolazione Epso

cler

Ho Ipotesi

Nulla

a

deve essere saggiato

è

l'opposto

di Ciò che si vorrebbe concludere nella popolazione

di Interesse -A

deve Concordare con le condizioni inconsistenti Ipotizzare vere nella

popolazione

diInteresse (-b deve fare zero)

-A

deve

esprimere l'ipotesi

In Terminal

sempre 2 cade [può

migliorare

o peggiorare

Ha

Ipotesi Alternativa

• >

con l'interesse del ricercatore contiene ciò che

si spera

o che l si

aspetta

di

poter

concludere

-De complementare all'ipotesi

nulla : >(

numer

Ipotesi vole Il test a una Coda

(es .Morament e auerzo NOTA Bene : in ambito sanitario è opportuno riportate TANNE

in ambito sanitario

L'ipotesi

nulla in Termini di

uguaglianza,

invece l'alternativa con diverso. in a

autate a pe

VALORI Delle STATISTICHE VALORI IPOTIZZATI

SUL SOTTO-CAMPIONI per 1 parametri delle Popolazioni

SE

la

Distanza è Grande allora

potrebbe

Tz

T

,

225 sec

-D

analizzo Il

gap -D

esserci davvero una

differenza. Se non è

M

M2 = 0 abbastanza grande

allora la differenza è

dovuta

al caso...

Identifico il Test e lo Applico

·

Quale Test Devo Usare

dipende

dal

Tipo

di variabile che

rappresenta l'endpoint -

ENDPOINT = TEMPO di

protrombinemia

· sono rispettate le assunzioni di

applicabilità

? se

capisco l'endpoint

lo

capisco

la

formula

Tempo

& due

gruppi

di V.

grantitativa

che mi Tipo di Trattamento

-

esprime

Il

trattamento

~

MISURATO in second

SI ELIDE L'UNITÀ DI

MISURA

Non

wo

⑨

RIFIUTARE

HO

NON

RIFIUTARE

Ho

↓

⑤

↓

significa

che è vero è vera

l'ipotesi alternativa

Qualcos'altro

non abbiamo

sufficienti

evidenze

a sfavore dell'uguaglianza

Conclusione TeorICA :

congruenza

del

risultati con

Ipotesi

Statistiche

Il Test calcolato si confronta con la distribuzione diTutti

possibili

Valori della statistica

Test

I

Non

RIFIUTARE

RIFIUTARE

Ho

Ho

Test

t di student si confronta con

la

distribuzione t

di

student

·

non esiste una solo curva

t

·

sono diverse in base al

gradi

di libertà

(gl)

gl

=

n

nz

= 2

· sono

sempre

simmetriche con asse di simmetria m = o

· Tende alla distribuzione normale standardizzata

per

n

• D X

mi

regione

di

rifiuto

è Il 5

dell'area

Sottesa

XII

cinco

tantico regionario

REGIONE DI

NON RIFIUTO

Et

Si Individuano 2

Regioni

o aree :

~di

rifiuto

di Ho

~ di non

rifiuto

di Ho

~

Ho-D

=

S

HA -

-Regione

di

rifiuto

&

but critico

&

QUAL è La REGOLA GENERALE

?

·

Se

Il Valore del TEST Calcolato sul

campione appartiene

alla

Regione di

Rifiuto di

Ho

,

l'ipotesi

Nulla La

RIFIUTATA

·

Se Il valore del test Calcolato

sul

campione Appartiene alla regione di

non

rifiuto di

Ho ,

l'ipotesi Nulla

a

NON RIFIUTATA

tcritico

=

per

L =

. 05 nelle 2 cade e

gl

=

hathe-

= 210 è

pari

a

(

96

A

non rifiuto

t

calcolato

H

rifiuto

d

al

Ho

1((IIIIII

11111111111

#. 96

O

#.

Dal confronto

emerge

che T calcolato

appartiene

alla Regione di Rifiuto

dell'ipotesi

nulla

, pertanto l'ipotesi

statistica nulla Assurda non

è

supportata

dal

nostri dati

che

invece

sostengono

l'ipotesi statistica

alternativa.

RICORDA!

se t

calcolato

appartiene

alla

regione

di rifiuto

ditto

se

t calcolato

NON appartiene

alla

regione

di rifiuto di Ho

·

p-value

deve risultare Minore di 0

.

(p

. 0. 5)

·

p-value

deve risultare

maggiore

di

(p

cosa scrivo nella conclusione

?

Il

TP

è

significativamente

diverso

(t

,

,

p(

,

tra i

pr

.

Sottoposti

a

CEC

e trattati con

BMS

e

quelli sottoposti

a

CEC è trattato con Epsoclar ,

nel senso che 1

p

. Sottoposti

a CEC e trattati con BMS Mostrano un

TP

inferiore

a

quello

del

pazienti

sottoposti

a CEC

,

ma

trattati

con

Epsodar ,

quindi

sembrerebbe

preferibile

usare

questa

eparina.

IL P-VALUE-D

perché

è

importante

·

Probabilità che

la

statistica

test

assuma un valore estremo

quanto quello

osservato o ancora estremos , quando Ho

è vera

·

esprimere qual

è la

probabilità

cheIl risultato che abbiamo trovato sia dovuto al caso.

MOLTIPICO

X 2

↑

Come

lo

scrivo

?

E

calcolato

,

p-value

·----

C'è

differenza nella

frequenza

di riduzione

del

dolore

dopo

giorni

di

terapia

tra I

soggetti

che ricevono

tipi

di antidolorifico

che

informazioni

Ho?

·

tipi di

farmaci-d

variabile

qualitativa

·

dolore

• Qualitativa

LA

VARIABILE del dolore si riduce o

meno

con

l'uso

di

questi

anti-dolorifici

Calcolo

la

percentuale del dolore

dopo

l'utilizzo di

questi

farmaci

Antidolorifico

TRAM Keto MORF TOTALE

Dolore

RIDOTTO

25 64 102 Qual è

la Frequenza

della riduzione

del

dolore?

A Livello DESCRITTIVO POSSIAMO DIRE

NON RIDOTTO

3

1171007 5

Che La MORFINA è + Efficiente

X La

RIDUZIONE

DEL DOLORE

TOT

: 160

. 100

=

Se la distanza tra

lef

e

le

it

è

grande

allora

potrebbe

esserci davvero

una

differenza.

Se non è abbastanza grande allora

la

Stanza

differenza

è

dovuta al caso.

VALORE DELLA

VALORE IN CONSISTENTE

STATISTICA

IPOTIZZATO PER IL

CALCOLATA SU

PARAMETRO

CAMPIONE

DELLA POPOLAZIONE

↓ (SI riduce)

=

Cron

ridotta

Tram

;

Keto

;

Th

morf

Et Tram :

Keto :

Ad

morfina

Ed

Tram =

fa

keto =

f

Morfina

I= Tram

It

=

Ketojt

=

morf

2

MODIFICARE IL

TEST E APPLICARLO

·

dolore

endpoint

• d

qualitativo

TEST CHI-QUADRATO

O

= Frea. Ass.

dell'endpoint

Osservata in

ogni

gruppo

x

= Se

ho è vero.

E = Freq. Ass.

dell'endpoint

attesa in

ogni gruppo

Numeratore = DISTANZA

Denominatore = Quello che posso utilizzare

al posto dell'errore Standard

2

3

-Prendo lau tabella e

prendo

LD

I

X

: 175 X1 = 35

,

Faccio una

proporzione

x 2

: 165- Xz

=

,

Xz

: 160 ⑤ Xz

=

come trovo

quelli

che son vanno in riduzione?

= X

: 175 - X = 139

,

X

X = 131

.

X

DX =

,

↓

del dolore se Tramadolo

fr

=

ft

Tram

-bal

posto

di X

,

lo chiamo

E