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STATISTICA DESCRITTIVA
CARATTERI
Qualitativi
/
→
QUANTITATIVI
SCONNESSI
/ \
ORDINABILI
discreti
/
CONTINUI
a
_
SCALA NOMINALE
scala ORDINALE
SCALA DI
INTERVALLI
a
b
RELAZIONE D' ORDINE
SCALA DI
RAPPORTI
b
Classi
d-
→
ESTREMO destro
ESTREMO
SINISTRO
(
SUPERIORE)
(INFERIORE
lci.at
CHIUSURA
sinistra
→
[
Ci
,
G.)
ESEMPIO
:[
)
oppure
Ci
A
DESTRA
→
ci
a
Ci ]
AMPIEZZA
DISTRIBUZIONE
DISAGGREGATA
(UNITARIA)
di
Ci
Ci
e
collettivo di
N unità
,
carattere
X
VALORE
CENTRALE
=
%
uffa
fcarxaiterex
DISTRIBUZIONE DI
FREQUENZA
2
×
,
Xi
i'
,
.
..
,N
? /
Xs
,
Xz
,
Xs
,
Xn
anni'
in 1
:
2
Xn
30 I
A
N
Xi
mi
Fi
FREQUENZA RELATIVA
→ fi
anni
,
ieri
k
Xe Ni
nun
=
fa
Oefiet
Xz
Ma
Nzln
=
fa FREQUENZA
percentuale
→
pi
=
fi
. 100
X.
3 MJ
M.HN
=
f, OEPIE
'
. : - :
XK
MK
NKIN
fra
FREQUENZA
CUMULATA
:
TOT.
μ 1 1)
ASSOLUTA Nienstnht
. - - +
mi
RELATIVA
Fi
=
PERCENTUALE
Pi =
ESEMPIO
IMPIEGATI
DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA
× × mi
fi pi Ni
Pi
È
23%0,70=30%3-0,330%
÷ :
:/ :/
:{
¥
:/
:L
:
È
Lo
s s
-1-
/
so tot
100%
20
2
I
QUANTITATIVI
CONTINUI
GRAFICI
PER qualitativi
ISTOGRAMMA
DIAGRAMMA AD ASTE (
A NASTRI
Min
Xin
hg
^
Ma
Ma
nr
.. - - - -
ha
hi
xk È denatalità
'
mi
ha
di
ANGOLO
i
=
Mi
e- v
I 1 I
1
I
N X2 X
Xp
¥ 1
En ?
MIÈI ,
?§I
ESTOGRAMMA
quantitativi
incassi
^
?
°
class ,
AMPIEZZA
Eff
Mi
dici
Ci
ma
a
214308/98/9=-0,
^
o 3 1h50 12 19
Ms
tot
N
Xz Xs
¥
0%
!
]
N
.
DENSITÀ
DI
FREQUENZA
hi
=
,
21 30 50
con
ampiezze
diverse
bisogna
confrontare
le densità
IPOTESI
DI
UNIFORME
DISTRIBUZIONE All' INTERNO
della classe
[
.
)
diihiSIIEE.IE?inca.bt-hiCb%ee!
!!
! è
hi !
"
(
i.è
b
Ci
23
26 μg,
_
g)
=p ,
AMPIEZZA sotto intervallo
=
0,89-(26-23)=2,
hi-n-ni-hi.fi
discreti o
continui
FUNZIONE DI
RIPARTIZIONE
FN)
solo
per
i
quantitativi [
discreti
o continui
in classi
Una funzione che
associati
valore
di XEIR la
sua frequenza
cumulata relativa
(
Fi
)
÷:
"
Iii
:
÷
"
""
!
! !
!
!
!
!
:*
.
»
^
F CRESCENTE
,
LINEARE A
TRATTI
,
CON SALTI ( INCREMENTI ) in
corrispondenza
delle MODALITA
'
FCX
) PER CARATTERI
divisi INCASSI ÌÌ
)
.»
Operxeco
FINE
jeff:[
ci-dperci.aexe.ci
TI si
sa
!
'
modalità
Fi Fi f-
.
Xindassi
.. i
, i i
ri
;→È
.
sorso as
as
Fat
. IIÌÌÌÌIÌI
:
→ ;
; ;
perso
Exezo
'
i
1 i 1
I
per
yzzo
i
i
' '
l '
70 f- 90
,
i
i '
i
Cie
ci -
To do Èo Io do
'
TOT 1
ESEMPIO
PROPRIETÀ
μ
,
=
7, (punteggio
medio
)
→
si
vuole trasformarli in 30
esimi
ed
aumentare
di a
punto
CAMBIARE MISURA
traslare
Yi
=
1 t
Xi
My
=
1+37,5=23,
(a)
(b)
DIMOSTRAZIONE proprietà
6 μ
PER DISTRIBUZIONI
DI
FREQUENZA
μ
No
!
IÉI
ioroppo Exi
È !!
Sottogruppi
μ =L
Èaxini
=ÉÌ
=
xigi
iee
mi
1- ESIMO
frequenze
FREQUENZE
ASSOLUTE
_
RELATIVI
,
DIMOSTRAZIONE
PROPRIETÀ
My
FEI
Yi Èacaxbxi
)
μ
PER CARATTERI DIVISI
IN classi
=L
Èa Èibxi
f- Naxfeb
Èaxi
a-ibqxtl.fi?aImi
=
ÈÌSI
=
Cia
ci
vada
Difetto
della MEDIA ARITMETICA
=
RISENTE
la presenza
centrale
della
classe
DI VALORI ANOMALI (out)
Esempio
:
ftp.IIII
!!
Ifa
ÌÌ
MEDIA ARMONICA
quando
×
.
70
N PER DISTRIBUZIONI
PROPRIETÀ
Ma
=
UNITARIE
③
INTERNA:
Xcayepla
E
Xcn
I
iea
Xi
②
FUNZIONE CHE
USA
Ma E-
LA SOMMA dei
reciproci
μ
=
PER DISTRIBUZIONI
DELLE Xi
. Ma
E
'
INVARIANTE Rispetto Alla SOMMA DI FREQUENZA
dei reciproci .
È
=
ÈÌN
=
NÈ
DA
UN
PUNTO
di vista pratico
,
Ma
LA
USO
③
OMOGENEITÀ
(
a
> 0
)
:
Yi
=
Ma
?
bhe QUANDO
HA SENSO LAVORARE CON I
RECIPROCI
.
④
Associativa
:
Ma
=
È
CASI
PRATICI
:
. produttività
,
DISTANZE
È
e ,
percorse
A diverse velocita
'
MEDIA GEOMETRICA Xi
,
Mg
=
μiX
→ %
ÌDUTORIAÌIXI
Xixi...
Xn
→
VÌÌXI
=
(
II.
Xi
)
"
Pg
=/
È
Xini
CASO PARTICOLARE
DI IT: DISTRIBUZIONE
UNITARIA
Ìn
= 2.2 -
.
...
in
=
n!
(
fattoriale
(
) PROPRIETÀ
Mg
=
MODALITÀ PIÙ PICCOLA
PROPRIETÀ
IT :
INTERNA
:
Xcs)
Eplg
E
Xcn
XCNIEMODAUTEPIÙ Grande
ÌÌC
=
c
"
ÌÌXIIÌÌYI
2) invarianza
rispetto
Alla funzione prodotto
:
=
87g
'
(
Xi )
=
" "
II.
Xi 3)
OMOGENEITÀ :
yi
=
bxi
Mg
"
5 μg
log
( ÌÌXI)
=
Èalog
(
Xi )
Associativa :
Mg
=
TÈ
(
Mg
"
)
azz
,
...
,
l sottogruppi
log (μ g)
=
f-
Èalog
(
Xi
dato
CHE l' esponenziale
e'
la FUNZIONE
MEDIA QUADRATICA
inversa
dello
"
→
18
= EXP
Èaeog
(Xi
)
si usa quando stiamo
μ q
=
FÈ
, qq.FI?Xi?mi
'
ANALIZZANDO il variare di
UN
FENOMENO
NEL TEMPO
(
TASSI DI VARIAZIONE
,
DI RENDIMENTO
)
E-
'
POCO
SENSIBILE AI
VALORI ANOMALI
→ LA USO SE SONO
DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DI
PRESENTI OUTUERS .
UNITARIA
FREQUENZA
MEDIE
DI POTENZA DI ORDINE
r
MI PERMETTONO DI
SCRIVERE IN FORMA
→
'
!
XC
μ
(r)
Generate
tutte
tenerne analitiche
{
1 →
M'
[
a
quindi
ÌÌÌFIIÌIFÉÈYEÉÈÈIÉEErroneamente
r
=
o →
'
=
mg
(
,Ma
.mg ,
μg)
← casi
particolari
μ
(1)
=
μ
Xcs)
e-
Ma
Eugen
Ena
EXCN
)
μ
'
?
μ£È
inerzia
2 →
=
q
r :
ai
;
0
;
1
;
2
;
a →
C-
a)
=
XN
)
MEDIE ANALITICHE
PONDERATE
μ
pone
È
Xi Wi
Wi
= pesi delle modalita
'
WEÌÈ
Wi
stesse PROPRIETÀ
DI
MA CON pesi Diversi
per
μ
→
Èalxi
a)
= o
per μ
p
→
È
(
Xiwi
upon
)
MEDIA
DI POTENZA
DI ORDINE
r
PONDERATA
:
mirifici
MEDIANA PER CARATTERI DIVISI IN classi
f)
CLASSE
MEDIANA
TROVARE il VALORE DELLA M ALL' INTERNO Della
CLASSE MEDIANA STESSA
SAPPIAMO CHE FA) IN UNA
CLASSE HA
LA
SEGUENTE
ESPRESSIONE :
FG
X
ci
e)
per
ci.ae
xe
Ci
FREQUENZA Relativa
Della sottoclasse
(ci
Fi-
a.
thilx
ci
a)
perché
è
la
classe mediana
Fi-
at
hit
bici-
a
-0.
I
x.
È
_
t÷¥
→
F-
Ci
(
Fia)
hi
,
£
→
X-aci.at
Fi-
a.
dieci
,
+0.
Fia
di ✓
ftp.a
di
K¥ 7
VALORE ESTREMO 0.
FREQ.REL.com
DELLA MEDIANA
=
INFERIORE della classe PRECEDENTE
.
AMPIEZZA
DELLA classe
classe MEDIANA
MEDIANA
FREQ
.
REL - DELLA classe
MEDIANA
QUANDO usiamo
a- TIEDIANA
:
- BISOGNO DI UN
INDICE DI SINTESI PER CARATTERI Qualitativi
ordinabili
2) QUANDO
HO UNA DISTRIBUZIONE
ANCHE QUANTITATIVA
) CON VALORI
ANOMALI PERCHÉ LA TEDIAVA E'ROBUSTA
rispetto A QUESTI VALORI
QUARTI
LI
e QUANTICI
→
MEDIE
DI POSIZIONE
,
DISTRIB
.
ORDINATE
QUARTILI
:3 MODALITÀ CHE DIVIDONO
LA
DISTRIB. ORDINATA
IN 4
PARTI
UGUALI OGNUNA CONTENENTE
IL
25% Delle OSSERVAZIONI
QUARTI LE
( 910 Qs
) il 2-
DELLE OSSERVAZIONI
1
μ
,
2° QUARTI LE
o
Qz )
il
5% DELLE Oss.
= MEDIANA
qz 92
XCN)
3
'
QUARTILE
) il 75% Delle OSS
.
DISTRIB
.
UNITARIA
N.lk
,
l'
POSIZIONE
I
QUARTI
LE N
%
I QUARTILE N
%
,
# QUARTI LE N
,
DISTRIB .
DI
FREQUENZA N
%
e
-72,3 Nn
.ae/V-94eNhXnseN(lkDsNh-e9e=&-LXn.e+XnIseN(lkd=Nn-e
PROPRIETÀ
o
?
DEVIANZA
- O'
ÉUNA
QUANTITÀ
NON NEGATIVA 070
IL
NUMERATORE
DELLA VARIANZA
O' EÌNVARIANTE Rispetto
A TRASFORMAZIONI
DEV'
FINI
M
)
"
DISTRIB. UNITARIE
LINEARI
E'
INVARIANTE PER CAMBIAMENTI
D' UNITÀ
di
MISURA
(OMOGENEITÀ )
e
dev'
i
?
i -15mi
DISTRIB. Di FREQUENZA
PER TRASLAZIONI
)
NB.
0,
,
DEV
RISENTONO
DELL' UNITÀDI MISURA E
yi-atbxivye.br?X,Oj=lbIox
DELL' INTENSITÀ DEL carattere
DIMOSTRAZIONE :
o
}
In
i-uyk.fi?flatbxi)-(axbuxD
! coeff DI VARIAZIONE
E'UN INDICE
PERCENTUALE DI VARIABILITÀ
(
ESPRIME O
=
%
[
atbxi
bmx]
!
YN
(
bxi
bmx)
COME
PERCENTUALE
Della
μ ELIMINANDO
L'
INFLUENZA
dell'
UNITÀ DI
MISURA SULLA
VARIABILITÀ ).
=
%
a
b' (Xi
Ux
)
BTT }
E'
USATO PER
CONFRONTARE le variabilità IN Diverse
DISTRIBUZIONI
.
se dovessi AVERE
Yi
ahi
,
o
}
=
of
'
4i-bxiioj.ba
?
cv
=L
PER calcolare cv HO BISOGNO di
presupposti
: 1)NEO
DIFFERENZE MEDIE
CTLITIPOLOGIA )
Xi
> o
CONFRONTARE OGNI
SINGOLA MODALITÀ CON le Altre
DIFFERENZA
TRA tutte
le coppie di MODALITÀ
#TIPOLOGIA INDICI DI VARIABILITÀ
:
D=
È
,
È!
Xi
XII
il
] CAMPO
DI VARIAZIONE
RANGE
)
Xe DARÀ LUOGO
A N
1 DIFFERENZE
Dc
=
XCN)
Ka
un
Dc
= O
→
Xcn
=
Xls)
→ MODALITA
tutte UGUALI
NON CONSIDERO
/
Xs
Xe
/
= 0
DIPENDE solo DAI VALORI ESTERNI
→
NON DÀ INFORMAZIONI sulle
Altre
CONSIDERANDO tutte le Xi lotteremo
NCN
DIFFERENZE
Modalità
ESEMPIO
:
1, ,
Nel ,
shh
8h
this
stato
sta
D=
.
3
Aq
=
93
→
COMPRENDE IL 50%
DEI TERMINI
della DISTRIB.
se D= 0
→ le modalità sono tutte UGUALI
LA VARIABILITÀ
E'
MAGGIORE
PER
Aq
ELEVATO
Dq
PUÒ essere
= O
ANCHE QUANDO
STANDARDIZZAZIONE caratteri QUANTITATIVI
VARIABILITÀ PER
CARATTERI
QUALITATIVI
"
MUTABILITÀ
"
MINIMA ETEROGENEITÀ
MAX OMOGENEITÀ
QUANDO tutte
CI
PERMETTE DI CONFRONTARE
LE
DISTRIBUZIONI
LE UNITÀ PRESENTANO LA STESSAMODALITÀ
PERCHE
ELIMINA
l'effetto esercitato
DA UNITA
'
massima
eterogenea
Min OMOGENEITÀ )
QUANDO le
DI MISURA E INTENSITÀ DEL
carattere
modalità HANNO tutte LA STESSA FREQUENZA
Xi
= VARIABILE OSSERVATA
i
. -
-1N
tienili
. K
INDICE DI
ETEROGENEITÀ
DI GIN '
Zi
=
LA
DISTRIBUZIONE STANDARDIZZATA
e
,
= 1.
÷
,
f.
2
Mincato
AVRÀ
MEO E Oz
=L
Max
(es)
=
K
1k
DIMOSTRAZIONE
Zi
'
μ
Xi
uff
Yi
e-
QTBXI
2) INDICE DI ENTROPIA
là
:{ afilnlfi
)
Mircea )
»
bt
→
a maxcea)
μ
Z
= -
f
MX
=
esempio
trovare m
→ N PARI
→ 4= i
%
+1=
}
M' 6
JZ
=
Of
=
i nsinr mah
Ns
=
4
5 2
6
6 so 16
Mz
'
Mr
→ Mz
= 2
7
2
18
Ma
= 2
FORMA : DISTRIB .
Di FREQUENZE
22
'
s
's
!
I
'
a
2 ASPETTI :
22
1)SIMMETRIA ASIMMETRIA PROPRIETA
DISTRIB
.
SIMMETRICA
2) CURTOSI
QUANTO
SI
ALLONTANA
DA
μ
m
± moda
UN MODELLO
TEORICO
( CURVA
NORMALE )
È
(Xi
'
mi
= O
UNA DISTRIBUZIONE
E
'
SIMMETRICA
QUANDO
q
,
e
q
,
HANNO LA
STESSA DISTANZA da m
:
(
M
9 a)
=
( 93
M )
LE MODALITÀ
EQUIDISTANTI
DALLA MEDIANA
(CENTRO DI SIMMETRIA)
HANNO
LA STESSA
FREQUENZA
VERIFICHIAMO LE
PROPRIETA
VALUTIAMO SE COPPIE EQUIDISTANTI DALLA MEDIANA
=
5.2)
=
132/
=
6 = Me
= MODA
HANNO LA STESSA
FREQUENZA
Me
MK
i Msimr
si
Ms
=
MK
ecc
3. g)
34+(5-6)
} +
(g- g)
'
10+(7-6)
}
(
g)
'
μ
LEPOCURTICA Y
> O
91 ( Pos )
e
N
44=22/4--5.
posizione
di
qs)
→
MESOCURTICA
91=
93
( Posse
N
74--2274=16.
i
patafffeffriaIIIIore.ee
93
=
\
CODE Rispetto Alla
0
NORMALE E MAGGIORE
(
M
91 )
=
(
93
M
)
→
(6-5)=(7-6)
1 VARIABILITA
NELLA
| PARTE CENTRALE
Yeo
ASIMMETRIA
E'
APPUNTITA
,
CON DE BASSE E Piuttosto LUNGHE
E
'
piatta ,
CODE PIUTTOSTO ALTE
MA
CORTE
FA PASSARE
A) ASIMMETRIA
POSITIVA
AD UN ALTA VARIABILITA
totale
UNITÀ centrale verso I VALORI
BASSI
DEL carattere
Mi
^
IL PROFILO TENDE
A
INDICE
DI CURTOSI
|
FÉLICE
%
.
!
"
mite
IIII aII'tenore
✓
MESOCURTICA
3 E'IL VALORE della
[
0 LEPITOCURITCA
CURTOSI
PER LA DISTRIB. NORM
.
Xe
XCK)
BOX PLOT
(
DIAGRAMMA A
SCATOLA E Baffi )
μ
> m > MODA
'
i
UN GRAFICO CHE MOSTRA SIMULTANEAMENTE
PIÙ
'
,
I
CARATTERISTICHE
DI UNA
DISTRIBUZIONE :
MODA
MM
91,
e-
M
,
93
i Xcs)
OPPURE LIMITE INFERIORE
,
b)
ASIMMETRIA NEGATIVA
UNITA
più ADDENSATE VERSO LE
MODALITÀ
PIÙ
GRANDI
XCK)
o il LIMITE SUPERIORE
,
OUTLIERS
CON IL BOX
PLOT POTRÒ
ANCHE
DEDURRE
mi
Alem
e
MODA
INFORMAZIONI
su
:
ASIMMETRIA
,
VARIABILITA
COMPORTAMENTO
delle code
.
/
i -
VALORE ADIACENTE
| /
i
SUPERIORE
'
l '
Ai
km
M
MODA
93
INDICI DI ASIMMETRIA
i
25 :/
ASIMM
. NEG.
01
=
MÌ
LEGE
da
=
IMMETRIA
92
> 0 ASIMM
. POS
.
25%
a
-1nF:(
×
Ini
.
§
?
III.
" ne '
.
ASIMM .
POS
.
91
X
E
'
UN NUMERO PURO
COME ANCHE da) QUINDI
E
DEPURATO
_
DALL' UNITÀ DI MISURA
VALORE ADIACENTE
Difetti Di 42
:
②
CAMPO DI VARIAZIONE INDETERMINATO
E -
Xcz
INFERIORE
②
SENSIBILE A VALORI DI X Molto PICCOLI O MOLTO GRANDI
←
a
=
(
M
)
(
m
-91)
=
93+91-2M
SCATOLA
: DELIMITATA DA
E
E
AL
SUO INTERNO
m
M
AVRO
92. MOSTRA L'
AMPIEZZA
1 E Eta del 50% Delle OSSERVAZIONI .
NOTA
:
M
7
M
91 )
SARÀ
POSITIVO
AD
INDICARE
Aq
=
L' ALTEZZA DELLA
ASIMTI.
POSITIVA
SCATOLA MI DÀ
INFO
SULLA
INFATTI AVRO
LE UNITÀ PIÙ
ADDENSATE TRA
e m
VALORI PIÙ
PICCOLI
VARIABILITÀ
VANTAGGI
DI
E- CHE NON RISENTE
degli
OUTLIERS
BAFFI :(SEGMENTI
SERVONO
A STUDIARE
le code
Difetto 23
può essere PARI A 0 ANCHE
IN ALCUNI CASI
DI astuti .
Delle QUALI
INDICANO L' ESTENSIONE
LUNGHEZZA
Baffi
Bing
:
91+1.
Dq
(URTOSI
Bsup
:
93 -11.5dg
IL GRADO DI
DIVERSITÀ DI UNA
DISTRIB
.
Rispetto AD UN MODELLO VALORI ADIACENTI :
TEORICO
→ DISTRIBUZIONE
NORMALE
a)
SUPERIORE MIN
(Xcr) ;
93+1.5 Dq)
INDAGHIAMO
SE le code della DISTRIB.
Osservata HANNO
UN
b)
INFERIORE MIN
Xc
Aq
)
MAGGIORE APPIATTIMENTO O ALLUNGAMENTO rispetto ALLA
NORMALE ED ANCHE COME SI COMPORTANO I VALORI CENTRALI
DISTRIB. NORM
.
Nota
g¥
coda destra
di
Ia
MODA
= μ
= m
Ad OGNI MODALITA
DIY
CORRISPONDE
SOLA
MODALITÀ
DI X PER
OGNI RIGA. SU
OGNI RIGA Avrò tutte
VARIABILITÀ ( XEYE
QUANTITATIVE
(
o }
,
o } )
FREQUENZE NULLE
TRANNE 1) IN UNA DISTRIB
.
DOPPIA POSSO
DISTINGUERE :
MEDIA DELLA DISTRIB -
MARGINALE
di
Y (
O D' ×)
sesso
1ns. II SOD
III
tot
LA DIPENDENZA
E'
UNA
RELAZIONE ASIMMETRICA
MY
'
% YJM
F
5
O 0 O 5
SE
Y DIPENDE DA X NON E
'
MEDIA DELLA GENERICA DISTRIB. CONDIZIONATA DI
Y
(
o di ×
)
TOT
5 O
0 20 25
LA SITUAZIONE DI perfetta INDIPENDENZA si verifica quando My
Xi
Elly
IX #i
=
%
g-
Mij
i
=
1
,
...
,
S
PER OGNI COPPIA
DI MODALITÀ
Xi
,
tutte le FREQUENZE
CONGIUNTE
E MARGINALI SONO LEGATE DA
UNA
CON
CARATTERI QUANTITATIVI POSSIAMO STUDIARE ANCHE LA
PROPORZIONALITÀ
PER RIGHE
E COLONNE DIPENDENZA IN MEDIA =
pt =
vii.
'
N
L' INFLUENZA CHE LEMODAUTA
DI X
o di Y
HANNO
sul livello della
PER
OGNI COPPIA (
i.J
MEDIA di
Y (
o di
×
Èij
= fi.
"
f.
]
A TAL FINE
USIAMO
IL RAPPORTO DI CORRELAZIONE
=
INDICE
NORMALIZZATO PER STUDIARE LA DIPENDENZA
IN
MEDIA
FREQUENZE
Assolute
e relative
CONGIUNTE IN caso
TRA
2 VARIABILI QUANTITATIVE
DI PERFETTA INDIPENDENZA (Free- teoriche) .
2 È
[
My
IXEXI
-132mi
.
0 INDIPENDENZA
OE
μ ]
E
' NMEDIA
Èssi :c ftp.iemonsseeeeta
"
È:[
tastino
{
Ynonàoeonoenza
NUMERATORE
=
DEVIANZA DELLE MEDIE CONDIZIONATE
¥ E I
} DENOMINATORE
= DEVIANZA
DI
Y
TOT 2
2 4
ESEMPIO
TABELLA DI CONTINGENZA (
TEORICA
IN caso DI
NUMERO
DI MEZZI
INDIPENDENZA
→ AVRO
AL SUO INTERNO
si
E
0
1 2 3
TOT
a)
BARICENTRO
Della DISTRIB .
COME TOTALI DI RIGA
,
COLONNA GLI stessi
totali
01 ×20/
1
0 14
( Mx
,
My)
della TABELLA OSSERVATA 20140
0 7
16 2 25
,
=
star =
=
0 2 21
=
sesso OCC DIS tot
~
TOT
5
μg
=
O'
(1121+1238)+1374,
Mfo.to/oi#
{
"
=
ÉTÉ
" "
b)
CALCOLARE LE MEDIE CONDIZIONATE
DI
X
°"
F 1.5 1.
Mas
=
-4=1.
n llxiy
tiff
TOT
2 2 4 NEL
=
3 ¥
= 1.
xly
=L
= 22,
17
INDICE CHI
QUADRATO di
PEARSON
μxp ,
sottosistemi
o
,
>
INDICE CHE
MISURA IL GRADO DI INDIPENDENZA
tra X e Y
X
! È
,
in"
mì )
'
=
NIÈÈ
.am
?
a)
mix
» 302 ¥ 50
'
"
a
:O
:*
:*.
" "morto .com#ione
%
!
PRIMA
ESPRESSIONE
EQUIVALENTE)
=
[
(10-34,6)
}+
(24,94 -34,6/217+(40,5-34,6)
'
38+(45,6-34,6) }
72=0 SIGNIFICA
CHE Mi
]
>
MÌ INDIPENDENZA [
14+302.25+502.
)
34,6]
?
X
0 DIPENDE DA N E DAL NUMERO
delle
MODALITÀ
=
FORMULA
ABBREVIATA
DEVIANZA
DI X
E DI Y
PER QUESTO
SI RICORRE AL
DEVCX)
È
,
XP
a
2
X
'
NORMALIZZATO (INDICE DI CRAMER
=
X
'
OEVE 1
N{
min
s-
,
t
si
}
indip .
XEYINON
NOTA
.
vi. èunxate
sono in""
CORRELAZIONE (XEYSONO QUANTITATIVE
)
CONSIDERA
ANCHE N NELLA FORMULA
EDÉSOTO RADICE
^
ESEMPIO ).
.
..
×
1 -0.
?
. .
° .
÷
I
I Ie
»
.
. .
.
..
÷
Yi
.
.
°
Yi
/.
- - - - t
②
minchia
' '
:
di
> ,
i
Xi
× xixita
VALORE
DI
SINTESI PER
UNA DISTRIB .
a) LA NUVOLA
dei PUNTI
HA UN
b)
LA NUVOLA
DEI PUNTI
DOPPIA
ANDAMENTO
CRESCENTE
,
POSITIVO
SI DISPONE SU UNA REITA
E TENDE AD
ALLINEARSI
LUNGO
MA
CON
ANDAMENTO
XEY QUANTITATIVE
(
Mx
.my
)
BARICENTRO della UNA REITA
DECRESCENTE
D'STRIB.
CORRELAZIONE POSITIVA
CORRELAZIONE
NEGATIVA
F- QUANTITATIVA
( concordanza)
DISCORDANZA)
QUALITATIVA
ORDINABILE
( MX , MY)
AL
CRESCERE (DIMINUIRE)DI
X AL CRESCERE DI X
y
X
QUANTITATIVA
Y
= QUALITATIVA SCONNESSA
(
Mx
, MODAY)
AUMENTA
DIMINUISCE)
Y
DIMINUISCE
O VICEVERSA
LA CORRELAZIONE DEFINISCE UNA RELAZIONE Reciproca
DATO CHE
Oxy
DIPENDE DALL' UNITÀ DI MISURA
DI
e
Y
TRA ✗ e
Y
SOLO DI TIPO
LINEARE PER
MISURARE LA RELAZIONE
TRA VARIABILI
y
^
y
^
PREFERIAMO USARE IL
COEFF
.
Di CORRELAZIONE CHE E
'
UN NUMERO PURO
μ
1 Perfetta CORRELAZIONE
NEGATIVA
.
.
i.
i.
i
:
0
ASSENZA
di RELAZIONE LINEARE TRA
✗ e Y
;
i
1
PERFETTA CORR .
Positiva
:
:
>
PROPRIETA
'
Di
r
✗ 1 × 2
✗
×
>
re
INVARIANTE
A TRASF .
LINEARI DI ✗
CY
c)
ASSENZA DI RELAZIONE d) INDIPENDENZA ANCHE
(Oxy)
TRA ✗ e Y
→
E
'
SEMPRE
✗ i
→
vi
=
@ + bxi
oiv
=
bdltxy
UGUALE AL crescere
Di X
Yi
→
vi-c-dyiruv-bdT.lv
Y COSTANTI
"
COSTANTI USATE PER
USATE PER le
1 CAMBIAMENTI DI
y
^ '
,
TRANSAZIONI SCALA
:
'
Dimi
.
...
.
.
"
"
"
our
=
YNÈÌ
lui
Mn)
vi
uu
=
"
,
. .
.. ..
=
YNÈ :[
atbxi
a +
bmx)
] [ctdy ;
(
day
]
=
>
×
=
YNÈI .ca/+bxi-g-bMxJ-c/+dyi-X-dNy
]
=
C)
Y
DIMINUISCE AL crescere ☐,
d)
RELAZIONE
ESPONENZIALE
(NEGATIVA)
✗ NEL PRIMO
tratto ,
POI CRESCE
YDESCRESCE
AL CRESCERE
DI ✗ MA
=
% ÈÌ
,
[
b.
(Xi
Mx
d
(Yi
my
)] =
AL CRESCERE
DI X
.
CON UN TASSO
DI CRESCITA CHE SI
bd
ÈÌ
✗
i-MNYi.MY
=
bdctxy
RELAZIONE PARABOLICA
→
RIDUCE
AD UN
CERTO
PUNTO
μ
NON LINEARE
→
CORRELAZIONE =D
( C'
È
RELAZIONE MA
NON E' LINEARE
)
IB
2 E
'
SENSIBILE AI
VALORI ANOMALI
INTRODUCIAMO UNA MISURA
DELLA CORRELAZIONE
a) r = 0 → ASSENZA DI CORRELAZIONE LINEARE
NON SIGNIFICA INDIPEN. TRA ✗ e Y
✗ i
=
Zyj
=
¥§Ì
a) CORRELAZIONE SPURIA
→ ✗ e
Y
SONO COLLEGATE
ENTRAMBE
DA
UN
NESSO DI
CAUSALITÀ CON UNA
f
,
VARIABILE
→ HO UN r
POSITIVO O
NEGATIVO) ANCHE
se ✗ e ✗
NON HANNO UNA RELAZIONE
DIREITA
LE
VARIABILI
STANDARDIZZATE AVRANNO
VALORI POSITIVI
(Xix)
QUANDO
i
>
Mx
e
>
Y
]
E VALORI
NEGATIVI QUANDO
CORRCX ,
Y)
= CORRCY ,
×)
iena
e
Y
>
<
My
CORRELAZIONE PER DISTRIB.
Di FREQ
.
i
,
zy;
[
VALORI Positivi = le 2 VARIABILI HANNO LO stesso segno r
=
ÌÉÈ
,
✗ i
Mx) (Yi
my )
Fi
]
=
☒
VALORI NEGATIVI = ALTRIMENTI
V. È
,
(Xi
Mx)
"
Fi.
( Yi
Nyj
F
,
i
=
1
,
...
,
N 5=
,
...
,
N
DISTRIB. DISAGGREGATO)
se FACCIO UNA MEDIA DEI prodotti
Zxi
,
Zyj
,
HO UN' IDEA
ESEMPIO
DELLA
RELAZIONE TRA ✗
e y
✗ = REDDITO IN MIGLIAIA
DI €
y ,
✗
=
SPESA
PER MUSEI IN MIGLIAIA
DI €
COEFF
. di CORRELAZIONE di BRAVAIS
PEARSON
N
SOGGETTI
(
p
, pxy ,
corra
,
y),
r
) ÉUYU
r
=
%
È
,
(
xi-mx.si#
)
7 0.
6g
O
=
%
.
Xi
Mx) (
Yi
my)
Oxy
→
""AMAN"
TRA ✗ e ✗
iÈÌ
=
mes
my
=
ÒXY
=
%
ÈI
.
Xi
Mx
)(y,
Mg
→
1.5+0.45+0.15+1.
5
L
Oxy
=
%
II.
(
Xi
Ux ) (y,
My)
Ex
_ 2
Oy
=
Oxy
> 0
→ HO CONCORDANZA FRA
✗ e Y
E
'
UNA
MISURA DELLA RELAZIONE
LINEARE TRA
Xey QUANTO
È
FORTE QUESTA RELAZIONE? con
Oxy
NON
MA A DIFFERENZA DI r
,
DIPENDE DALL'
UNITÀ
DI MISURA POSSO Rispondere
DELLE
VARIABILI
. QUINDI
ÉDI
DIFFICILE INTERPRETAZIONE
[
=
=
→ ALTISSIMA
CORR
. POSITIVA
tra ✗ e
Y
PERCHE
'
{
o%EE-r.to?reTszoneunearetrsxeY
SO CONCORDANZA TRA ✗
ey
N
Oxy
=L
È
,
(Xi
Mx
) (Yi
My
) I Xiii
Ninny
f- 2
SCRITTURA
EQUIVALENTE SEMPLIFICATA
PROBABILITÀ = LA
MISURA DEGLI EVENTI
CALCOLO
COMBINATORIO
UNA FUNZIONE CHE
ASSEGNA
AD OGNI
ELEMENTO DI 1 UN CALCOLIAMO
IL
NUM
. DI
MODI IN CUI N
oggetti
POSSONO
LIVELLO DI PROBABILITÀ
ESSERE ASSOCIATI SULLA BASE DI CRITERI SPECIFICI
SI DICE CHE LA FUNZIONE DI PROBABILITÀ
È
UNA FUNZIONE a) ORDINE CON CUI
GLI
OGGETTI SI PRESENTANO
D' INSIEME PERCHÉ IL SUO
DOMINIO
E
_
COSTITUITO DA UNA
b)
SE POSSONO
ESSERCI
RIPETIZIONI DELLO STESSO
COLLEZIONE
DI INSIEMI
ELEMENTO
DIVERSE
IMPOSTAZIONI DI PROBABILITÀ
: SEQUENZE ORDINATE con RIPETIZIONE (
l' ORDINE
IMPOSTAZIONE CLASSICA
CONTA
E Gli OGGETTI POSSONO RIPETERSI
p
(A)
=
NUM .
CASI FAVOREVOLI
N =3 OGG
. {
Qb
,
c
}
NUM. CASI POSSIBILI
IPOTESI
DI FONDO
I CASI POSSIBILI SONO EQUIPROBABILI {
Qb
,
ac
,
QQ
,
ba
,
bc
,
bb
,
ca
,
Cb
,
cc
}
IMPOSTAZIONE FREQUENTI
STA
OITENGO
POSSIBILI
RAGGRUPPAMENTI
A
A DEGLI N OGG.
m →
a-
M
= Il NUMERO DELLE
PROVE
Elevato
PCA
=
lim
^
n
(A)
= freq .
Assoluta
☐ , A
1) DISPOSIZIONI
con
RIPETIZIONE
IPOTESI
DI FONDO ESP. SIA RIPRODUCIBILE NELLE
STESSE DL
,
m
=
NM
es. D
}
,
2=32--
CONDIZIONI ~
SI
BASA SULLA LEGGE EMPIRICA DEL CASO
DISPOSIZIONI
CON RIPETIZIONE DI N
OGG
. Di classe M
N. B
.
Il
link NON E
'
calcolabile ANALITICAMENTE
2) DISPOSIZIONI
SEMPLICI
(senza ripetizione)
M →×
nell' ESEMPIO PRECEDENTE TOGLIAMO
QQ
,
bb
,
cc
}
3) IMPOSTAZIONE SOGGETTIVISTA
(
DE Finetti)
PC A) = IL GRADO DI FIDUCIA
CHE UN INDIVIDUO RAZIONALE DN
,
m
= N (
N
N-
...
N
m
N
NUTRE NEL VERIFICARSI DELL' EVENTO A
UN
_
N
SULLA BASE DELLE
CONOSCENZE
POSSEDUTE
IL Prodotto DEI PRIMI M NUMERI
NATURALI DECRESC.
SUL FENOMENO IN UN
A PARTIRE DA N
=
31
DETERMINATO MOMENTO
es. D.
(
3-
→
§
=3 -21=
Le 3 IMPOSTAZIONI SONO RICONDUCIBILI
ALL' IMPOSTAZIONE
ASSIOMATICA
DI KOLMOGOROV N
.
B.
=
1
= 1
PCA)
=
UNA FUNZIONE CHE ASSOCIA
All' evento A
UN
NUMERO
IN
MODO
3) PERMUTAZIONI SEMPLICI
CHE SIANO
VERIFICATI ALCUNI ASSIOMI
SEQUENZE
ORDINATE SENZA RIPETIZIONE MA con m
=
N
UNA
FAMIGLIA DI EVENTI APPARTENENTI A I PN
=D
N
,
N
=
N!
SI CHIAMA PROB .
Sur UNA QUALSIASI FUNZIONE
p
:
→
[0,1]
pg
=
lsz
=
RUM
. DI ANAGRAMMI
CHE SI POSSONO
IL DOMINIO DELLA FUN
.
DI PROB. (
p
e
'
FORMARE CON
"
ROMA
"
IL CODOMINIO DI P E
'
[
]
es .
3
"
MAMMA
"
E
,
=
4! =L
,
LA
FUNZIONE
PAURA
_
DETERMINATE
PROPRIETÀ
:
M-isVOLTEA-ZVOUECAS.SI
OMD
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE ( ASSEGNATE)
PCI)
= 1
2) P (A)
20 evento
A PNH
'N
"
"
"
NK>
=
μ,[÷μ
SE
{
Aa
,
Az
,
...
,
An) sono
n EVENTI
A 2 A 2 DISGIUNTI
ALLORA
P
II.
Ai )
=
Ffa
PCAI
e
'
il
PRINCIPIO DELLE N
=
DEGLI N OGG
,
N1 SONO UGUALI
FRA LORO
Nz
= Il × ×
,
Nz
SONO
= FRA
LORO
MA =/ DA NA
PROBABILITÀ
TOTALI PER EVENTI INCOMPATIBILI
N
=
5
"
MAMMA
"
,
N
,
=
"
M
"
Nz
=
"
A
"
ES. A 1
E Az
= 2 EVENTI INCOMP.
Asr
Ar
=
P.se?j?I---FyYj?!---?I-=1OP(AiUAz)--PCAs)-P(
Az)
PARTENDO
DA
QUESTI
ASSIOMI POSSIAMO DEFINIRE ALTRE 5) SEQUENZE
NON ORDINATE SENZA
RIP.
PROPRIETA
'
:
a) PC 0 )
DP
(A)
E
1
a) PCÀ )
PCA)
{
a.b
,
=
>
{
ab
,
ac
,
bc
}
a)
P (A) =P (
B
) se AEB
DPCAUBY-PCAHPCBJ-PCANB-COMBINAZIONISEMPL.IQ
REGOLA DELLA SOMMA
PRINCIPIO Delle
CMM
In )
=m%m
PROB
.
TOTALI PER EVENTI
QUALSIASI )
~
SI LEGGE N su M COEFF
. BINOMIALE
3 !
ASSEGNARE LE PROB
. AGLI
EVENTI
(
r Discreti)
es. (
=
z?£
PROB
.
DI UN GENERICO
P
(A)
= IP
(wi)
pluri
=
Evento elementare
COMBINAZIONI
CON RIPETIZIONE
WIEA
QUANDO Wi SONO IMPROB.
E
1 CONTIENE UN NUMERO FINITO DI
l' ORDINE
NON CONTA)
Eventi
,
DICIAMO N
, p
Wi
=
% QUINDI POSSIAMO
scrivere
^
=
M -
!
N
,
m m!
N
si!
P
(A)
=
TÈ
n (A)
= FREQ. DIA
un
es.ci
,
=
ÉTÉ
,
=
2 ¥
= =
E-
= 6
LA PROPORZIONE DI EVENTI
ELEMENTARI CONTENUTI IN A
{
ab
,
ac
,
bc
,
ora
,
bb
,
cc
}
ES.
ESPERIMENTO
=
LANCIO 1 DADO
R
contiene UN NUMERO FINITO DI WI ,
N
=
I
-21,2 ,
,
}
A
=
ESCE UN NUMERO PARI
{2/4,6}
P
(A)
= %
ESEMPIO RIASSUNTIVO
NOTA
:
CONFRONTIAMO
INCOMPATIBILITÀ
E INDIPENDENZA
IN
QUANTI
MODI SI POSSONO PRESENTARE LE FACCE
DI 2 DADI? DISP
ORDINE
CONTA?
si SEQ.
ORDINATA
se m'
N
INCOMPATIBIUTÀNDPENDENZA
PERMUT .
" " = "
"
|
^^ "
^^
=
GLI OGG.
SI POSSONO RIPETERE
?
SI
relazione
tra eventi
(
tra probabilità
DI
,
2
=
N
62=
CALCOLIAMO LA PROB. CHE LANCIANDO
3 DADI
CONSEGUENZE SU
PCAUB)
=P(A)
PCB
)
se PCANB)
ed anche
OITENGO
TRE
NUMERI
se PCA
/ B)
A
-16,
,
}
P(A)
=
TÈ
=
%
=
N
=
DI
,
3--63=
TEOREMA
DI
BAYES
1
,
Cz
,
...
/
CK
SONO EVENTI INCOMPATIBILI E TALI DA
FORMARE
RIASSUMIAMO
UNA
PARTIZIONE DI
SEQUENZA
RIPETIZIONE SONO delle POSSIBILI
ORDINATA SI
me N DISP. CON Ripetiz.
CAUSE D' UN EVENTO
" È
a
ny
fym
=
N
"
OB : INDIVIDUARE LA Possibile
Pri!!
)
"
m=N
PERMUTAZIONI
CAUSA
DI UN EVENTO
"
A
"
_
PROB .
A priori
con Ripetizione
p(
ci /
A)
=
K¥-
MA / ci)
Pn
Naina ,
"
/
NK
N !
=
§
;
p
(G)
|p(A
→
PROBATNEO
=
Ns!
Nz!
' " NK!
PROB
.
A posterior,
_
VEROSIMIGLIANZA
ORDINATA NO
DISPOSIZIONI
\
' DI
BAYES
formula ☐, pgpgyeg
☐' A DATO
G-
SEMP""
DN
,m=([
NUMERATORE della FORMULA DI BAYES
Def. Di
PROB
. CONDIZ .)
PERMUTAZIONI
p(Cina) =p
ci
)p(
A/Ci
PCA / B)
=
SEMPLICI %[f#
PN
=
N!
" "
° """
"
|
° "
"
" "
"" "
""" °" "
"" "
"
=
DENOMINATORE (
PRINC
. Delle
r
=
È
propg.to#le)P(AnB)--P(BnA
(
CN
,
m m
:(
N.si!
PCB
A)
=
PYM
PCA)
=
.jp/C-)P(A/C-)NFATENOWMBNZ0NSeMPiaiP(BnA)--P(B1A)P(
A)
Cum
=
(
In
)=mI÷m
),
ES. ABBIAMO 2 URNE
va
PALLINE
BIANCHE
Ua
=
{
313
NERE
5N
ESTRAIAMO A SORTE UN' URNA
ED ESTRAIAMO
1 PALLINA B => PIU1)
=
PROBABILITÀ CONDIZIONATA
Plur)
-0. QUAL'
E
'
LA PROB CHE
LA PALLINA PROVENGA DA v
COMUNI AD AEB PIU,
/B)
=
Pcus
)PCB
=
Pcus) PCB/Un)
= Pam
=
'ST
:L
::::::< ÷ :
:
PCB)
Plus) PCB /
Va)
-1 Plur)PCB / Uz)
DIVENTATO
IL NUOVO SPAZIO
1
CAMPIONARIO
=
(1/2)/4/10)
'
A) ( %)
es. LANCIO 3
VOLTE UNA
MONETA
B.
=
OITENGOC
NEL PRIMO LANCIO ES
.
2 POPOLAZIONE PREDISPOSTA
AL
VIRUS
:
D=
OTENGO ALMENO 2 volte A TESTA P
= EVENTO DI essere PREDISPOSTO
A
= AMMALARSI
p( A)
=
YUD
?
3=2% Pr
p
)
Pr (f)
=
1-0,3=0,7 BLA /
P )
Pr (
A /
f)
=
PCANB
= 11g
PROB
.
CHE UN
INDIVIDUO QUALSIASI
SI AMMALI?
PCB/
A)
= %
.
%
,
=
%
,
p
(A)
=
PRCAIP)
Prcp
BLA
F) PCF
_ (0,5×0,3)+(0,2×0,7)=0,
PER
/A)
= 1
PROB. DI ESSERE PREDISPOSTO SAPENDO
CHE
CI SI E
'
AMMALATI
DALLA
DEFINIZIONE DI PROB
.
CONDIZIONATA
RICAVIAMO
PCANB)
=
PCB / A) P (A)
→
REGOLA
Pr ( p
A)
=
È
=
%÷%
>
= 0,
DEL Prodotto DATO
che
PCA)
AMB
> PCAMB
) =P
( A / B) PCB)
LA
FORMULA DELLE PROB. TOTALI
VARIABILI CASUALI
SEMPLICI
O DERIVATE
PC
A)
=
È
PCA
Ci) Pcci)
e
_
UNA REGOLA CHE
ASSOCIA
AD OGNI WIER UN NUMERO REALE
i. 1
INDIPENDENZA
TRA EVENTI
: r → IR w
.
IL VERIFICARSI DI A NON MODIFICA PCB)
Ii
QUINDI
A e
B
SONO
INDIPENDENTI SE
PCANB)
=P (A)PCB)
L'
INDIPENDENZA PUÒ
ESPERIMENTOEF.ci#M0DATA-
ESSERE ESPRESSA COME SEGUE
LANCIO
DELLA
E-
"
NUMERO DI c
"
PCB
/
A)
=
PCB)
_AE
PCA
/
B)
=P (A)
NUMERO FIGLI
0
,
...
E
'
UNA E ' DENTKA
{
0
,
,
..
}
,
2
,
4
IMPORTANTI
TRASFORMAZIONI
DI V. C. SONO
:
COMBINAZIONI LINEARI
DI 2 V. C.
TV
= a +
b
4) LA V. C. SCARTO
M
E
[
I
μ
]
= 0
e
_
UNA V. c. OTTENUTA COME COMBINAZIONE LINEARE DI 2
V. C.
2) LA
V.C.
STANDARDIZZATA
z
,
=
X-M.ie
E
[
=D
E
[
=
QE [
I
]
BE [TI]
VOUEZ]
Var
[
tv ]
=
ai
var
[
j-brvarE-Y-J-zabcov-E.FI
LA V. C.
TRASFORMAZIONE
LINEARE
Q +
b
se E SONO
INCORRELATE TRA
LORO
E
[
= a +
b.
E [
E
] Von ]
= barare
:X
:]
VAREWJ
voir
[E)
Var [¥ ]
LA V. C. TRASFORMAZIONE
QUADRATICA
a
VARIABILI CASUALI DOPPIE
ls.
ESPERIMENTO CASUALE
: TRIPLO LANCIO
DI UNA
MONETA
"
NUTI .
TOT.
DI TESTÉ
"
NUM .
Di CROCI
"
r wi
E
012 3 TOT
TTT Wa 3
t " " = 1
[
TCT W}
2 1
TCC WU
1
2
CTT WS
CTC
Wg
,
0 0
i
Ì%
CCT
Wa
2
CCC
WS 0
3
r t
ya
Prc
= ✗
In g)
=P
= ×
,
y
)
wi-y.to (
×
, y)
°
i
Ì
¥
DISTRIBUZIONE DI PROB .
a)
DISTRIBUZIONE
DI PROB. CONGIUNTA
V. C. DOPPIE Discrete
FCX
,
9) =P (
= ×
,
=
y
f-
×
,
g)
IO
E
}
FA ,
y) -
b)
POSSIAMO
DEFINIRE le F. DI PROB
. MARGINALI
F
e) =p (
= ×)
=
§
f-
×
,
y
)
Fy
( y)
=P
g)
=
ftp.y
c)
CI SONO
ANCHE F
DI
PROB
.
CONDIZIONATE
F (
Y/
xt-fcylxt-p-I-y-I-xt.PE/-=Y-*-=H=FfY#p-.X-.--
×)
:
d)
INDIPENDENZA
TRA V. C
.
2 V.C
. e SONO INDIPENDENTI SE
PER OGNI COPPIA
X ,
y)
la
F DI PROB
. CONGIUNTA
f- (
X
,
y)
e
'
UGUALE AL PRODOTTO DELLE
MARGINALI
:
fa
, g)
=
f- (×)
f-
y
# e
SONO INDIP .
EQUIVALENTEMENTE LA CONDIZIONE DI INDIP.
PUÒ
ESSERE ESPRESSA
COME SEGUE
: °
FCY / ×)
= f-
y
f-
=
F
×
MOMENTI PER VARIABILI CASUALI DOPPIE
MEDIE
CONDIZIONATE
:
M¥ 1
y
=
E
=
y
]
M.TL#=x=-t--.Y-.-x:-- ×
]
MEDIE
MARGINALI
M
=
E [
E
]
=
E [ ]
VARIANZE
Var
) ,
Var
COVARIANZA
0 ¥
= Cov
E)
=
E [(X-M.it
.
Y
M¥ 7
=
=
¥
}
(
KM
( Y
μ
FA ,
y
{
NEL CASO
Delle
}
V. C. Discrete
