Scarica Introduzione alla Statistica: Frequenze, Tabelle e Misure di Variabilità - Prof. Perchinun e più Appunti in PDF di Statistica Descrittiva solo su Docsity!
Statistica I
La statistica è una scienza che comprende metodologie e tecniche per agevolare l’analisi e l’interpretazione
dei fenomeni.
Essa si divide in:
➢ Statistica Descrittiva: Analisi dell’intera popolazione.
➢ Statistica Inferenziale: Analisi di un campione della popolazione.
Il campione è una parte delle unità statistiche costituenti la popolazione.
Elementi Statistici
➢ Unità Statistica: Singolo elemento della popolazione.
Essa può essere:
- Semplice: Unico elemento (Esempio: Studente).
- Composta: Singoli aggregati di più unità semplici (Esempio: Famiglia, azienda).
- Multipla: Più unità statistiche semplici (Esempio: Rapporto padri-figlie).
➢ Collettivo Statistico: L’insieme di tutte le unità statistiche, ovvero la numerosità della
popolazione oggetto dell’indagine.
Il collettivo statistico può essere:
- Finito: Numero preciso di unità statistiche (Esempio: Censimento della popolazione).
- Infinito: Numero impreciso di unità statistiche ➞ Prove Sperimentali
(Esempio: Lancio della moneta per calcolare quante volte uscirà testa o croce).
➢ Carattere: Aspetto rilevato o misurato sulle unità statistiche che sintetizza il fenomeno oggetto di
studio (Esempio: - Rilevato: Età;
- Misurato: Altezza, Peso).
I caratteri possono essere di 2 tipi:
- Quantitativi: Il carattere è riferito a valori numerici.
I caratteri quantitativi possono essere:
- Discreti: Le modalità del carattere assumono un numero intero finito dei numeri
reali (Esempio: Età).
- Continui: Le modalità del carattere assumono un valore compreso in un intervallo
dei numeri reali (Esempio: Statura, peso).
I caratteri quantitativi quando vengono inseriti nelle tabelle prendono il nome di variabili
statistiche.
- Qualitativi: Il carattere è riferito ad attributi.
I caratteri qualitativi possono essere:
- Rettilinei: Le modalità del carattere assumono un ordine naturale di successione
(Esempio: Titolo di studio).
- Ciclici: Le modalità del carattere assumono un ordine naturale di successione ma
non è possibile definire a priori quale sia il primo e l’ultimo (Esempio: Giorni della
settimana, mesi, stagioni).
- Sconnessi: Le modalità del carattere non assumono un ordine naturale di
successione (Esempio: Sesso, colori).
I caratteri qualitativi quando vengono inseriti nelle tabelle prendono il nome di mutabili
statistiche.
➢ Modalità: Il carattere può assumere:
Carattere
Modalità (x
i
Età 18, 19, 20, 21, …
Sesso M, F
Le modalità possono essere:
- Serie Statistiche: Serie di modalità relative ad un carattere che possono non avere un
ordine di successione e si possono ripetere (Esempio: Età: 18, 19, 20, 19, 19, 18).
- Distribuzioni Di Frequenze: Ogni modalità (x i
) corrisponde a una frequenza assoluta (n i
Esse rappresentato il numero di volte che una determinata modalità si presenta nel
collettivo statistico oggetto di studio.
- Modalità Raggruppate In Classi O Intervalli Di Valori: Si costituiscono degli intervalli in
classi o valori per raggruppare più modalità di un determinato carattere.
I raggruppamenti possono essere utilizzati per:
▪ Caratteri Quantitativi (X, Y):
❖ Variabili Statistiche Discrete
❖ Variabili Statistiche Continue: Gli intervalli in classi o valori si indicano:
Intervallo Chiuso A Sinistra (⊢): Comprende il numero di sinistra ed
esclude quello di destra;
Intervallo Chiuso A Destra (⊣): Esclude il numero di sinistra ed
include quello di destra.
Si usa solo un metodo per modalità del carattere oggetto d’indagine.
▪ Caratteri Qualitativi (A, B):
❖ Mutabili Statistiche Rettilinee
❖ Mutabili Statistiche Cicliche
❖ Mutabili Statistiche Sconnesse
Gli intervalli in classe o valore possono avere:
- Ampiezza Uguale : Stesso range per ogni modalità del carattere oggetto d’indagine.
- Ampiezza Diversa : Diverso range per ogni modalità del carattere oggetto d’indagine.
Per poter rappresentare graficamente gli intervalli in classi o valore con ampiezza diversa
bisogna calcolare la densità di frequenza per correggere questa imprecisione.
▪ Densità Di Frequenza (h i
): Rapporto tra le frequenze assolute (n i
) e l’ampiezza delle
classi (d i
𝑖
𝑖
𝑖
▪ Ampiezza Delle Classi (d i
): Differenza tra estremo superiore (x i+
) ed estremo
inferiore (x i
) della classe.
𝑖
𝑖+ 1
𝑖
Misure Statistiche
Le misure statistiche si utilizzano per rappresentare i dati all’interno delle tabelle o grafici.
Esistono varie misure statistiche:
➢ Frequenze Assolute: Rappresentato il numero di volte che una determinata modalità (x i
) si
presenta nel collettivo statistico oggetto di studio ➞ Distribuzioni Di Frequenze
La somma di tutte le frequenze assolute (ni) darà la numerosità del collettivo statistico (N).
➢ Frequenze Relative: Rapporto delle frequenze assolute (n i
) alla numerosità del collettivo statistico
(N).
𝑖
𝑖
Le frequenze relative assumono valori: 0 ≤ yi ≤ 1
y i
= 0 → Numeratore è uguale a 0.
y i
= 1 → Numeratore e denominatore coincidono.
La somma di tutte le frequenze relative è uguale a 1
𝑖
𝑆
𝑖= 1
Le frequenze relative (y i
) permettono di mettere a confronti dati differenti tra loro.
➢ Frequenze Relative Percentuali: Si possono ottenere in 2 modi:
- Prodotto delle frequenze relative a 100.
p i
= y i
- Rapporto delle frequenze assolute (ni) alla numerosità del collettivo statistico (N) e il
risultato moltiplicato per 100.
𝑖
𝑖
Le frequenze relative percentuali assumono valori: 0 ≤ p i
p i
= 0 → Il primo fattore è uguale a 0.
p i
= 100 → Il primo fattore è uguale a 1.
La somma di tutte le frequenze relative percentuali è uguale a 100
𝑖
𝑆
𝑖= 1
Le frequenze relative percentuali (p i
) permettono di mettere a confronti dati differenti tra loro.
➢ Frequenze Cumulate: Somma progressiva delle frequenze assolute.
L’ultima frequenza cumulata (N i
) coinciderà con la numerosità del collettivo statistico (N).
➢ Funzione Di Ripartizione: Si può ottenere in 2 modi:
- Rapporto delle frequenze cumulate (N i
) alla numerosità del collettivo statistico (N).
( 𝑥 𝑖
)
𝑖
- Somma progressiva delle frequenze relative (y i
L’ultima funzione di ripartizione (F xi
) sarà uguale a 1.
La funzione di ripartizione (F xi
) permette di mettere a confronto dati differenti tra loro.
Tabelle Statistiche
I dati per poterli rappresentare vengono inseriti in tabelle statistiche.
Le modalità di un carattere sono espresse in distribuzione di frequenza ➞ Frequenze Assolute
Le tabelle statistiche possono essere:
➢ Tabelle Semplici: Contengono un solo carattere.
➢ Tabelle Multiple: Contengono più di 2 caratteri.
➢ Tabelle Doppie O Tabelle A Doppia Entrata: Contengono 2 caratteri.
Esse possono essere:
- Tabella Di Correlazione: 2 caratteri quantitativi (X, Y).
- Tabella Di Contingenza: 2 caratteri qualitativi (A, B).
- Tabella Doppia Mista: 1 carattere quantitativo e 1 carattere qualitativo.
Le tabelle doppie o tabelle a doppia entrata sono formati da:
- Intestazione Di Riga O Colonna Madre: 1° carattere
- Intestazione Di Colonna O Testata: 2° carattere
- Parte Interna Alla Tabella: Frequenze assolute congiunte (n ih
- Distribuzioni Marginali: Sono formate da:
▪ Totali Di Riga (ni0): Somma delle frequenze assolute del carattere X, A.
▪ Totali Di Colonna (n 0h
): Somma delle frequenze assolute del carattere Y, B.
Entrambi i totali daranno la numerosità del collettivo statistico (N) oggetto d’indagine.
Rappresentazioni Grafiche
Le rappresentazioni grafiche sono degli strumenti che consentono in forma visiva di capire qual è
l’andamento di un fenomeno in modo immediato.
Esse variano a seconda di variabili o mutabili statistiche.
Diagramma Cartesiano
Il diagramma cartesiano si utilizza per i caratteri quantitativi discreti ➞ Variabili Statistiche Discrete
Il diagramma cartesiano viene utilizzato anche per le serie storiche per rappresentare l’evoluzione di un
fenomeno nel tempo e confrontarli con altri fenomeni.
Istogramma O Diagramma Di Aree
L’istogramma o diagramma di aree si utilizza per:
➢ Modalità Raggruppate In Classi O Intervalli Di Valori:
- Caratteri Quantitativi Discreti ➞ Variabili Statistiche Discrete
- Carattere Quantitativi Continui ➞ Variabili Statistiche Continue
Le modalità dei caratteri sono raggruppate in classi o intervalli di valori con:
➢ Ampiezza Uguale: Stesso range per ogni modalità del carattere oggetto d’indagine.
➢ Ampiezza Diversa: Diverso range per ogni modalità del carattere oggetto d’indagine.
Per poter rappresentare graficamente gli intervalli in classi o valore con ampiezza diversa bisogna
calcolare la densità di frequenza per correggere questa imprecisione.
- Densità Di Frequenza (h i
): Rapporto tra le frequenze assolute (n i
) e l’ampiezza delle classi
(d i
𝑖
𝑖
𝑖
- Ampiezza Delle Classi (d i
): Differenza tra estremo superiore (x (i+1)
) ed estremo inferiore (x (i)
della classe.
𝑖
(𝑖+ 1 )
(𝑖)
1. Variabili statistiche discrete le cui modalità sono raggruppate in classi o intervalli di valori con ampiezza
diversa:
2. Variabili statistiche continue le cui modalità sono raggruppate in classi o intervalli di valori con ampiezza
uguale:
3. Variabili statistiche continue le cui modalità sono raggruppate in classi o intervalli di valori con ampiezza
diversa:
Diagramma A Settori Circolari O Diagramma A Torta
Il diagramma a settori circolari o diagramma a torta si utilizza per:
➢ Caratteri Qualitativi Rettilinei ➞ Mutabili Statistiche Rettilinee
➢ Caratteri Qualitativi Sconnessi ➞ Mutabili Statistiche Sconnesse
Per rappresentare i dati all’interno del cerchio bisogna segmentarlo in delle porzioni andando a calcolare
l’angolatura delle quote.
𝑖
𝑖
Piramide Della Popolazione
La piramide della popolazione si utilizza per:
➢ Caratteri Quantitativi
➢ Caratteri Qualitativi
Essa contiene principalmente:
➢ Età, Anno di nascita ➞ Variabili Statistiche Discrete
➢ Sesso, Stato civile ➞ Mutabili Statistiche Sconnesse
Numerosità del collettivo statistico
Diagramma Polare
Il diagramma polare si utilizza per i caratteri qualitativi ciclici ➞ Mutabili Statistiche Cicliche
Esso è composto da 3 elementi:
➢ Polo: Origine da cui partiranno i raggi vettori.
➢ Raggio Vettore: Sono tutte le modalità del carattere oggetto dell’indagine.
[Esempio: - Carattere (X): Giorni della settimana
): 7 giorni = 7 raggi vettori (ρ)]
➢ Angolo O Argomento: È l’angolatura tra un raggio all’altro ➞ Ampiezza Dell’Argomento
0
Diagramma A Colonne Staccate
Il diagramma a colonne staccate si utilizza per:
➢ Caratteri Qualitativi Sconnessi ➞ Mutabili Statistiche Sconnesse
Esso è rappresentato da figure geometriche.
Cartogramma
Il cartogramma viene utilizzato per serie territoriali e viene rappresentato con colorazioni in cui varia
l’intensità in base alla concentrazione del fenomeno.
Cartodiagramma
Il cartodiagramma si utilizza per rappresentare i dati attraverso figure geometriche la cui dimensione varia
in base all’intensità del fenomeno.
Numero di modalità
Rapporti Statistici
I rapporti statistici consentono di confrontare 2 intensità o frequenze (a, b) aventi la stessa unità di misura
e che abbiano un nesso logico fra loro.
Essi possono essere:
➢ Differenze Assolute: Mantengono l’unità di misura del fenomeno osservato.
➢ Differenze Relative: Privi di unità di misura o espressi in percentuale ➞ Numeri Puri
I numeri puri si ottengono:
- Rapporti Statistici: Rapportando intensità o frequenze dello stesso fenomeno.
- Indici Percentuali: Moltiplicando per 100 i rapporti statistici.
I rapporti statistici in differenze relative possono essere confrontati con fenomeni differenti.
𝑎−𝑏
𝑎
𝑎−𝑏
𝑏
d =
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
2
I rapporti statistici ( r ) si ottengono:
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
I rapporti statistici vengono calcolati diversamente se i dati si sviluppano in un arco temporale, attraverso il
saggio di incremento o decremento.
Il saggio di incremento o decremento può essere:
➢ Assoluto: Mantiene l’unità di misura del fenomeno osservato.
➢ Relativo Percentuale: Privo di unità di misura, poiché è espresso in percentuale ➞ Numeri Puri
➢ Medio Annuo Percentuale: Privo di unità di misura, poiché è espresso in percentuale ➞ Numeri
Puri
I rapporti statistici si distinguono in:
➢ Rapporti Di Composizione O Parte Al Tutto: Rapportando le singole intensità o frequenze di un
fenomeno a quella complessiva.
➢ Rapporti Di Derivazione: Rapportando l’intensità o la frequenza di un fenomeno rispetto
all’intensità o alla frequenza di un altro fenomeno che ne rappresenta il presupposto necessario.
Questa tipologia di rapporti statistici viene utilizzata per analizzare i fenomeni demografici.
I rapporti di derivazione si distinguono in 2 tipologie:
- Rapporti Di Derivazione Generica: Rappresenta genericamente il presupposto necessario
(Esempio: Tasso di mortalità = n. dei morti : popolazione generica ⋅ 100 0).
La base varia a seconda del termine di
riferimento preso in considerazione
Tempo intercorso tra i 2 valori
Misure simmetriche
➢ Rapporti Di Durata: Esprimono la durata media di permanenza delle unità elementari all’interno
del collettivo statistico che concorrono nel tempo a costruire il fenomeno.
0
𝑡
Dove :
C
0
= Consistenza iniziale
C
t
= Consistenza finale
E = Entrate
U = Uscite
Numeri Indici
➥ Numeri Indici Semplici:
I numeri indici semplici sono rapporti statistici che si utilizzano per confrontare le intensità o le frequenze di
uno stesso fenomeno in tempi e luoghi diversi rispetto ad un termine di confronto detto base.
La base può essere:
➢ Fissa: Resta sempre costante con riferimento:
- Anno iniziale
- Media di tutti i valori
- Anno significativo
➢ Variabile: Cambia sempre con riferimento al termine che occupa la posizione immediatamente
precedente.
I numeri indici si utilizzano per:
➢ Serie Storiche: Serie di valori che si sviluppano nel tempo e hanno un ordine naturale di successione
(Esempio: Anno, mesi, giorni, ecc.…).
➢ Serie Territoriali: Serie di valori che si sviluppano in luoghi diversi e non hanno un ordine naturale di
successione (Esempio: Capitali, ecc.…).
I numeri indici semplici si ottengono moltiplicando ogni singolo valore per 100 ed esprimono una variazione
percentuale rispetto a 100 di un fenomeno ➞ Indici Percentuali
➢ Diminuzione Percentuale: Inferiore a 100
➢ Aumento Percentuale: Superiore a 100.
I numeri indici semplici sono numeri puri, privi di unità di misura o espressi in percentuale, e di
conseguenza possono essere confrontati con differenti fenomeni.
➥ Numeri Indici Complessi:
I numeri indici complessi sono rapporti statistici che si utilizzano per confrontare le intensità o le frequenze
di un gruppo di elementi (prezzi e merci) del fenomeno in tempi e luoghi diversi.
Essi determinano l’aumento o la diminuzione percentuale rispetto a 100 di un fenomeno.
➢ Diminuzione Percentuale: Inferiore a 100
➢ Aumento Percentuale: Superiore a 100.
I numeri indici complessi sono numeri puri, privi di unità di misura o espressi in percentuale, e di
conseguenza possono essere confrontati con differenti fenomeni.
Per sintetizzare i numeri indici complessi si utilizzano i metodi di totalizzazione:
➢ Media di rapporti
➢ Rapporto tra medie
➢ Rapporto tra aggregati
Medie
Le medie sono dette misure sintetiche, perché sintetizzano l’intera distribuzione di valori in un unico valore
rappresentativo.
Le medie sono espresse nella stessa unità di misura del fenomeno osservato e i valori devono essere in
ordine crescente, ovvero dal più piccolo al più grande valore.
Esse possono distinguersi in:
➢ Medie Analitiche: Utilizzano tutti i valori della distribuzione ordinata dei termini.
- Media Aritmetica
- Media Armonica
- Media Geometrica
- Media Di Potenze O Quadratica
Tra tutte le medie analitiche esiste una relazione:
( 1 )
𝑎
𝑔
𝑞
(𝑁)
➢ Medie Lasche O Di Posizione: Utilizzano alcuni dei valori della distribuzione ordinata dei termini in
base alla posizione occupata.
- Valore Centrale
- Mediana
- Moda
- Quantili O Quartili
Per le medie esistono 2 proprietà:
- Proprietà Di Cauchy: Valore compreso tra il più piccolo e il più grande della distribuzione ordinata
dei termini.
( 1 )
(𝑁)
La proprietà di Cauchy si utilizza per:
➢ Medie Analitiche
➢ Medie Lasche O Di Posizione
- Proprietà Di Chesini: Quel valore che sostituito a tutti i termini della distribuzione ne lascia
invariata una certa funzione (Esempio: Funzione somma, funzione di rapporto, ecc.…).
Si utilizza solo per:
➢ Medie Analitiche.
Medie Analitiche
1) Media Aritmetica:
La media aritmetica:
➢ È quel valore che sostituito a tutti i termini della distribuzione ne lascia invariata la funzione
somma.
➢ Assume un valore compreso tra il più piccolo e il più grande della distribuzione ordinata dei termini.
➢ Stessa unità di misura del fenomeno osservato.
➢ Valori in ordine crescente.
➢ I valori possono essere sia negativi che positivi.
➥ Formule:
➢ Media Aritmetica Semplice: Utilizzata per serie statistiche.
𝑖
𝑁
𝑖= 1
➢ Media Aritmetica Ponderata: Utilizzata per distribuzioni di frequenze.
𝜇 =
∑ 𝑥
𝑖
𝑠
𝑖= 1
⋅ 𝑛
𝑖
𝑁
Dove :
S = Somma di tutte le frequenze assolute del carattere oggetto di studio.
N = Numerosità del collettivo statistico (somma di tutte le frequenze assolute).
➢ Modalità Raggruppate In Classi O Intervalli Di Valori:
- Calcolare il valore centrale della classe: 𝑥
𝑖
′ =
𝑥
(𝑖)
+𝑥
(𝑖+ 1 )
2
Dove:
x (i)
= Estremo Inferiore
x (i+1)
= Estremo Superiore
- Media Aritmetica Semplice In Classi: Utilizzata per serie statistiche.
𝜇 =
∑ 𝑥
𝑖
′
𝑁
𝑖= 1
𝑁
Dove :
N = Numero di modalità del carattere oggetto di studio.
- Media Aritmetica Ponderata In Classi: Utilizzata per distribuzioni di frequenze.
𝜇 =
∑ 𝑥
𝑖
′
𝑠
𝑖= 1
⋅ 𝑛
𝑖
𝑁
Dove :
S = Somma di tutte le frequenze assolute del carattere oggetto di studio.
N = Numerosità del collettivo statistico (somma di tutte le frequenze assolute).
➥ Proprietà Della Media Aritmetica:
- La somma degli scarti della media aritmetica è sempre uguale a 0.
- La somma dei quadrati degli scarti della media aritmetica è sempre uguale ad un minimo.
- Media Associativa: La media aritmetica si può ottenere attraverso la media aritmetica ponderata di
più medie parziali.
- Proprietà Traslativa: Aggiungendo a tutte le modalità (x i
) una costante (K), la media aritmetica sarà
sempre uguale alla precedente aumentata del valore pari alla costante.
- Proprietà Omogenea: Moltiplicando a tutte le modalità (x i
) una costante (K), la media aritmetica
sarà sempre uguale alla precedente moltiplicata del valore pari alla costante.
- Se le modalità (x i
) sono tra loro in progressione aritmetica e la numerosità del collettivo statistico è
dispari, la media aritmetica corrisponderà al valore che occupa la posizione centrale.
Nota Bene:
Progressione Aritmetica: I valori distano tra loro ad una stessa costante.
Tra una modalità e l’altra intercorre lo stesso intervallo.
➥ Proprietà Della Media Geometrica:
- La media geometrica di più rapporti è uguale alla media geometrica dei singoli caratteri analizzati.
- Proprietà Omogenea: Moltiplicando a tutte le modalità (x i
) una costante (K), la media geometrica
sarà sempre uguale alla precedente moltiplicata del valore pari alla costante.
- Se le modalità (x i
) sono tra loro in progressione aritmetica e la numerosità del collettivo statistico è
dispari, la media aritmetica corrisponderà al valore che occupa la posizione centrale.
Nota Bene:
Progressione Aritmetica: I valori distano tra loro ad una stessa costante.
Tra una modalità e l’altra intercorre lo stesso intervallo.
3 ) Media Armonica:
La media armonica:
➢ È quel valore che sostituito a tutti i termini della distribuzione ne lascia invariata la funzione somma
dei reciproci o degli inversi.
➢ Assume un valore compreso tra il più piccolo e il più grande della distribuzione ordinata dei termini.
➢ Stessa unità di misura del fenomeno osservato.
➢ Valori in ordine crescente.
➢ I valori possono essere sia negativi che positivi.
➥ Formule:
➢ Media Armonica Semplice: Utilizzata per serie statistiche.
𝑎
𝑖
𝑁
𝑖= 1
Dove :
N = Numero di modalità del carattere oggetto di studio.
➢ Media Armonica Ponderata: Utilizzata per distribuzioni di frequenze.
𝑎
𝑖
𝑖
𝑠
𝑖= 1
Dove :
S = Somma di tutte le frequenze assolute del carattere oggetto di studio.
N = Numerosità del collettivo statistico (somma di tutte le frequenze assolute).
➢ Modalità Raggruppate In Classi O Intervalli Di Valori:
- Calcolare il valore centrale della classe: 𝑥
𝑖
′ =
𝑥
( 𝑖
)
+𝑥
( 𝑖+ 1
)
2
Dove:
x (i)
= Estremo Inferiore
x (i+1)
= Estremo Superiore
- Media Armonica Semplice In Classi: Utilizzata per serie statistiche.
𝑎
𝑖
𝑁
𝑖= 1
Dove :
- Media Armonica Ponderata In Classi: Utilizzata per distribuzioni di frequenze.
𝑎
𝑖
𝑖
𝑠
𝑖= 1
Dove :
S = Somma di tutte le frequenze assolute del carattere oggetto di studio.
N = Numerosità del collettivo statistico (somma di tutte le frequenze assolute).
4 ) Media Di Potenze:
La media di potenze:
➢ È quel valore che sostituito a tutti i termini della distribuzione ne lascia invariata la funzione somma
di potenze.
➢ Assume un valore compreso tra il più piccolo e il più grande della distribuzione ordinata dei termini.
➢ Stessa unità di misura del fenomeno osservato.
➢ Valori in ordine crescente.
➢ I valori devono essere solo positivi, perché sotto radice.
➥ Formule:
➢ Media Di Potenze Semplice: Utilizzata per serie statistiche.
𝑝
𝑖
𝑡
𝑁
𝑖= 1
𝑡
Dove :
N = Numero di modalità del carattere oggetto di studio.
➢ Media Di Potenze Ponderata: Utilizzata per distribuzioni di frequenze.
𝑝
𝑖
𝑡
𝑆
𝑖= 1
𝑖
𝑡
Dove :
S = Somma di tutte le frequenze assolute del carattere oggetto di studio.
N = Numerosità del collettivo statistico (somma di tutte le frequenze assolute).
➢ Modalità Raggruppate In Classi O Intervalli Di Valori:
- Calcolare il valore centrale della classe: 𝑥
𝑖
′ =
𝑥
( 𝑖
)
+𝑥
( 𝑖+ 1
)
2
Dove:
x (i)
= Estremo Inferiore
x (i+1)
= Estremo Superiore
- Media Di Potenze Semplice In Classi: Utilizzata per serie statistiche.
𝑝
𝑖
′ 𝑡
𝑁
𝑖= 1
𝑡
Dove :
N = Numero di modalità del carattere oggetto di studio.
