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Slide 4 - Inferenze Statistiche VARIABILI ALEATORIE MULTIVARIATE

• Una v.a congiunta può essere doppia, tripla,..., multipla.
• Una v.a doppia viene definita attraverso una coppia (X,Y), in cui sia X che Y sono v.a. FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CONGIUNTA
• Se le due v.a X ed Y sono entrambe continue si può definire una funzione di densità di probabilità congiunta tale che:
• Se X ed Y sono s-indipendenti: la funzione di densità di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle funzioni di densità di probabilità marginali.
• Per una v.a multipla le cui componenti sono s-indipendenti si può definire una funzione di distribuzione congiunta: '

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INTRODUZIONE ALL’INFERENZA

- Popolazione: insieme di oggetti di interesse per un dato studio - Campione: un qualunque sottoinsieme della popolazione. Si esamina un campione quando non conviene esaminare tutta la popolazione.

• Il termine inferenza è sinonimo di illazione: il primo ha connotazione positiva, il secondo negativa.
• L’inferenza statistica è l’insieme delle metodologie che consentono di portare risultati relativi ad un campione al livello della popolazione da cui è stato estratto il campione.
• L’inferenza è pertanto un procedimento induttivo CAMPIONE CASUALE
• Supponiamo di estrarre dalla popolazione un campione di numerosità n e di osservare la caratteristica C in ciascun individuo. Prima di osservare i valori avrò n v.a Dopo l’osservazione avrò n valori
• Il campione viene detto casuale se le v.a sono s-indipendenti ed identicamente distribuite con la stessa distribuzione di probabilità della popolazione. CAMPIONE CASUALE DI UNA POPOLAZIONE GAUSSIANA
• Una popolazione Gaussiana X è completamente determinata se si conoscono i parametri media, e varianza, X. Hai .nl/n^. (^) ( X.eu#n)X,sXzir..iXn .

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LE PROCEDURE INFERENZIALI Esistono 3 procedure inferenziali:

• La stima puntuale: si cerca di determinare valori puntuali dei parlamentari incogniti della popolazione mediante i valori del campione.
• La stima intervallare: si cercano degli intervalli contenenti con una certa fiducia i parametri della popolazione.
• La verifica d’ipotesi: si usa il campione per controllare la validità di ipotesi riguardanti i parametri della popolazione. STATISTICHE CAMPIONARIE
• Statistica: è una funzione delle osservazioni del campione. LA MEDIA CAMPIONARIA F- (^0) Nulla ,.^.^ An)^ per le^ v.^ a^ Xi^.^ È^ una (^) via

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PROPRIETÀ DELLA VARIANZA CAMPIONARIA

• Il valore atteso della varianza campionaria non coincide con la varianza della popolazione. Si dice che è uno stimatore distorto della varianza della popolazione.
• Si definisce pertanto una varianza campionaria corretta:
• Il valore atteso della varianza campionaria corretta coincide con la varianza della popolazione.
• La varianza si può calcolare solo se si fanno assunzioni sulla legge di distribuzione della popolazione.
• Ad esempio nel caso di popolazione Gaussiana, si dimostra che: STIMA INTERVALLARE - La stima intervallare è una procedura inferenziale che conduce ad un intervallo (intervallo di fiducia/confidenza) contenente il parametro incognito della popolazione con un certo livello di fiducia.
• Il livello di fiducia viene solitamente assegnato a priori
• Detto Il generico parametro incognito della popolazione, denotiamo con IC. l’intervallo di confidenza per al livello E (^) ftp.efn È KIHa e fritte

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• Se i parametri incogniti sono più di uno allora si parlerà di regioni di confidenza.
• Per costruire un intervallo di confidenza dobbiamo partire dal campione casuale. L’obbiettivo è arrivare ad una relazione del tipo:
• Per costruire una tale relazione definiamo una quantità pivotale (funzione ancillare): una funzione del campione e del parametro incognito la cui distribuzione di probabilità è nota e non dipende dal parametro incognito.
• La quantità pivotale non è una statistica
• Per ottenere un intervallo di confidenza, la quantità pivotale deve essere invertibile per STIMA INTERVALLARE DELLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE GAUSSIANA CON VARIANZA NOTA
• Consideriamo una popolazione X Gaussiana di cui la media è incognita mentre la varianza è nota.
• Una quantità pivotale utile allo scopo è: che ha una distribuzione di probabilità Gaussiana standard ed inoltre è invertibile per , infatti possiamo scrivere: X. (^) ,^ X".. .Nn. Pr (^) ftp.ih.dnfaaeuhk.... il f-

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• Potendo controllare l’ipotesi nulla sulla base di un’evidenza campionaria, alla conseguente decisione (se accettarla o meno) è associata un inevitabile incertezza:
• Si definisce rischio di I tipo (e si indica con ) la probabilità di commettere un errore di I tipo. Analogamente si definisce rischio di II tipo (e si indica con ) la probabilità di commettere un errore di II tipo.
• viene detto livello di significativa del test: è la probabilità di accettare H. quando è vera.
• viene detto potenza del test: è la probabilità di rigettare H quando è falsa.
• Per la verifica di ipotesi si fa ricorso a statistiche test che sintetizzano le informazioni contenute nel campione.
• Si definisce poi una regione critica di ampiezza come quell’insieme di valori della statistica test che ha probabilità di verificarsi e che mi fa commettere un errore di I tipo. TEST D’IPOTESI SULLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE GAUSSIANA
• Consideriamo Again una popolazione X Gaussiana di cui la media è incognita, mentre la varianza è nota:
• Formuliamo il seguente sistema di ipotesi: × ✓ p 1- a 0 1- (^) p (^) o a × e " Ho :{Ho} Ha (^) :(μ (^) =p, >^ μ. }

• Sono entrambe ipotesi semplici che si contrappongono a vicenda.
• Per controllare l’ipotesi adottiamo la statistica test. Nel caso di popolazione Gaussiana si ha:

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ENTI