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Stima per intervallo
Piuttosto che stimare il valore del parametro (stima puntuale), vogliamo
stimare un intervallo di valori plausibili per il parametro.
Definizione 4.13 (Stimatore per intervallo)
Data una popolazione X ⇠ f (✓), e fissato ↵ 2 [0, 1], uno stimatore per
intervallo di ✓ al livello (1 ↵) `e una coppia di statistiche (A, B ) tale che
Pr{A < ✓ < B} = (1 ↵).
La quantita (1 ↵)e detta livello di confidenza.
Definizione 4.14 (Intervallo di confidenza/fiduciario [IC])
Sia (A, B ) lo stimatore per intervallo al livello (1 ↵) per il parametro ✓,
siano (a, b) le stime di (A, B ) ottenute su un campione. [a, b] `e detto
intervallo di confidenza (o fiduciario) al livello (1 ↵).
La cattiva interpretazione della stima per intervallo e una delle cause piu
comuni di conclusioni empiriche sbagliate.
Lo stimatore per intervallo va interpretato nell’ottica del campionamento
ripetuto
Supponiamo di poter estrarre k campioni indipendenti di dimensione n
Campione 1 ! intervallo calcolato [a 1 , b 1 ]
Campione 2 ! intervallo calcolato [a 2 , b 2 ]
...
Campione k ! intervallo calcolato [ak , bk ]
Per k su cientemente grande, una frazione (1 ↵) degli intervalli
calcolati contiene ✓.
Esempio 4.
In un campione di n = 25 imprese del Nord Italia si rilevano il numero di
dipendenti. Si calcola l’intervallo di confidenza per la media del numero di
dipendenti per diversi valori di (1 ↵). Si ottiene
(1 ↵)% a b (b a)
Analogamente si estrae un campione di n = 25 imprese nel Sud e si ottiene
(1 ↵)% a b (b a)
IC per la media di una popolazione Normale
con varianza nota
Si assume: la popolazione X ⇠ Normale(μ, ^2 ), con ^2 nota, CCS con n
finito.
In base alla Propriet`a (P4.3)^ possiamo scrivere che
Z =
p n
X μ
⇠ Normale(0, 1)
Da cui
(1 ↵) = Pr{ z ↵ 2
< Z < z ↵ 2
= Pr
z ↵ 2
p n
X μ
< z ↵ 2
= Pr
z ↵ 2
p n
X μ
< z ↵ 2
= Pr
X z ↵ 2
p n
< μ < X + z ↵ 2
p n
Spesso la deviazione standard di uno stimatore ✓ˆ `e detta standard error:
standard error di ✓ˆ = se[✓ˆ] =
q
Var[✓ˆ]
Nel caso della media campionaria
se[X ] =
p n
La terminologia deriva dal fatto che, per molti parametri con intervalli
simmetrici, per un dato livello (1 ↵) l’IC ha la forma
stimatore ± costante ⇥ standard error
Ad esempio fissato (1 ↵) = 0. 95 si ottine z ↵ 2
= 1. 96 , l’IC per la media di
una popolazione normale con varianza nota diventa
x ± 1. 96 ⇥
p n
Esempio: esercizio 8.13 (Newbold, Carlson e Thorne)
a) Dai dati del problema otteniamo = 32. 4 , n = 9, x¯ = 187. 9. Inoltre
(1 ↵) = 0. 8 da cui ↵ = 0. 2. Dalle tavole normali otteniamo z 0. 1 = 1. 28.
Quindi ME=z ↵ 2
p^ n
= 13. 824 e l’intervallo per la media risulta
- 9 ± 13. 824 , ovvero [174. 08 , 201 .72].
b) Dato l’intervallo [165. 8 , 210], allora
210 = 187.9 + z ↵ 2
p 9
=) z ↵ 2
Dalle tavole: (2.05)=Pr{Z 2. 05 } = 0. 9798. Quindi Pr{Z 2. 05 } =
1 0. 9798 = 0. 0202. Da cui
↵ 2 = 0.0202 =)^ ↵^ = 0.^0404. Quindi
(1 ↵) = 0. 9596.
Esempio: esercizio 8.27 (Newbold, Carlson e Thorne)
a) Assumo che la popolazione sia normale. Le stime campionarie sono
x ¯ = 15. 9 e s = 5. 3. Dato 1 ↵ = 99% e n = 10, otteniamo (dalle tavole)
t 9 , 0. 005 = 3. 25. Da cui ME= 5. 45 , e x¯ ±ME ci restituisce l’intervallo
[10.45; 21.35].
b) Un livello di confidenza pari al 90% determinerebbe un intervallo meno
ampio. Infatti, rispetto ai calcoli precedenti t 9 , 0. 005 viene sostituito da
t 9 , 0. 05. Ovviamente quest’ultimo rende ME pi`u piccolo rispetto al caso a),
e l’intervallo diventerebbe meno ampio.
IC per la media di popolazioni non necessariamente normali
(grandi campioni)
Si assume: la popolazione X ⇠ f , dove Var[X ] < 1 , CCS con n
su cientemente grande (ma non 1 ).
In base alla Proprieta (P4.19)^ , otteniamo che l’intervallo al livello (1 ↵)e
“approssimativamente” dato da
x ¯ ± z ↵ 2
s p n
In questo caso il margine di errore `e dato da
ME = z ↵ 2
s p n
Si noti che nel pieno regime asintotico (n! 1) l’intervallo non
cambierebbe al variare di ↵.
Esempio: esercizio 8.37 (Newbold, Carlson e Thorne)
a) Assumiamo np(1 p) > 9. ↵ = 0. 02 , n = 400, quindi pˆ = 320/ 400 =
0.8. Inoltre (^) r
ˆp(1 pˆ)
n
Poich´e z 0. 01 = 2. 33 , ME= 0. 05 ed il limite inferiore dell’intervallo `e pˆ ME
= 0. 75.
b) Ora ↵ = 0. 1 e z 0. 05 = 1. 64. La stima della varianza di Pˆ non cambia ed
ME= 0. 03. Da cui pˆ±ME determina l’intervallo [0. 77 , 0 .83]. La lunghezza
dell’intervallo `e di 0. 83 0 .77 = 0. 06.
IC per la varianza di una popolazione normale
Si assume: la popolazione X ⇠ Normale(μ, ^2 ), i parametri sono
entrambi incogniti, CCS con n finito.
Usando la Propriet`a (P4.14)^ si ottiene
Pr
(n 1)S
2
^2
n 1 , ↵ 2
2 <
(n 1)S
2
^2
n 1 , 1 ↵ 2
Si noti che, poich´e la distribuzione di S
2 non `e simmetrica, non otteniamo
stima ± ME
L’intervallo per ^2 risulta
" (n 1)s
2
^2 n 1 , ↵ 2
(n 1)s
2
^2 n 1 , 1 ↵ 2
Determinazione della dimensione campionaria n
(casi particolari)
Per un fissato livello (1 ↵), la lunghezza dell’intervallo di confidenza
per ✓ `e una misura dell’ammontare di informazione su ✓ fornita dal
campione.
L’inferenza su ✓ e tanto piu accurata e precisa quanto pi`u l’intervallo,
per un dato livello di 1 ↵, `e stretto.
Tutti gli stimatori introdotti, hanno una variabilit`a che dipende dalla
variabilit`a della popolazione. (Non per tutti: la varianza di S 2
dipende in generale dalla curtosi della popolazione). In ogni caso tale
variabilita dipende dalla popolazione ede fuori dal nostro controllo.
Tuttavia, la variabilit`a delle stime dipende sempre anche da n. La
grandezza di n `e sotto il nostro controllo.
Un modo per gestire l’errore campionario `e quello di disegnare n in
modo da garantire una certa ampiezza dell’intervallo per un certo
livello target di (1 ↵)
Nel caso di parametri che danno luogo ad intervalli di confidenza
simmetrici, l’ampiezza `e pari a 2 ME. Ragiono in questo modo:
fisso un certo livello di confidenza (1 ↵) voglio che, a tal livello, il mio campione assicuri un margine di errore pari ad ME
poich´e ME dipende da n, posso calcolare n per un dato livello di ME
nel caso di popolazione normale con varianza nota:
ME = z ↵ 2
p n
=) n =
z ↵ 2
ME
(se n non `e intero arrotondo all’intero superiore).
Esempio: esercizio 9.35 (Newbold, Carlson e Thorne)
a) ↵ = 0. 1 , MEmax = 0. 04 , z ↵ 2
= z 0. 05 = 1. 64. Il valore desiderato di n `e
dato da
z ↵ 2 MEmax
= 420.25 =) n = 421
b) ↵ = 0. 05 , e z ↵ 2
= z 0. 025 = 1. 96. Da cui
z ↵ 2 MEmax
= 600.25 =) n = 601.
c) ↵ = 0. 02 , MEmax = 0. 05 e z ↵ 2
= z 0. 01 = 2. 33. Risulta
z ↵ 2 MEmax
= 542.89 =) n = 543.
