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OBIETTIVO: Stimare una CertTa. caratteristica X Su. una dererminàla popolazione che ha un: infintà diunt$ elementari) (es. RepDITO FAMIBUE ITAUANE ) Si estrae un campione casuale e lappresentalivo della popolazione di riferimento DAL PARTICOLARE AL LENERALTE APPROCCIO PARAMETRO (Supponiamo di conoscere la distribuzione della popolazione Considerata la. distribuzione Sulla .V.C.X Sulla popolazione di riferimento Aa=A0 9°=45 AMPIEZZA CAMPIONE y (Straggo un campione ol ampiezzò 2 (ne=n) x brewrd X4= eSito 4° estrazione Ì Lesti perche n= Xg= esito 2° estrazione Pix) xzi| P(x24) T(x2)=E)=40 5 0,3 E (xa)=EX)=40 5_| 03 V(x2)=V(X)=45 M0_| 04 V(xa)=Y(x)=45 10 | qu 45_| 9,3 4151 0,3 Si chiama cAMPIONE CASUALE ca Suali (xa,X2,%n) che sono Indipendenti e KW X2VX di ampiezza n una collezione di TABELLA DELE PROBABILITA CONGIUNTE Xu 510 45 ta 0,3,0,3 03090 93-03 5 |009. 042 0,03] 0,3 0,403 94,04 94:93 40 | 0,42 0,46 ‘0/12 03,93 93,04 93:93 AS | 0,08 os 069 | %3 0,3 9 03 | 4 y STessa probabilità” di estrazione Date m VC (xi,x2..,Xn) 4.£.d con media n e varianza e° \a D é dala da X: Za = XL+X2....+Xn 45 === Ka X24 5. 40 15 5 515. Sri 5465 4» 2 L 10 | 4015 4ot40 40445 2 L z |A ene x| Pi) 5 9,09 45 | 0,24 =0,4Lt0,41L lo | 0,34 =0,09t0,46+0,09 12,5) 0,24= 0,42+0,42 15 0,09 1 E(x)= 5+3,5+40+42,51415=40 5 REAUZZAZIONE n n Na X24 5 10 145 Ss 535 Ao ‘0 1,5 40 12,5 15 10 4195 45 Quando l' estrazione ha unesito (x4X2,.... CAMPIONARIA (eventi incompatibui) YG)= 45 = g® —Vamanzà popolazione L n NAPIODII indicamente distribute (4.4.d) EI) esercizio 4) XA N (4, 8*=u00) n=400 P(lr-ule4)=? Y DEVERMINARE ‘AP. che % sidiscos dalla j oli 4 unita _ ® Ta N(w P(-uz%z4)= P(-+yy <%< pr) = n < ps (ut) p/estda . g Q Cal Mn m TT STANDARDIZZARE / n =P(-4 <2 44 \-P(-2<2<2)=F(2)-F(2) 20= fi00 20. To 1 = Pr s2)- P26 2) - TAVOLE DELLA NORMALE = Tabulazione della funzione di ripartizione F(2) STANDARD | | =P(a02) -[4-P(222)]= 2P(a62)-4= 0,99H3-4: 2 O 1 2 3 4 O 6 n 8 9 = v Is 00 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5159 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 , dl 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.596 0.5636 0.5075 0.5714 0.5753 02° 053 05SS2 OSE7I 06000 05048 05067 Goose 0eos4 colos cam 03 OGIBO 0GN7 0685 0603 06531 06968 0600 0643 Goo 0617 PO) DA OSBMA OSSO 00528. 06664 C6T00 CTS COTTA 06608 Got Giona OB O 06015 06SO 0605 0709 07064 07088 OmI2I Crisi cms vai 08 | 0797 0702 073% 07366 07380 07422 CTS OTIBO 0707 vino OT © O7IAD O7GI2 O7642 01678 OTTO Ora4 Grtod orto: Gres vita OB OS O7IO 07939 0967 07906 08023 CAOSI GsoT8 Gaios cass co osso 08188 , cssIS osso 08365 0.530 10. DMIS OSMT DMS O84M5 O8SOA OSSSI O8S64 0867 Deo Vee < Ì1 0864 0865 08688 08708 08720 CST4D CSTTO G8t90 0860 Gao L 12 OSMD 08 OABBS 08006 08025 (080 08062 04080 0807 09019 Ì3° OSOS OOO O9OGE 9082 09000 0ONS 09181 0917 Coud Dato 14 (OSISE OSBIT 09222 002s8 O92S1 09208 Cato Cass Cass Dana 1309552 09% O9SST 09570 09882 09IO4 Cso Cous cato ‘rami 16 ODIA DOMGE DONA 00 DIIOS 0905 C0IS 006S Cos Css LT OISHA OSO SOOGTS 09582 D9SDI 00500 ‘05608 Cosio Goo” Does 1A SON DAGMD D9GSO OSGBA OOGTÌ DOGT8 ‘00686 09008” Dose Doo 19 OUMI GOMO 0.978 09732 G9TSB DOTI COTSO Lotso Ganea Cono 20 {TTD 09TD D9TBI DITSB. DITO OSTIB 09809 0S88 0S62 09617 21 TOI 09620 0960 098% 09638 0962 0SSIG Cosso Losi Da6sr BI. 09SGI 0966 DOSGE DOSFI DOSTA DOST8 CSI ‘0884 ossi oso 23° 0.9895 09896 09898 0.9@01 0.990 09906 09909 09911 09013 09916 BA OSOIS 099D 09922 09025 09087 00929 05690 00032. cossi tam 15 09938 0SDO 09MI 0903 C905 0906 Ossa Costo Comi cao 2609953 095 09966 09OG7 09058 00000 Cosi Gooso Ganci. Dassi 27 09065 OOOGE OSOGT DSOGE OSIO DOOTD DON Costa cons Cama 28 CSOTA ‘OSTE DOSTG COOTT OIOTT CSSTS CSoT9 Costo Cico cme 29° OSOSI 09OSP 09GSE DIGI D9OB4 0084 0SOS Cooss nono nosso SO 0966 COST 09OST GOMS8 09988 09060 0S560 Costo Cosoo cao 109900 OSOGI OOMOI 0901 09002 00962 05002 Cosa Cams nos 32 0903 09003 090OI 0904 09004 0004 0964 Dios Dams Dams 309005 00905 09006 09006 09096 00006 Csos0 Cosoo nooo naso 3A 097 ‘0SOO7 COSOT 0007 -C007 CO0O7 0907 Damm Dome Goose 2) eseruzo T.L.C T= probabilità di volare. per un certo partito. politico YW)=6*= 10 nc= n= 4000 MEDIA__CAMPIONARIA »I QuaL é LA (PROBABILITY CHE LA PROPORZIONE CAMPIONARIA. DI LODAO Che PER Quel PARTITO | POLIICO | SI DISCOSTI DA ITAL MAK. DI LV unu? m=p(5)=p(4) E(xc)= E(4)=T 27° <, xi Bc dd e xx Be(m) y V possibilità . V(xx)= V(X) = (4-0) non ha votato per quei. partito «ha vofaTo per quei partito BERNOULLIANA —. esito 400 P(Ip-mls2)=? 4 nesn=1000730 TIL.C P(-2s[p-n)e2) = P(-2+T<1<2%M) L 224t0-m 7 -\_ L L _ =pliga= $ pts qeni\sp v_ c%< =p(2062620)=1 Ardea STANDARD:IZ2A iooo vedi Tavola essendo 20 — dopo 3,49 ‘ TA la probabilità € 4 APPROCCIO PARAMETRICO PARAMETRO CHE CARATTERIZZA LA. DISTRIBUZIONE Veli (da stimare) Xx ITER 6) sidice statistica | una Qualunque funzione del compione casuale (x4,x7,...,%n) La statistica € una sintesi dei campione. casuale es. Xe È4% © Meola caupionaRA = StANISTICA n Quando la Statistica Viene USata per stimare 8 vene detca StiMATORE Stimatore. del fracherch non noto 6 e una qualunque fonzione del campione mà non di È. del tipo. Tn=g(*4,42,...,Xn) (numero) La Stima € Un valore numerico che assume lo STimaTore in corrispondenza del campione. osservato AS O stua=g (xa,t2,,-...,4n) REALIZZAZIONE CAMPIONARIA X= STIMA tore il Suo valore in corrispondenza | della reauzzazione campionaria. € la STima n _ L xi xa 4 n°v n x> xt (5,5). X=5t5=5 suua L pii 1) stWa PuntwaLe.. (attribusco a È undererminato valore) , L) STIMA. INTERYAUARE (con una certa probabilità attribusco (a 8 un intervallo di valori) | METODO DEI MOUTNITI METODO | DELLA MASSIMA! YEROSOMIGLIANZA 1. correttezza Tn é uno Stimarore corretto di 0 sel E(Mm)=0 YO Cs. O=W% Tix X € un corre tto. STIMATOrRE per Jo Ù SI: ? ER)= > E(x)-= E (reti | = A E (xa+224....txn)= ra (E(xa)rE2)+..+E(xn)) =} AP = es.2 momento diordine S Vel n 0 = ws Th=4 2 Xi} momento campionario di ordi ne $ n c Ties È xi € Un corretto stimatore per j ? Si: ASL — (Imb EC Zi] 4 e[228]-42 c00) -42 ‘ " 4 HS 5.3 0.= 6% — varianza Poponzione x 7 n LS S t,_a a . Tn= 0%= ? (mia) Loi Town / ieri ssi cor VARIANZA n n n CAMPIONARIA U (# NARIANZA DELA MEDIA CAUPIONA RIA) x° se CAMPIONE PICCO 6% NON es. O=9°% varianza camponaria (é woSTIHATORE CORRETTO AK DI PER VARIANZA POPOLAZIONE) 42 i) _J Tn=@?-12 (-X hodss E(8°) 8% (n-4) n A » Bse(8) 6% 0%n-4) - 0% = _@* se na10, B-0 y h n , DISTORSIONE quindi @* € uno stimatore asintoficamente corretto per 8° V CAMPIONE Picco EbRANDE 3. CONSISTENZA 0 (ONVERBENZA IN PROBABILITA Uno stimetore Tn dé consistente m probabintà se per ogm a positivo arbitrariamente piccolo Si ha: Im P([Tn-0)
+1% Am p(iTn-01<4) > dom 4- E[(1n-0)°] h>f00 a " O. perche se n->+0 E[(tn-6)J-0 \R)= 2° P(1R-p|ca) pa- EL} Co ll R Mepvi pesti Scars Tra (Fw) ‘ Sem P(Ix-wl 4) > om A -2° , ( h> 400 N3 +00 SI nto Ti de 10 n d Lim P(|F-w|ca) = £ N43+% Quando lo stimafore. é . X,é consisTenfe in probabinta per L) x w Be(1) 0=n PROPORZIONE A CAMPIONARIA Tn=P=X E(X)= E (0)=r V(X)= VP) = ri(4-7) i 7 VAp)=V(x) P(Ip-m] +00 N>+0 D) Ù at | mm o " n 0 P_é uno stimarort. consistente per 7 e[(m-0)°] - A Affinché uno sTImatore Tn sia consistente in probabilità use 0. quando n-tro0 Si bàSsa Sul principio di corrisponolenza 0 analogià : per sTimare 1) parametro olglla popolazione vso Il corrispondente momento campionario ur > 2° ui) MOWENTO CAMPIONARIO 9% 402 MR 8° Six ps=g(0) 4. Ls = 2. 8-95) esempo 4) f@)eL 06 k<0 xx U(0,0) 4 FUNZIONE DI DENSITÀ P(X)= 4A_ | akxeb_ |xWU(ajb) bra 8=27% EX) = Sx. £ £(4)dx= B ch (o) her È L kh 0 stmatore correrto per 07 si: e(6)=0 E(27)=26R)=2% ta =0 L) Xw Ba pea- (3) n°" fi) x “ 0,....,N Sia x4,x2,...,Xn Campione estratto. £(x,0) e sia x4,x2,---,%n la reauzzazione del camprone casuale che osserviamo allorà L(x,9) e la funzione di verosomigianzà di È: (UKELROOdD) L(4,0)= Ttp(x,0) L(x,0) = î p(x4;0) Siano 04 e 0, se L(x,4) > L(x, 02) allora 04 € pu piavsibile rispetto à (CI + verosimile Ossia la realizzazione campionaria. ha una più alta probabilità di provenrt dalla P P P curva carattenzzata da 04 pivrrosto che di St vuole attrbpire la Fealizzazione | campionaria alla curva cne ha la più alta Probabilità di generarià Esempio Xn Be (n) p(27)3 T° (4-9) occ A T= Successo 4-î= INSUCCE SSO xX=0,4 (0,4,0,0,14). Reanzzazione campionaria Quesra particolare realizzazione | campionaria proviene da Una CUrva caratterizzata da (1T1=905 0. 1T=0,03) _,ottMizzaRE FUNZIONE DI_vEROSOMI GLIANZA L(4,0)= It 9(4,0)=p(4,0). p1,0) .... -p(4n,0) L(x,M)= p(x=0) - p(x=4) :P(x=0).p(x=0): p(x=4) = (4-7 (4-9) (4-7) ra -m)È dAm(L(x,m) Ro): felpe dit (A)= A o , - R 3a) 110) +34 24 37 pot Se 2 - _3_ 50 Tim 4 n T= 2 |-fstuato = X%= 2 xx =so+arotora =È 5 434 TTT 5 al 5 x Be (1) J LX Za pi (4-2) L(î,x) = T, r(1-m) i n am is im i) In (1,0) ma 1A ] n Zm pi a lA- 79) In T + Im (4- ml = Zu Inf) 2 (4- Xu) Ym(4- =) dIn(L(1,%)) = 3 vi La i (a-xa) A SIIT IL Mm 4 (4-M) dr n 4352 (a) Tm FIN) pi) 1-m h L L Dx 1 L 2 (4-xi) Mast p-m £°£ n n 4-3 z 4> N- DI XA T D5 AFD n NS cAMP) | [>I FA) Stima per | imtenvolti (o inTetvallo He) Sta x4,X2,xn Un Campione casuale estratto da Unà popolazione della quale interessa stimare . Il pàrametto Q Siano. La=@(x4,...- jxn) La=glxa, k2,...,kn) due Statistiche campionarie. con L1 Xria-a L (Fas LL) =2%4-4.9 Yn » Mn LT per ju Si wSTrvsce a MN (q=o, 04) 
