5 Lezione Statistica Inferenziale
In inferenza la Popolazione statistica è una variabile casuale continua che è caratterizzata da una
distribuzione di probabilità
f(X , θ )
invece considerando n variabili casuali continue
X1, … , X n
indipendenti e identicamente distribuite con distribuzione congiunta
f
(
X1… Xn
)
=f
(
X1
)
∗…∗f(Xn)
definiamo
X1, … , X n
campione casuale (con reintroduzione) di ampiezza n estratto da una
popolazione X.
Le caratteristiche di campioni che vengono estratti da una popolazione sono sintetizzati attraverso
una funzione detta statistica cioè una funzione del campione
X1, … , X n
che non dipende da
nessun parametro incognito.
Se da una popolazione X estraiamo tutti i possibili campioni di ampiezza n e per ogni campione
calcoliamo la statistica di interesse, otteniamo un insieme di valori dove ogni valore è candidato ad
essere una stima del parametro incognito della popolazione; ovviamente la statistica siccome varia
da campione a campione avremo la DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA STATISTICA.
Cominciamo ora a studiare una prima statistica Campionaria che prende in considerazione la
Media Campionaria. Considerando una popolazione X con una certa distribuzione di probabilità
F(X , θ )
con media
μ
finita e varianza
σ2
finita e siano
X1, … , X n
n osservazioni campionarie
indipendenti e identicamente distribuite, estratte da una popolazione X, definiamo Media
Campionaria la somma delle n variabili casuali fratto N
X=∑
i=1
nXi
n
Andiamo a vedere ora qual è la media della statistica Media Campionaria:
E
(
X
)
=E
(
∑
i=1
nXi
n
)
=1
n∑
i=1
n
E(Xi)=1
n∑
i=1
n
μ=1
nnμ=μ
Dalla formula sopra scritta possiamo vedere che=
E
(
X
)
=μ
cioè il valore atteso della Media Campionaria è uguale proprio alla media della
popolazione dalla quale il campione è estratto, invece la Varianza è uguale a:
VAR
(
X
)
=σ2
n→2
√
VAR(X)= σ
2
√
n
DISTRIBUZIONE DELLA MEDIA
Adesso vediamo il primo teorema sulla Distribuzione Media Campionaria. Tale teorema dice che
considerato
X1, … , X n
un campione casuale estratto da una popolazione X, che si distribuisce come
una Normale, con media
μ
e varianza
σ2
, abbiamo che la Media Campionaria si distribuisce
anche’essa come una Normale quindi con valore atteso uguale a
μ
e varianza uguale a
σ2
n
. Adesso
andiamo a vedere come il valore atteso si distribuisce come una Norma se la popolazione di cui
viene estratto un campione
