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Statistica - Paniere Completo di Risposte CORRETTO
Come é distribuita una variabile aleatoria (VA) X~Unif [0,1] dopo che é stata trasformata secondo la funzione g(x)= -|x|? Unif[-1,0] Date K frequenze relative f1,…,fk ed N prove, quale delle seguenti definizioni di regolarità statistica è vera? Dato un evento EcS(dove S è lo spazio campione) ed il suo complementare E^c, quale delle seguenti affermazioni è vera? (E^c)^c=E Dato un evento EcS con S spazio campione, quale delle seguenti affermazioni sulla frequenza relativa è vera? 0<fn(E)< Dati due eventi A e B, quali delle seguenti relazioni è sempre vera? AcB p(A)<-p(B) Dati due insiemi A BcS dove S è lo spazio campione e B /c A, quale delle seguenti coppie di eventi è mutuamente esclusiva? (S,ф) S e insieme vuoto Dati tre insiemi A,B e C, quale delle seguenti è la definizione di proprietà distributiva dell’operazione di unione? (AUB)C=(AC)U(BC) Detta fc la frequenza di campionamento per un segnale X(t) con trasformata di Fourier X(f) quale dei seguenti è lo spettro di un segnale campionato con un impulso p(t) con trasformata di Fourier P(f)? Detto R (z^m) il residuo della funzione z*m quanto vale tale funzione in z = 0? R(z^m) = 1 per m = -1 e R (z^m) = 0 per m <- 1 Dovete aprire una porta e ci sono 5 chiavi, di cui solo una é quella effettivamente funzionante. Scegliete a caso una chiave e la provate : se apre la porta, entrate; altrimenti mettete da parte tale chiave e ne provate un’altra. Si continua a provare chiavi, consecutivamente, finché non si trova quella giusta e si entra. Quanto vale la probabilità che servano 2 tentativi? 2/10 (4/5x1/4=4/20=2/10) Dovete aprire una porta e ci sono 5 chiavi, di cui solo una é quella effettivamente funzionante. Scegliete a caso una chiave e la provate : se apre la porta, entrate; altrimenti mettete da parte tale chiave e ne provate un’altra. Si continua a provare chiavi, consecutivamente, finché non si trova quella giusta e si entra. Quanto vale la probabilità che servano 3 tentativi? 2/10 (4/5x3/4x1/3=4/20=2/10) Dovete aprire una porta e ci sono 9 chiavi, di cui solo una é quella effettivamente funzionante. Scegliete a caso una chiave e la provate : se apre la porta, entrate; altrimenti mettete da parte tale
chiave e ne provate un’altra. Si continua a provare chiavi, consecutivamente, finché non si trova quella giusta e si entra. Qual è il numero medio di tentativi che dovete fare? 5 Dovete aprire una porta la cui unica chiave è in un gruppo di 60 chiavi suddivise in tre mazzi da 20 chiavi ciascuno, apparentemente identici, Scegliete un mazzo a caso e iniziate a provare le chiavi in successione casuale escludendo via via quelle gia provate. Se le prime sei chiavi non aprono la porta, quanto vale la probabilità che la chiave non sia nel mazzo scelto? 40/54=20/ Durante una gita in barca un turista afferma di vedere un delfino. In quelle acque, si possono trovare delfini (il 90% delle volte) e squali (il 10% delle volte). A causa del riflesso della luce solare, un turisa può identificare correttamente il tipo di pesce con una probabilità del 70%. Quanto vale la probabilità che il pesce avvistato dal turista sia veramente un delfino? 63/ Il numero di un auto in coda ad un certo istante ad un semaforo è una variabile aleatoria di Poisson di parametro lambda=1. Quanto vale la probabilità che ci siano al più due auto in coda? 5/2 e^ - La vita di un tipo di lampadine può essere modellizzata con una variabile aleatoria esponenziale di parametro lambda. Quanto vale la probabilità che due lampadine,accese contemporaneamente, siano ancora accese dopo un tempo t0? e^-2lambdat Per quale motivo vale la seguente relazione? : In quanto la funzione…Delta di Dirac è definita limite di funzioni densità di probabilità con area unitaria Quale dei seguenti è un problema che si può incontrare nella realizzazione di un campionamento tramite tecnica "sample and hold"? La risposta in frequenza del filtro di equalizzazione presenta delle discontinuità. Quale dei seguenti esprimenti aleatori ha uno spazio campione infinito numerabile? Scelta a caso di un intero positivo Quale dei seguenti esperimenti composti non è composto da prove? Estrazione di 2 palline da un sacchetto senza reinserimento delle stesse. Quale dei seguenti segnali non è reale? x[n]=e^j2pigrecof0n Quale dei seguenti segnali é un impulso in n=3? u[n-3]-u[n-4] Quale dei seguenti segnali può essere utilizzato per descrivere una sequenza di impulsi da n=2 a n=5? u[n-2]-u[n-(5+1)] Quale delle seguenti affermazioni è falsa? Se Cxy=0, allora X e Y sono indipendenti Quale delle seguenti affermazioni è vera? Due variabili aleatorie Gaussiane indipendenti sono anche congiuntamente Gaussiane Quale delle seguenti affermazioni sugli spazi campione uniformi è vera? Gli eventi elementari sono equiprobabili
aleatoria continua? Fx(x)=1/2 e^-|x| Quale delle seguenti è una funzione densità di probabilità (PDF) corretta di una variabile aleatoria continua? Si ricordi che U(x) è la funzione gradino unitario: fx(x)=e^xU(-x)
- Quale delle seguenti è una funzione di distribuzione cumulativa (CDF) di una variabile aleatoria continua? Si ricordi che U(x) è la funzione gradino: Fx(x)=e^-xU(x) Quale delle seguenti equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti non è ricorsiva? y[n]=x[n]-x[n-1] Quale delle seguenti equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti è ricorsiva? y[n]-y[n-1]=x[n]-x[n-1] Quale delle seguenti funzione di densità di probabilità (pdf) congiunta non è associata ad una coppia di variabili aleatorie indipendenti? Fxy(x,y) = 2 per 0<x<y<
- Quale delle seguenti funzioni non è una corretta funzione di densità di probabilità? SONO TUTTE CORRETTE
- Quale delle seguenti non è un’affermazione valida sulla funzione delta di Dirac? La primitiva della funzione gradino è la funzione delta Quale delle seguenti quantità é nota come correlazione tra le variabili aleatorie X e Y? E[XY] Quale delle seguenti relazioni rappresenta un accumulatore? y[n] - y[n - 1] = x[n] Quale delle seguenti relazioni rappresenta un sistema a media mobile? y[n]=1/n sommatoria che va da n a k=-infinito di x[k]
- Quale delle seguenti relazioni tra funzioni di trasferimento H (z) e risposta in frequenza H (e^j2pigrecof) di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) è vera? LA RISPOSTA IN FREQUENZA SI OTTIENE A PARTIRE DALLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO CALCOLANDO QUEST'ULTIMA IN Z = e^j2pigrecof Quale delle seguenti variabili aleatorie (VA) è possibile ottenere a partire dalle seguenti VA X1ondaexp(1) e X2ondaexp(1)? Xondaexp(1) Quale delle seguenti variabili aleatorie non è discreta? Tutte le altre sono variabili aleatorie discrete. Quale è il codominio della seguente funzione di trasformazione di una variabile aleatoria g(x)= -| x|? Y<_ Quale è il codominio della seguente funzione di trasformazione di una variabile aleatoria? G(x)={ 1 x<2 1-(x-2)^2 x>2 : y< Qual é il periodo del segnale x [n]=cos(pigrecon/N)? 2N
- Qual é il periodo del segnale esponenziale complesso e^j2pigrecof0t/3? 3/f Quale equazione alle differenze lineari a coefficienti costanti rappresenta il sistema descritto dalla seguente relazione y[n]=2 sommatoria che va da n-1 a k=-infinito di x[k] : y[n]-y[n-1]=2x[n-1]
- Quale equazione alle differenze lineari a coefficienti costanti rappresenta il sistema descritti dalla seguente relazione ingresso-uscita? y[n]= sommatoria che va da n+N1 a k=n di x[k] : y[n]-y[n- 1]=x[n+N1]- x[n-1] Quale equazione alle differenze lineari a coefficienti costanti rappresenta il sistema descritto dalla seguente relazione ingresso-uscita? Y[n]= 2 sommatoria di k=-inf a n-1 di x[k] : y[n] – y[n-1]= 2x[n-1]
- Quanti poli ha la trasformata zeta della sequenza x[n] = u[n] - u[n-3], essendo u [n] il gradino unitario? 2 Quante Delta di Dirac può indurre la seguente trasformazione di una variabile aleatoria (VA)? g(x)= { 1 x<_2. 1-(x-2)^2 x>2. Sicuramente esattamente 1 Quanto vale E [X^2 -X] nel caso in cui X~N(1,2)? 3 Quanto vale il seguente integrale? Quanto vale il valor medio di una variabile aleatoria con funzione densità di probabilità PDF pari? Dipende dalla variabile aleatoria Quanto vale l’energia del seguente segnale? x[n]={ n 0<_n<_4 0 altrimenti : 30 (1+4+9+16=30) sommatoria x(n)^ Quanto vale la probabilità di avere una coppia servita alla prima mano in una partita a poker? Circa 0. Quanto vale la regione di convergenza della trasformata zeta della sequenza x[n] = Sigma [n-3]? Si ricorda che il simbolo C rappresenta l'insieme dei numeri complessi. C/{0} Quanto vale la trasformata zeta della sequenza x[n]= δ[n-3]? X(z)=z^- Quanto vale la trasformata di Fourier del segnale impulsivo delta(t)? 1 per definizione la trasformata di Fourier della delta di Dirac è 1 Quanto vale la trasformata di fourier del segnale e^-atU(t), essendo a un’opportuna costante e U(t) il gradino unitario? 1/a+j2pigrecof Quanto vale la trasformata di fourier del segnale x(t)=sgn(t), dove sgn(•) rappresenta la funzione segno? X(f)=1/jpigrecof
Si consideri il segnale x (t) = cos (2pigrecot) e lo si campioni agli istanti t=n/10. Quale delle seguenti è la trasformata di Fourier (DFT) della sequenza x(n)? X[k] = 5(Sigma [k - 1] + Sigma [k - 9]. Si consideri il segnale x(t)=rect(t) che è non nullo è pari a 1 nell’ intervallo [-1/2,1/2]. La trasformata di fourier di tale sistema è pari a X(f)= sinc(f)= { 1 se f=0 sin(pigrecof)/pigrecof altrimenti. Quanto vale la trasformata del segnale y(t)=sinc(t/T)? Y(f)=Trect(fT) Si consideri il segnale x(t) ottenuto come ripetizione periodica, di periodo 2pigreco, del seguente segnale f(t)= { 2 -pigreco<x<0. 1 0<x<pigreco quanto vale il coefficiente c0 del,a serie di Fourier?
Si consideri il seguente segnale tempo-discreto: x[n]= { cos(2pigrecon/N) se -N/2<_n<_N/2. 0 altrove -quale delle seguenti affermazioni é falsa? x[N/2]= -quale delle seguenti identità é verificata x[N/2]=x[N/2-N] -Si consideri l’estrazione casuale di una carta da un mazzo da poker ( contenent 13 carte per ognuno dei 4 differenti semi). Quanto vale la probabilità di estrarre una carta di seme cuori con valore strettamente inferiore a 5? 4/52= 1/ -Si consideri l’estrazione di una carta da un mazzo di poker (13 valori per ognuno dei semi). Quanto vale la probabilità di estrarre il re di cuori, sapendo che il seme estratto è proprio cuori? 1/ -Si consideri l’estrazione di due palline da un sacchetto contenente 5 palline rosse e 3 bianche. Si definisca la variabile aleatoria X= {numero di palline bianche estratte}. Quanto vale P(X<2)? 15/ Si consideri l’esperimento del lancio di una moneta. Si assuma di effettuare 10 lanci in cui si osserva che il risultato “testa” esce 4 volte, mentre quello “croce” 6 volte. Quale delle seguenti affermazioni è vera? La frequenza relativa del risultato “ testa” è 4/ -Si consideril’esperimento del lancio di una moneta non truccata. Si effettuano 5 lanci. Quanto vale la probabilità di ottenere almeno 1 testa nei 5 lanci? 31/ -Si consideri l’esperimento del lancio di una moneta truccata, con probabilità di ottenere testa pari a p. Si effettuano n=3 lanci e si considera la variabile aleatoria S3= {numero di teste su 3 lanci}. Quanto vale P(S3=1)? 3p(1-p)^ Si consideri l’esperimento del lancio del dado e si osservi il relativo istogramma dei risultati dopo N= 10 prove. Sia ni il conteggio del risultato ri,ri=1,…,6. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Se n1=n4=n5=n6=2, allora n2=n3=1 è possibile. -Si consideri l’esperimento del lancio di un dado non truccato. Si consideri l’evento E={ uscita di un numero almeno pari a 5}. Quale delle seguenti affermazioni è vera? P(E^c)=2/ -Si Consideri l’esperimento del lancio di un dado non truccato. Si consideri l’evento E= {uscita di un numero pari}. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? P(E)=1/ -Si consideri la funzione f(t)=Ae^-t U(t), essendo U(t) la funzione gradino unitario. Per quale valore di A tale funzione è una funzione densità di probabilità corretta? 1 -Si consideri la misura della tensione ai capi di un resistore. A causa del rumore termico nel resistore, la tensione misurata V è una variabile aleatoria con media pari al valore nominale V=5volt e deviazione standard sigmav=0.1 volt. Quanto vale la probabilità che la misura si discosti dal valore nominale V di almeno 0.2 volt? 0. -Si consideri la misura rumorosa di una resistenza di valore ( vero) R ohm. La misura effettuata é del tipo Ri=R+e Ohm, dove e ~N(0,sigma^2) è L errore di misura. Si assuma sigma^2=1Ohm. Si collezionano N misure e si stima il valore effettivo della resistenza utilizzando la media campione
delle misure R=1/N sommatoria che va da N a i=1 di ari. Quante misure occorre prendere per ottenere una varianza della stima inferiore a 10^-2 ohm? 100 Si consideri la seguente funzione di trasferimento di un sistema lineare tempo invariante LTI Con alfa e beta opportune costanti. Quali delle seguenti coppie di valori di alfa e beta permette di ottenere un sistema LTI stabile?
- Si consideri la sequenza x[n]=alfa^nu[-n-1] che ammette trasformata zeta X(z)= - 1/ 1-alfaz^-1. Quale è la regione di convergenza di X(z)? Si ricorda che il simbolo C rappresenta L insieme dei numeri complessi. |z|<alfa -Si consideri la sequenza x[n]=u[-n-1] che ammette trasformata zeta X(z)= - 1/1-z^-1 qual è la regione di convergenza di X(z)? Si ricorda che C rappresenta L insieme dei numeri complessi. |z|< -Si consideri la sequenza x[n]= δ[n]+δ[n-2] con trasformata di fourier DTFT X( ø) essendo ø=fT la frequenza normalizzata. Per quale valore di o si ottiene |Xø|=0? 1/ -Si consideri la variabile aleatoria (VA) Z=Y^x in cui Y é una VA generica mentre X é una VA binaria che assume il valore 1 con probabilità P e il valore 2 con probabilità 1-p. Quale delle seguenti affermazioni é vera? Il valor medio di Z corrisponde al valore quadratico medio di Y se P= -Si consideri un campionamento alla frequenza fc. Quale dei seguenti segnali genera aliasing se campionato a tale frequenza? x (t) = sinc (2tfc) -Si consideri un campionamento alla frequenza fc. Quale dei seguenti segnali può essere campionato senza perdita a tale frequenza? x (t) = sinc(tfc) -Si consideri un canale di banda Bc assumendo di voler trasmettere sequenze di banda Bx > Bc, quante sequenze ortogonali di frequenza è possbile trasmettere nella stessa banda? 1 CON DISTORSIONE -Si consideri un cerchio di raggio R in cui è inscritto un cerchio di raggio più piccolo r. Quanto vale r se la possibilità che un punto scelto a caso cada nel cerchio più piccolo vale 0.25? R/ -Si consideri un dispositivo il cui tempo di guasto è una variabile aleatoria X con distribuzione esponenziale con valor medio 5 anni. Quanto vale la probabilità che un dispositivo si rompa entro un anno? 1-e^-1/ -Si consideri un esperimento aleatorio di lancio di un dado ed una moneta. Quanti eventi elementari compongono il suo spazio campione? 12 (6x2) -Si consideri un esperimento aleatorio di lancio di un dado e monete. Quanti eventi elementari sono favorevoli all’evento E= numero di teste uguali al valore sul dado? 3 -Si consideri un generico segnale tempo-discreto x[n] tale per cui x[0]=2. Si applichi una finestra w[n] che limita tale segnale all’intervallo n che appartiene [-N,N]. Detto y[n]=x[n]w[n], quale delle seguenti finestre permette di ottenere y[0]=2?
Quale delle seguenti affermazioni è vera? IL SISTEMA E’ STABILE SECONDO IL CRITERIO BIBO per |a|<1 e |b|> -Si consideri un sistema lineare tempo-invariante (LTI) con la seguente risposta all'impulso : h [n] = a ^n u[n] con |a| < 1 e u[n] sequenza gradino unitario. Quale delle seguenti risposte all'impulso rappresenta il relativo sistema inverso? -Si consideri un sistema lineare tempo-invariante (LTI) con la seguente funzione di trasferimento Quale delle seguenti affermazioni è vera? IL SISTEMA LTI NON E’ A FASE MINIMA -Si consideri un sistema lineare tempo-invariante (LTI) con la seguente funzione di trasferimento Si assuma di porre in cascata a tale sistema un altro sistema LTI con funzione di trasferimento H2(z). Quale dei seguenti filtri rende stabile il sistema H(z)? -Si consideri un quantizzatore uniforme a q bit al quale viene applicato un segnale a potenza unitaria con dinamica limitato all'intervallo [-1,1]. Qual è il minimo numero di bit sono per ottenere un rapporto segnale-rumore (SNR) di quantizzazione pari almeno a 20 dB? 3 -Si consideri un quantizzatore uniforme a a q bit al quale viene applicato un segnale a potenza unitaria con dinamica limitato all'intervallo [-2,2] Qual è il minimo numero di bit sono per ottenere un rapporto segnale-rumore (SNR) di quantizzazione pari almeno a 20 dB? 4 -Si consideri un quantizzatore uniforme a q bit al quale viene applicato un segnale a potenza unitaria con dinamica limitato all'intervallo [-1,1] Qual è il minimo numero di bit sono per ottenere un rapporto segnale-rumore (SNR) di quantizzazione pari almeno a 15 dB? 2 -Si consideri un sacchetto che contiene 5 monete truccate, di cui 3 con probabilità di avere testa pari a 1/3 e 2 con probabilità 2/3. Si sceglie a caso una moneta e la si lancia 3 volte. Determinare il valor medio della variabile aleatoria “ numero di teste in 3 lanci”. 14/ -Si consideri un sacchetto con 6 caramelle, di cui 2 alla frutta e 4 al cioccolato. Si estraggono 3 caramelle senza reinserirle ogni volta nel sacchetto. Quanto vale la probabilità di estrarre, nell’ordine 1 caramella al cioccolato, 1 caramella alla frutta e 1 al cioccolato? 2/ -Si consideri un sistema a tempo discreto caratterizzato dalla seguente relazione ingresso/uscita: y[n]=x[n] sgn (x[n]) dove sgn (x[n]) é la funzione segno. Quale delle seguenti affermazioni é vera? Il sistema é sia lineare che tempo-invariante. -Si consideri un sistema a tempo discreto caratterizzato dalla seguente relazione ingresso/uscita: y[n] = x[n]+x[-n]\2 quale delle seguenti affermazioni é vera? Il sistema é lineare , ma non tempo-invariante -Si consideriun sistema a tempo discreto caratterizzato dalla seguente relazione ingresso/uscita: y[n]=x[n]w[n]. dove w[n] è una funzione finestra che limita il segnale x[n] tra i due sistemi n1 e n2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Il sistema è lineare ma non tempo-invariante -Si consideri un sistema a tempo discreto caratterizzato dalla seguente relazione ingresso/uscita: y[n]= x [n] w[n]. Dove w [n] è una funzione finestra che limita il segnale x [n] tra i due istanti n1 e n2. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
Il sistema è lineare ma non tempo-invariante -Si consideri un sistema a tempo discreto caratterizzato dalla seguente relazione ingresso/uscita: y[n]= e^x[n]. Quale delle seguenti affermazioni é vera? Il sistema non é lineare, ma tempo-invariante -Si consideri un sistema a tempo discreto caratterizzato dalla seguente relazione ingresso/uscita: y[n]=sin(n0n)x[n] con n0 opportuna costante. IL sistema é lineare? Si per qualsiasi valore di n -Si consideri un sistema a tempo discreto caratterizzato dalla seguente relazione ingresso/uscita: y[n]= sommatoria da + infinito a i=n-1 di x[i] quale delle seguenti affermazioni é vera? Il sistema é lineare ma non tempo-invariante -Si consideri un sistema a tempo discreto caratterizzato dalla seguente relazione ingresso/uscita: y[n]=x[n] sommatoria che va da infinito a k=0 di sigma[n-k]. Quale delle seguenti affermazioni é vera? Il sistema é lineare ma non tempo-invariante. -Si consideri un sistema a tempo discreto che soddisfa con relazioni ingresso uscita: y [n] = x [2n]. Quale delle seguenti affermazioni è vera? IL SISTEMA è LINEARE MA NON TEMPO-INVARIANTE -Si consideri un sistema a tempo discreto che soddisfa con relazione ingresso uscita: y[n] = x[n^2]. Quale delle seguenti affermazioni è vera? IL SISTEMA è LINEARE MA NON TEMPO-INVARIANTE -Si consideri un sistema a tempo discreto che soddisfa con relazione ingresso uscita con n0 costante qualsiasi. Quale delle seguenti affermazioni è vera? IL SISTEMA è LINEARE MA NON TEMPO INVARIANTE -Si consideri un segnale limitato alla dinamica [-V,V]. Tale segnale viene quantizzato con M livelli. Quanto vale la potenza di rumore Pe? -Si consideri un sistema lineare tempo invariante (LTI) con la seguente risposta in frequenza: H(e^j2pigrecof) = 1 + e ^-j2pigrecof. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? IL SISTEMA NON FA PASSARE LE FREQUENZE PROSSIME A f = 0 -Si consideri un sistema lineare-tempo invariante (LTI) caratterizzato dalla seguente risposta all'impulso: h[n] = a^n u[n] - b^n u [n] Quale delle seguenti affermazioni è vera? IL SISTEMA è STABILE SECONDO IL CRITERIO BIBO PER |a| < 1 e |b| < 1 -Si consideri un segnale x(t) tale che il suo spettro di ampiezza |X(f)| è limitato in |f| <_ B con B = 10 kHz. Tale segnale può essere trasmesso ad alta frequenza in un canale di larghezza 50 kHz attorno ad una frequenza centrale pari a f0 >> B. Quanti segnali con lo stesso spettro di x(t) possono essere inseriti nella stessa banda in modo che i loro spettri restino certamente distinguibili? 2 -Si consideri un segnale x(t) tale che il suo spettro di ampiezza |X(f)| è limitato in |f| <_ B. Si consideri il segnale modulato y(t) = x(t) cos(2pigreco f0t). Quanto vale la massima frequenza di |Y(f)|, essendo Y(f) la trasformata di Fourier di y(t)? f +B -Si consideri un segnale di x(t) tale che il suo spettro di ampiezza |X(F)| è limitato in |f| <uguale 10Hz. Tale segnale può essere trasmesso in un canale di larghezza 50 kHz attorno ad una frequenza centrale pari a f0 = 1MHz. Quanto vale la massima frequenza di modulazione possibile affinchè il segnale passi inalterato in tale banda? NESSUNA DELLE ALTRE
Lambda -Si consideri una variabile aleatoria X di Bernoulli di parametro p. Quanto vale P(X>0)? p -Si consideri una variabile aleatoria esponenziale di parametro lambda. Quanto vale il momento di ordine 2? 2/lambda^ -Si consideri una variabile aleatoria Gaussiana X onda N(0,1). Quale momento è pari a 15?E[X^4] -Si consideri una variabile aleatoria Gaussiana X onda N (nx,sigma^2x). Quale delle seguenti trasformazioni genera una variabile aleatoria Gaussiana Y onda N(2nx,2sigma^2x)? Non è ottenibile da alcuna trasformazione -Si consideri una variabile aleatoria indicatore con P(X=0)=p. Quale delle seguenti affermazioni è vera? P(X<0)=p -Si scelga a caso un punto X nell intervallo [0,1]. Quale delle seguenti è una funzione di densità di probabilità (pdf) della corrispondente ascissa sulla retta di equazione Y=X condizionatamente alla scelta del punto? fY(y|x)=1 per 0<y< -Si considerino due sistemi lineari tempi-invarianti LTI con risposta in frequenza, rispettivamente H1(f) e H2(f). I due sistemi LTI sono caratterizzati, rispettivamente, dalle seguenti equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti : y1[n] -y1[n-1]= x1[n]+x1[n-1] y2[n]+y2[n-1]=x2[n] Quale delle seguenti equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti potrebbe rappresentare la serie tra i due sistemi LTI? y[n]-y[n-1]=x[n] -Si considerino due sistemi lineari tempo invarianti (LTI)causali e stabili. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? IL PARALLELO DEI DUE SISTEMI LTI NON è CAUSALE -Si considerino l’intervallo [a,b] e un segmento (c,d] interno ad esso con a<c<d<b. Quale delle seguenti formule permette di calcolare la probabilità che un punto scelto a caso ricada in (c,d]? d- c/b-a -Si considerino due variabili aleatorie discrete X e Y congiuntamente binomiali. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Entrambe sono binomiali e i rispettivi parametri sono sempre uguali. -Si considerino due variabili casuali X e Y con la seguente funzione di densità di probabilità PDF congiunta: fxy(x,y)={ 2 0<x<y<1 0 altrove. Quanto vale la PDF marginale fx(x)? Fx(x)= 2(1-x) per 0<x< -Si considerino i due seguenti eventi: A={ almeno un “1” lanciando 2 dadi non truccati} B= {almno 2 “1” lanciando 4 dadi non truccati}. Quale delle seguenti affermazioni è vera? P(A)<P(B) -Si hanno 50 palline, 25 nere e 25 bianche, e si hanno2 scatole. Si mettono 25 palline ( di cui wp nere e 12 bianche) nella prima scatola, e le rimanenti 25 nella seconda scatola. Dopo aver distribuito le palline fra ,e 2 scatole, si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina. Quanto vale la probabilità che la pallina estratta sia bianca? 1/2 ( 12/25x1/2+13/25x1/2=25/50=1/2) -Si lanciano contemporaneamente ed indipendentemente un dado e quattro monete non truccate. Quanto vale la probabilità che escano 2 teste e la faccia numero 2? 1/
Si scelgono a caso e indipendentemente 5 punti nell’intervallo [0,10]. Quanto vale la proprietà che un generico punto cada nel sottointervallo [0,2]? 1/ Si sorteggia a caso una commissione di 3 membri tra una popolazione composta da 7 uomini e 3 donne. Quanto vale la probabilità che le donne siano in maggioranza nella commissione cosi sorteggiata? NESSUNA delle altre risposta esatta 11/ Si vuole riservare l’accesso ad un certo servizio a M=100 utenti, a ciascuno dei quali viene assegnata una diversa password formata da n cifre decimali (le password sono cioè stringhe lunghe n in cui ciascun elemento è un numero da 0 a 9). Sia p la probabilità di trovare una password al generico tentativo scegliendo una stringa. Qual è il minimo valore di n tale per cui p<10^-2? 5 Siano date due variabili aleatorie discrete X e Y che assumono, rispettivamente, i valori xi e yk con probabilità pi= P(X=xi) e qk = P( Y=yk). Quale delle seguenti definizioni di teorema della media condizionata non è vera? E[Y]=sommatoria di xi E[Y|X=xi]pi Siano date due variabili aleatorie X e Y che assumono, rispettivamente i valori {xi}+inf i=1 e {yk} +inf k=1. Se la funzione massa di probabilità PMF congiunta di X e Y è {P(X=xi,Y=yk)}, quale delle seguenti relazioni permette di calcolare la PMF marginale di X? P(X=xi)= sommatoria da infinito a k=1 P(X=xi,Y=yk) -Siano date due variabili aleatorie X e Y continue con funzione di densità di probabilità PDF congiunta costante al valore K=1 nell’intervallo {0<_x<_1,0<_y<_1}. Quanto vale P(X<Y)? 2 o 1/ K nell’intervallo {0<_x<_1,0<_y<_1}.Quanto vale K? 2 -siano date due variabili aleatorie X e Y con funzione densità di probabilità PDF congiunta fxy(x,y). Quale delle seguenti è una corretta formula per il calcolo della PDF condizionata fx(x|y)? Fx(x|y)= fxy(x,y)/ fy(y) -Siano date tre urne. La prima contiene 3 palline rosse e 2 bianche, la seconda 2 rosse e 3 bianche, mentre l’ultima contiene tutte palline bianche. Si sceglie dapprima un’urna a caso e successivamente si estrae una pallina da essa. Quanto vale la probabilità che la pallina estratta sia rossa? 1/3(1/3x3/5+1/3x2/5=5/15=1/3) -Siano date la variabile aleatoria X onda Unif [0,1] e la trasformazione y=g(x)=2x^2-2x+1. +Quale delle seguenti masse di probabilità PDF nell’intervallo [1/2,1]? Fy(y)=1/2rad2y- +Quale delle seguenti funzioni è la densità di probabilità PDF nell’intervallo [-2,-1]? Fy(y)= -Siano date la variabile aleatoria X onda Unif [-5,-1] e la seguente trasformazione g(x)= { 1-x^2/4 | x|<_2 0 altrimenti. +Quale dei seguenti intervalli è il dominio della funzione densità di probabilità (PDF) di Y=g(X)? [0,3/4] +Quale delle seguenti masse di probabilità apparirà certamente nella funzione densità di probabilità (PDF) di Y=g(X)? Nessuna
-Sia data una partizione {Ai} dello spazio campione. Quale delle seguenti è la formula della probabilità totale per variabili aleatorie? Fx(x)= sommatoria da inf a i=1 di Fx(x|Ai)P(Ai)
- -Sia data una sequenza x [n] con trasformata zeta X (z). Quale delle seguenti affermazioni sulla regione di convergenza di X (z) è falsa? CONTIENE SEMPE ALMENO UN POLO DI X (z) -Sia data una sequenza con la trasformata di Fourier (DTFT) costante al valore K nell'intervallo |f| < 1/ (2T). Quanto vale K se la sequenza ha energia pari a 2? Radice di 2 -Sia data una sequenza con la trasformata di Fourier (DTFT) costante e unitaria nell'intervallo |f| < 1 /(2T). Quanto vale la sua energia? 1 Sia data la funzione densità di probabilità (PDF) fy(y|x)=1/x per 0<y<x. Quanto vale la PDF marginale fy(y)? Fy(y|x)=-logy per 0<y<x Sia data la seguente sequenza: x[n]=(1/3+1/2)^n u[n] essendo u[n] la sequenza gradino unitario.quale delle seguenti è la regione di convergenza della trasformata zeta X(z) di tale sequenza? {z appartiene a C :|z|>1/2} Sia data la seguente sequenza: x[n]=(1/4)^n u[n]+(1/2)^n u[-n-1] essendo u[n] la sequenza gradino Unitario. Quale dei seguenti punti nel piano complessi appartiene alla regione di convergenza della trasformata zeta X(z) di tale sequenza? Z=3/10+j1/ Sia data una sequenza tale per cui x[n]. Quale delle seguenti relazioni per la sua trasformata di fourier (DTFT) è falsa? Se x[n]=a^n allora |X(f)|<+infinito qualunque sia il valore di a Sia data una sequenza x[n] con trasformata di fourier (DTFT) X(f). Quale delle seguenti affermazioni è falsa? Si ricorda che u[n] rappresenta la sequenza gradino unitario. X(0)= 1/a-1 se x[n]=a^-nu[n] e |a|< Sia data una sequenza x[n]=δ[n]+δ[n-N] con N opportuno ritardo. Si definisca X( Ø) la sua trasformata di fourier DTFT essendo Ø=fT la frequenza normalizzata. Quanto vale |XØ| per Ø=+- 1/(2N)? 0 -Sia data la sequenza
x[n] con trasformata discreta Fourier(DFT) X[k]. Quanto vale la DFT della sequenza y[n] = x [n - m] nel caso in cui m = N, cioè il ritardo m sia esattamente pari al periodo N? Y [k] = X [k] Sia data la sequenza x[n]=u[n], con u[n] sequenza gradino unitario. Quale delle seguenti non è la sua trasformata di fourier (DTFT)? e^-jpigrecofT/ e^jpigrecofT -e^-jpigrecofT Sia data la sequenza x[n]=u[n], con u[n] sequenza gradino unitario. Quale delle seguenti affermazioni sulla sua trasformata di fourier (DTFT) è vera? Esiste un valore di f per cui |X(f)| tende a + infinito Sia data la variabile aleatoria X con la seguente funzione di distribuzione cumulativa (CDF) : Fx(x)= { 1 x>1 x^2 0<_x<_1 0 x< Quanto vale P(X<1/2)? 1/ -Sia data una variabile aleatoria X con funzione densità di probabilità PDF limitata tra 1 e 3. Quale delle seguenti affermazioni è certamente falsa? E[X]= -Sia data una variabile aleatoria X con funzione densità di probabilità (PDF) fx(x). Quanto vale la PDF della variabile aleatoria Y=aX+b con a e b generiche costanti? -Sia data una variabile aleatoria X onda Unif [0,1] e si consideri la trasformazione Y=2X. Quale delle seguenti affermazioni sul valor medio di Y è falsa? E[Y]= -Sia data una variabile aleatoria X onda Unif [0,1]. Quanto vale E[X^2+2]? 7/ -Sia data una variabile aleatoria X che assume i valori interi nell’intervallo [ 1,N] con N generico, in maniera equiprobabile. Per quale dei seguenti valori di x vale P(X>x)=1/N? x=N-
- Sia data una variabile aleatoria X Gaussiana a media nulla e varianza unitaria. Definita la funzione Q(x), quale delle seguenti affermazioni è falsa? Fx(x)=Q(x) -Sia data una variabile aleatoria X uniformemente distribuita in [0,5]. Quanto vale la funzione densità di probabilità (PDF) in tale intervallo? 1/ -Sia data una variabile aleatoria X con funzione di distribuzione cumulativa (CDF) Fx(x) e si consideri una trasformazione Y=g(X). Quale delle seguenti affermazioni sulla CDF di Y è sicuramente errata? Può valere Fy(y)=Fx(x) -Sia data una variabile aleatoria X
-Sia dato un sistema descritto dalla seguente equazione alle differenti lineari a coefficienti costanti: y[n]-ay[n-1]=x[n-1] con a opportuna costante. Assumendo y[n] = 0 per n < 0, quale delle seguenti funzioni è la risposta all'impulso di tale sistema? h[n] = a^n-1*u[n-1] -Sia dato un sistema descritto dalla seguente equazione alle differenze lineari a coefficienti costanti: y[n]- ay[n-1] = x[n] con a opportuna costante. Assumendo y[n] = 0 per n < 0 e x[n] Sigma[n] , per quali valori di a y [2] < y [1]? 0 < a < 1 -Sia dato un sistema descritto dalla seguente equazione alle differenze lineari a coefficienti costanti: y[n] –ay[n-1]=x[n-1] con a opportuna costante. Assumendo y[n]=0 per n<0, quale delle seguenti funzioni è la risposta all’impulso di tale sistema? H[n]=a?n-1 u[n-1] -Sia dato un sistema descritto dalla seguente equazione alle differenze lineari a coefficienti costanti: y[n] - y[n-1] = 2x[n]. Assumendo y[n] = 0 per n < 0, quanto vale h[0], essendo h[n] la risposta all'impulso del sistema? 2 -Sia dato il lancio di due monete truccate in cui la probabilità di uscita della faccia testa vale p=6/10. Supponiamo di sapere che al primo lancio è stata ottenuta testa. Quanto vale la probabilità dell’evento “ esce almeno una volta testa sui due lanci”, condizionatamente all’uscita di testa al primo lancio? 1 -Sia dato il segnale x[n]=n^3. Quanto vale la seguente sommatoria? Sommatoria che va da infinito a n=-infinito di x[n] sigma [n+3] : - -Sia X una variabile aleatoria Gaussiana a media nulla e varianza 4. Definita la funzione Q(x), quanto vale P(X>2)?Q(1) -Siano date le sequenze x1 [n] = u [n] e x2 [n] = Sigma[n] - Sigma[n-1], essendo u [n] la sequenza gradino unitario. Utilizzando le priorità della trasformata zeta, quanto vale la sequenza y [n] = x [n] cerchiox x2[n], essendo cerchiox l'operatore di convoluzione discreta? y[n]=Sigma[n] -Siano date le sequenze x1 [n] = u [n] e x2 [n] = Sigma[n] - Sigma[n-1], essendo u[n] la sequenza gradino unitario. Quale delle seguenti è la regione di convergenza della trasformata zeta della sequenza y[n] = x1[n] cerchiox x2[n], essendo cerchiox l'operatore di convoluzione discreta? C Siano {xi} N variabili aleatorie (VA) indipendenti con media ni e varianza sigmai^2. Si consideri la VA Y = sommatoria che va da N a i=1 di Xi con media N e varianza sigma^2. Quale delle seguenti relazioni non é sicuramente vera? E[Y^2]=sommatoria da N a i=1 di E[Xi^2] Siano date due variabili aleatorie X e Y =2X. Quanto vale il coefficiente di correlazione Pxy? 1 Siano date le variabili aleatorie (VA) Xi,i=1,...,4, tali per cui Cov[Xi, Xj]=i+j. Date le VA A=X1+X2 e B=3X3-2X4, quanto vale Cov [A,B]? Nessuna delle altre Siano date due variabili aleatorie X e Y con funzione densità di probabilità (PDF) congiunta fxy(x,y). Quale delle seguenti é una corretta formula per il calcolo della PDF condizionata fX(x|y)? Fx(x|y)= fxy(x,y)/fy(y) Siano date le seguenti variabili aleatorie : X~Unif[0,1], Y~exp(1) e Z ~ N (0,1). Quanto vale E [ X+Y+Z^2]? 10/ Siano date due variabili aleatorie indipendenti X ~ Unif [ -1,1] e Y binaria equiprobabile. Quanto vale Cov[X,Y]? 0
Siano date due variabili aleatorie indipendenti X~Unif[-1,1] e Y~exp(1). Quanto vale Cov [X+Y,Y-X^2]? 1 Siano date 2 variabili aleatorie (VA) X e Y Gaussiane a media nulla, varianza sigma^2 e i correlate. Quanto vale la varianza della VA X+Y? 2sigma^ Siano date due variabili aleatorie X onda exp(1) e Y onda Unif [-1,1]. Quanto vale E [X+Y^2]? 4/ Siano date due variabili aleatorie X1 onda exp(lambda1) e X2 onda exp(lambda2). Quanto vale E [X1+X2]? Lambda1+lambda2/lambda1lambda Siano dati due eventi A,BcS tali che P(A)=P(B)=1/2. Quale delle seguenti affermazioni non è vera? AuB=S Siano X e Y due variabili aleatorie (VA) uniformemente distribuite negli intervalli , rispettivamente [0,1] e [0,2]. Si consideri la VA Z= alfaX + (1-alfa) Y, dove alfa é una VA binaria con P ( alfa =1)=1/4. Quale delle seguenti é la funzione densità di probabilità (PDF) di Z? -Si consideri la trasformazione di variabile aleatoria Y=x^2, dove X ha funzione di distribuzione cumulativa (CDF) FX(x). Quale delle seguenti affermazioni sulla CDF di Y è vera? Fy(y)=0 per y< -Sono disponibili 6 contenitori cilindrici, di cui due di capacità (in litri) C1 e quattro di capacità C2. Le capacità sono due variabili aleatorie C1 onda Unif [0,1/2] e C2 onda Unif [0,1]. Si consideri la variabile aleatoria “ capacità di un contenitore scelto a caso”. Quanto vale la funzione densità di probabilità PDF di tale variabile aleatoria nell’intervallo [1/2,1]? 2/
- Un’accumulatore tempo-discreto é un sistema tale per cui la relazione ingresso-uscita é y[n]= sommatoria che va da n a k=-infinito x[k]. Quale delle seguenti proprietà non é verificata? Stabilitá. -Un dispositivo elettronico è caratterizzato da un tempo di vita con funzione densità di probabilità Quanto vale la probabilità che il dispositivo resti in funzione per almeno 3 anni? 1/
- Un ispettore di polizia giunge sulla scena di un omicidio, il cui colpevole può essere il maggiordomo, la cameriera, entrambi o nessuno dei due. Dalla sua precedente esperienza sa che il maggiordomo e la cameriera possono essere il colpevole indipendentemente con probabilità, rispettivamente, 0,6 e 0,2. Quanto vale la probabilità che il colpevole sia qualcun altro al di fuori del maggiordomo e la sua cameriera? 32/
- Un quantizzatore a 3 bit viene utilizzato per quantizzare un segnale limitato alla dinamica [-1,1]. Supponendo di voler ottenere un rapporto segnale-rumore (SNR) di quantizzazione almeno pari a 20dB qual deve essere la potenza minima del segnale in ingresso al quantizzatore?
