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04. Si fornisca un esempio, tratto dalla vita quotidiana, di frequenza relativa. Si descriva un esempio differente dal lancio del dado e della moneta.
Un esempio nella vita quotidiana può essere quella di un sondaggio o indagine.
Si può chiedere ad un campione di 20 persone la loro squadra preferita tra :Juventus, Fiorentina, Torino, Roma.
Una volta raccolti i dati si potranno dividere in classi :
Freq. Assoluta Frequenza relativa
JUVENTUS 7 7/20=0,
FIORENTINA 5 5/20=0,
TORINO 3 3/20=0,
ROMA 5 5/20=0,
Nb la somma delle frequenze relative =
Lezione 3
04. Scelto un esperimento aleatorio a piacere, definire lo spazio campione, disegnare il diagramma di Venn ed illustrare almeno due eventi. Prendiamo come esempio il lancio dei dadi, un esempio di evento è dato dal risultato dispari. I risultati r 1 ,r 3 ,r 5 si dicono favorevoli all’evento. Il diagramma di Venn risulterà il seguente: Prendiamo come secondo esempio il caso in cui l’esempio di evento è dato dal risultato pari. I risultati r 2 ,r 4 ,r 6 , si dicono favorevoli all’evento. Il diagramma di Venn risulterà il seguente:
04. Illustrare le proprietà di unione ed intersezione di due insiemi.
Se prendiamo in considerazione due insiemi A e B, possiamo ottenere l’unione di A e B: ovvero quell’insieme i cui elementi appartengono ad A o B oppure ad entrambi. Possiamo ottenere l’intersezione di A e B: ovvero quell’insieme i cui elementi appartengono sia ad A che a B. in fine, possiamo ottenere gli insiemi disgiunti: ad intersezione nulla. Sugli insiemi ricadono tre importanti proprietà inerenti l’unione e l’intersezione: Il simbolo di intersezione può essere omesso, mentre il simbolo dell’unione può essere sostituito, se si preferisce, dal simbolo +. Lezione 5
04. Enunciare la definizione assiomatica di probabilità.
La probabilità è una funzione reale definita sulla classe degli eventi (P:F->ℝ) che soddisfa i tre seguenti assiomi:
1. P(S)=
2. P(ε)>=0 ∀𝜀∈𝐹
3. Per ogni sequenza di eventi mutuamente esclusivi 𝜀 1 , 𝜀 2 ,…, 𝜀r ∈𝐹 (cioè tali che p 𝜀 i 𝜀j=∅ 𝑠𝑒 𝑖≠𝑗,𝑠𝑖 ℎ𝑎:
Lezione 6
04. Enunciare le tre conseguenze degli assiomi e darne una spiegazione intuitiva utilizzando i diagrammi di Venn. Prima conseguenza Data 𝑃(𝜀) , si ha 𝑃(𝜀^c) = 1 – 𝑃(𝜀) Seconda conseguenza Dati due eventi A e B, si ha 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴)+ 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴B) Essendo per definizione 𝑃(𝐴B)≥ 0, otteniamo la diseguaglianza di Boole 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) ≤ (𝐴)𝐴 + P(𝐵) Terza conseguenza Dati due eventi A e B, con 𝐴 ⊂ 𝐵, si ha 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) possiamo facilmente intuire che il peso dell’evento A non può essere superiore a quello dell’evento B in quanto A è contenuto da B
08. Si sta giocando a poker con un mazzo di 52 carte (13 tipi di carte per ognuno dei 4 semi). Si motivi perché un poker batte una doppia coppia. Probabilità doppia coppia :
La prima carta può essere scelta in 32 modi, la seconda carta in 3 modi distinti. La terza carta deve essere scelta fra le
rimanenti 7 x 4 = 28 (diverse da quelle della coppia), La quarta carta deve essere scelta in tre modi distinti, poiché anche
l'ordine delle due coppie non conta il numero di combinazioni che danno due coppie è:
[(32 x 3 /2) x (28 x 3/2 )] /2 = 1008
La quinta carta deve essere scelta fra le rimanenti 6 x 4 =24 (diverse da quelle delle coppie).
Il numero di combinazioni che danno una doppia coppia è: 1008 x 24 =24192.
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) =24192/201376 =108/899 = 0.12-> circa 12%
Probabilità poker:
La prima carta può essere scelta in 32 modi, la seconda carta in 3 modi distinti, la terza in 2 modi, la quarta in un solo
modo.
Poiché l'ordine non conta i possibili poker con quattro carte sono: ( 32 x 3 x 2 x 1) / 4! =8.
La quinta carta può essere scelta in 7 x 4 = 28 modi distinti.
Quindi le possibili combinazioni sono 8 x 28 =224.
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) = 224/201376 = 1/899= 0.00111->circa 0,11%
04. Spiegare quale sia l’effetto del condizionamento della probabilità di due generici eventi A e B.
La definizione della probabilità condizionata ci dice che:
- Dato un evento M a probabilità non nulla P(M)>
- Per ogni evento A, la probabilità condizionata (probabilità dell’evento A condizionata all’evento M) si definisce come:
- Rappresenta la probabilità che si verifichi l’evento A sapendo che si è già verificato l’evento M. Dunque, una volta eseguito il primo esperimento, otteniamo un’informazione parziale “si è verificato M”.
L’originale funzione di probabilità P(. ) (detta a priori), diventa una nuova funzione P(. |M)(detta a posteriori).
Ovviamente in questa nuova funzione, la probabilità di ogni evento disgiunto da (esterno a) M avrà probabilità nulla.
Per ogni coppia di eventi A e B in m, abbiamo che:
quindi, le probabilità a posteriori sono non minori di quelle a priori. Tuttavia, l’osservazione parziale di M, mantiene
inalterate le proporzioni degli eventi in M:
Per ogni evento di A si avrà che:
Da cui:
La parte di A inclusa in M ha probabilità “riscalata” e la parte esterna ha probabilità nulla.
04. Descrivere e dare una definizione formale del concetto di indipendenza tra un numero generico n di eventi.
04. Descrivere il metodo di calcolo della probabilità che in n prove indipendenti con singola probabilità di successo p ci sia almeno un successo.
04. Descrivere come sia possibile interpretare uno spazio campione discreto come continuo.
Consideriamo un esperimento aleatorio consistente nella scelta tra due numeri, diciamo tra 0 ed 1. Lo spazio campione
è S={1,0}. Supponiamo ora che la funzione probabilità sia tale che p{0}=p e p{1}=1-p, con p noto. Possiamo pensare tale
esperimento, eseguito sullo spazio discreto con i soli punti 0 e 1, come se la scelta fosse estesa a tutto l’asse reale, ma
con una funzione probabilità che concentri tutto il “peso”, ovvero tutta la massa di probabilità sui punti “0 ed 1”.
Lezione 17
04. Si descriva come una variabile aleatoria trasforma un evento in un intervallo dell’asse reale. Il concetto di variabile aleatoria è fondamentale nello studio della probabilità, poiché consente di associare ad ogni risultato di un esperimento un numero reale, e quindi di trasformare lo spazio campione in un insieme di numeri reali. I, vantaggio è quello di poter applicare alla risoluzione dei problemi di probabilità i potenti strumenti dell’analisi matematica. Per un dato esperimento, una variabile aleatoria X è una funzione costruita su Ω e che assume valore nell’insieme R=Ru{-∞, +∞):
Dove con X ho rappresentato il codominio della funzione X, ovvero l’insieme dei possibili valori assunti da X
Una VA X è una funzione X S->|R che associa un numero reale x=X(r) a ciascun punto dello spazio campione rϵS.
Inoltre, ciascun intervallo di |R è immagine, attraverso X, di un evento in S.
Lezione 18
04. Sia data la variabile aleatoria X con la seguente funzione di distribuzione cumulativa (CDF): Calcolare P(X<1/2)
04. Fornire una classificazione delle variabili aleatorie sulla base della loro funzione di distribuzione cumulativa (CDF).
Una variabile aleatoria si dice:
- Continua se F(x) è continua per tutti i valori xϵ|R;
- Discreta se F(x) è costante a tratti;
- Mista se Fx(x) non è continua ma neanche costante a tratti
04. Date X1 ~ exp(1) e X2 ~ exp(2) con rispettivamente funzione densità di probabilità (PDF) fX1 (x1) e fX2(x2), calcolare: Spiegare se tale funzione è una PDF corretta o meno.
**07. Si scelgono a caso e indipendentemente 5 punti nell’intervallo [0,10]. Quanto vale la possibilità che esattamente due punti cadano esattamente nel sotto intervallo [0,2]?
- Fornire degli esempi di variabili aleatorie discrete. Per ognuna di esse, disegnare la funzione massa di probabilità (PMF).** Utilizzando la delta di Dirac, la PDF di una variabile aleatoria discreta può essere scritta come: 𝑓𝑥(𝑥)=Σ𝜌𝑖𝛿(𝑥−𝑥𝑖)𝑖. In questo caso si può limitare la definizione di X ai soli punti {xi} in cui si concentra la massa di probabilità. Si ottiene quindi un equivalente spazio campione discreto S’={x1,x2,…} con probabilità: 𝑃{𝑥=𝑥𝑖}≜𝜌𝑥(𝑥𝑖) La sequenza {pX(xi), i=1,2…} viene indicata con funzione massa di probabilità. **Lezione 23
- Definire un esempio di trasformazione di variabile aleatoria.** Sia X una variabile aleatoria definita sullo spazio di probabilità (Ω, S, P), e g(x) una funzione definita in |R, tale che l’insieme di definizione di g(x) contenga il codominio 𝑥 della funzione X(ω). La trasformazione Y=g(X) definisce una nuova variabile aleatoria ottenuta associando a ωϵπ il valore ϒ(ω)=g[X(ω)]ϵ|R. Esempio: considerando la trasformazione ϒ=X2, che è rappresentata graficamente da una parabola. Se y<0, evidentemente P(ϒ<=y)=P(X2<=y<0)=P(∅)=0. Viceversa, se y>=0, si ha che:
04. Calcolare il valore medio della variabile aleatoria indicatore di un evento. La media è un valore riassuntivo di una grandezza fisica di cui sono noti molti valori. L’estrazione di questo concetto in teoria della probabilità prende il nome di valore medio di una variabile aleatoria. **Lezione 27
- Sia data una variabile aleatoria X** ~ Unif [0,1] e si consideri la trasformazione Y=2X. Utilizzando il teorema dell’aspettazione quanto vale |E |Y|?
04. Enunciare e dimostrare la proprietà di linearità del valor medio di una variabile aleatoria.
- La linearità del valor medio è un diretta conseguenza del teorema dell’aspettazione
- Date due VA Y=g(X) e Z=h(X), entrambe funzione di X, allora per ogni possibile coppia di valori reali (c,d) si ha **Lezione 29
- Enunciare e commentare la diseguaglianza di chebychev** Sia X una VA con media e varianza finite. Si ha: Sulla base della disuguaglianza di Chebychev la varianza può essere interpretata come il più semplice indice di dispersione dei valori assoluti da una variabile aleatoria intorno alla sua media. Infatti, ponendo Ɛ=kα passiamo anche la precedente come: O equivalentemente come: Osserviamo in fine che poiché la disuguaglianza di chebychev discende da quella di Markov, valgono per essa considerazioni analoghe a quelle effettuate per la disuguaglianza di Markov relativamente allo scostamento tra i valori effettivi di probabilità ed il limite previsto dalle disuguaglianze. L’utilità della disuguaglianza di Chebychev non sta tanto nell’accuratezza con la quale è in grado di fornire i valori della probabilità che la variabile aleatoria X appartenga ad un intervallo centrato intorno alla media, ma nella sua generalità e semplicità, in quanto consente di ottenere stime di tale probabilità senza richiedere la conoscenza esplicita della PDF o CDF della variabile aleatoria, ma solo nella sua varianza. **Lezione 30
- Si definisca il momento di ordine n di una variabile aleatoria X**
- Data una VA X, si definisce momento di ordine n della VA la quantità (con n intero positivo) Notiamo che la caratterizzazione di una variabile aleatoria in termini di momenti viene detta caratterizzazione sintetica, in quanto fornisce un’informazione ridotta rispetto alla conoscenza della CDF, PDF o DF. Infatti, mentre assegnare la CDF,PDF o df di una variabile aleatoria X consente di calcolare un qualunque momento, la conoscenza di un sottoinsieme di momenti di X non consente in generale di risalire alla CDF, PDF o DF.
**04. Dimostrare che se due variabili aleatorie (VA) X e Y sono indipendenti allora per qualsiasi coppia di funzioni g(.) e h(.) la VA Z=g(X) e W=h(Y) sono indipendenti Lezione 35
- Enunciare e dimostrare la formula di Bayes per coppie di variabili aleatorie continue Lezione 36
- Dimostrare il teorema della media condizionata nel caso di X continua e Y discreta**
**04. Definire il concetto di media campione e spiegarne un possibile utilizzo applicativo Lezione 38
- Discutere attraverso l’utilizzo di un esempio illustrativo la relazione tra indipendenza e in correlazione di due variabili aleatorie**
