Inferenza Statistica: Probabilità, Variabili Casuali e Distribuzioni Campionarie, Prove d'esame di Analisi Statistica

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INFERENZA STATISTICA

1 Probabilità Variabili Casuali Distribuzioni campionarie Stima Stima puntuale Stima intervallare Verifica di ipotesi Medie Proporzioni

Obiettivo dell’inferenza statistica :

Esprimere cosa si è appreso su una

popolazione dai dati osservati su un suo

campione casuale

• Campione casuale: sottoinsieme della

popolazione selezionato casualemente

INFERENZA STATISTICA

Elementi di Teoria e Calcolo

delle Probabilità

Fatti ed Esperimenti Casuali La teoria delle probabilità considera solo fatti ed esperimenti casuali.

• Fatto casuale à qualsiasi avvenimento suscettibile di manifestazioni secondo una pluralità di alternative e del quale non è noto l'esito;
• Esperimento casuale à è un esperimento di cui non è noto l esito. Come tutti gli esperimenti è ripetibile e avviene in condizioni uniformi.

Alcuni esempi di Fatti Casuali

• Il sesso di un nascituro;
• L altezza che un bambino raggiungerà da adulto;
• Il valore del tasso di cambio euro/dollaro che si registrerà domani alle 12;
• Il prezzo del barile di petrolio tra un mese esatto;
• Ecc ecc..

Lo Spazio Campionario Per poter definire in termini matematici un fatto o un esperimento casuale è necessario definire esattamente l'insieme dei suoi risultati possibili. Questo insieme prende il nome di Spazio Campionario e si indica con il simbolo S (o con Ω ). In molti casi il procedimento è banale. Ad esempio per quanto riguarda il lancio della moneta o di un dado, è immediato che i risultati possibili siano rispettivamente 2 (testa e croce) e 6 (quante sono le facce del dado).

Esempio di Spazio Campionario

11 In altri casi la determinazione dei risultati possibili è un procedimento più complesso e molto meno immediato. Ad esempio, l'altezza di una persona è un fatto casuale che ha come risultato un numero senz'altro positivo ma del quale non è noto l'estremo superiore. Volendo essere - ma solo in apparenza - realistici, si potrebbero supporre possibili solo altezze non superiori a 2,5 metri; tuttavia anche in questo caso si commetterebbe l'assurdo di considerare possibili altezze sino a 2,5 metri ed impossibili altezze di 2,5 metri più un millimetro. Lo Spazio Campionario

Classificazione degli Spazi Campionari Spazi Campionari Discreti Continui Numerabili Finiti

Spazi campionari finiti S è detto finito se contiene un numero finito di eventi elementari. Esempi: spazi campionari associati al lancio di un dado e al lancio di una moneta.

Lo spazio campionario è detto continuo se contiene un'infinità non numerabile di eventi elementari. Esempio: lo spazio campionario relativo all'altezza o al peso di una persona è continuo in quanto

contiene tutti i possibili valori reali tra 0 e ∞.

Spazi campionari continui

Alcuni esperimenti casuali con i relativi spazi campionari Esperimento Spazio campionario Lancio di una moneta e 1 , e 2 S = { T , C } Lancio di un dado e 1 , ........... , e 6 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte S = { e 1 , ... , e 40 } Doppio lancio di una moneta S = { ( T, T ), ( T, C ), ( C, T ), ( C, C ) } e 1 e 2 e 3 e 4

Esempio di Eventi Composti Nel lancio di un dado sono eventi composti: E 1 = { Si verifica una faccia pari } = { 2, 4, 6 } E 2 = { Si verifica una faccia ≥ 5 } = { 5, 6 } In pratica ogni evento composto E, in quanto costituito da elementi di S, è un sottoinsieme dello spazio campionario. Ovviamente anche ogni evento elementare e i è un sottoinsieme di S costituito da un solo elemento.

Eventi: elementari e composti Usando la nota simbologia degli insiemi, dato in generale un evento composto , si dice che tale evento si verifica se si verifica un evento elementare e che gli appartiene, cioè. Ritornando all’ultimo esempio, l’evento E 1 = { faccia pari del dado } si verifica quando esce una qualsiasi delle 3 facce pari: 2, 4, 6. E ⊂ S e ∈ E