Derivate
7 novembre 2014
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Monotonia e estremi di una funzione: massimi, minimi e segno derivata, Dispense di Matematica Applicata
Una introduzione alla monotonia di una funzione e alla determinazione dei punti di massimo relativo e minimo relativo. Viene inoltre presentato il teorema di Fermat e il teorema di Weierstrass. Il documento include esempi per illustrare le definizioni e i concetti presentati.
Tipologia: Dispense
2020/2021
1 / 27
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Scarica Monotonia e estremi di una funzione: massimi, minimi e segno derivata e più Dispense in PDF di Matematica Applicata solo su Docsity!
- Derivate 7 novembre
Monotonia in un punto
Siano
f
una funzione definita in
X
e
x
0
un punto di
X
Se esiste un intorno di
x
0
nel quale la funzione `
e strettamente crescente,
si dice che la funzione `
e
strettamente crescente in
x
0
Se esiste un intorno di
x
0
nel quale la funzione `
e strettamente
decrescente, si dice che la funzione `
e
strettamente decrescente in
x
0
NOTA:
se una funzione `
e strettamente crescente in tutto
X
allora essa `
e
strettamente crescente in ogni punto di
X
;^
viceversa, se una funzione `
e
strettamente crescente in ogni punto di
X
potrebbe non essere
strettamente crescente in tutto
X
Esempio
Consideriamo la funzione:
f
: [
c, d
[^
]
d, e
]^
→ R
x
y
c
d
e
x
x
1
2
f
x
2 f(
x
1
x
y
c
d
e
x
x
1
2
f
x
2 f(
x
1
f
`e strettamente crescente in ogni punto di
[c, d
[^
]
d, e
]^
ma non `
e
strettamente crescente in tutto
[c, d
[^
]
d, e
]:
x
1
[c, d
[, x
2
]
d, e
]^
x
1
< x
2
, f
x
1
f
x
2
Massimo relativo
Siano
f
una funzione definita in
X
e
x
0
X
Se esistono
n
un intorno sinistro di
x
0
in cui
f
`e strettamente crescente;
n
un intorno destro di
x
0
in cui
f
`e strettamente decrescente
la funzione ha un
massimo relativo
in
x
0
;^
x
0
`e detto
punto di
massimo relativo
x
0
`e un punto di massimo relativo
esiste un intorno di
x
0
in cui il
massimo di
f
`e
f
x
0
Esempio
Si consideri la funzione x
1
`e un punto di massimo relativo,
x
2
`e un punto di minimo relativo.
Esempio
La funzione
n
`e limitata inferiormente ,
inf
f
x
,^
non ha minimo assoluto
n
ha un minimo relativo
in
x
2
n
ammette massimo assoluto
nel punto
b
n
ha un massimo relativo
in
x
1
Osservazioni
- Il minimo (massimo) assoluto di una funzione
non `
e
necessariamente
un minimo (massimo) relativo;
se il punto di
minimo (massimo) assoluto cade all’interno del dominio dellafunzione allora il minimo (massimo) assoluto `
e anche un minimo
(massimo) relativo.
Una funzione pu`
o avere uno o pi`
u minimi (massimi) relativi e non
ammettere minimo (massimo) assoluto.
- Una funzione pu`
o avere minimo (massimo) assoluto e non avere
minimi (massimi) relativi.
Segno della derivata in un punto
Siano
f
una funzione definita in
X
e
x
0
X
Se
f
`e dotata di derivata
in
x
0
allora
n
D
[f
x
)]
x
=
x
0
f
strettamente crescente in
x
0
n
D
[f
x
)]
x
=
x
0
strettamente decrescente in
x
0
n
D
[f
x
)]
x
=
x
0
nulla si pu`
o dire sul comportamento della
funzione.
Teorema 1 Una funzione derivabile in un intervallo
[a, b
]^
`e costante in
[a, b
]^
se e solo
se
f
′
x
x
]a, b
[.
Teorema 2 Una funzione derivabile in un intervallo
[a, b
]^
`e crescente (decrescente) in
tutto
[a, b
]^
se e solo se
f
′
x
x
]a, b
[.
Teorema 3 Una funzione derivabile in un intervallo
[a, b
]^
`e strettamente crescente
(decrescente) in tutto
[a, b
]^
se e solo se
f
′
x
x
]a, b
[^
ed
inoltre, non esiste un intervallo
I
]a, b
[^
nel quale la derivata sia
identicamente nulla.
Esempio
Consideriamo la funzione
f
x
x
x
Problema: Analizzare il comportamento per
x
1
e
x
2
Esempio (cont.)
f
′
x
x
Si ha:
f
′
pertanto, nulla si pu`
o dire sul comportamento della funzione nel punto
x
2
Studiamo il segno della derivata:
f
′
x
x
x
x <
La funzione `
e strettamente crescente per
x
compreso tra 0 e 2. e
strettamente decrescente per
x
maggiore di 2.
La funzione presenta un massimo relativo nel punto
x
2
Esempio
Consideriamo la funzione
f
x
x
x
Problema: Analizzare il comportamento per
x
2
senza studiare esplicitamente il
segno della derivata prima:
f
′
x
x
Calcoliamo la derivata seconda:
f
′′
x
D
[
x
]
= D[2(
x
−
1 2
1] =
(
)
·^
x
−
1 2
−
1
√
x
3
f
′′
f
′
x
`e strettamente decrescente in
x
I
in cui
f
′
x
`
e decrescente.