Applicazioni Derivate: Monotonia, Massimi e Minimi, Slide di Matematica Generale

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Applicazioni derivate

Monotonia in un punto

Siano f una funzione definita in X e x 0 un punto di X. Se esiste un intorno di x 0 nel quale la funzione è strettamente crescente, si dice che la funzione è strettamente crescente in x 0.

Se esiste un intorno di x 0 nel quale la funzione è strettamente decrescente, si dice che la funzione è strettamente decrescente in x 0.

NOTA

se una funzione è strettamente crescente in tutto X allora essa è strettamente crescente in ogni punto di X ; viceversa, se una funzione è strettamente crescente in ogni punto di X potrebbe non essere strettamente crescente in tutto X.

Esempio

Consideriamo la funzione f : [c, d[∪]d, e] → R;

x

y

0 c^ d

e

x

x

1

2

f( x 2 )

f(x 1 )

x

y

0 c^ d

e

x

x

1

2

f( x 2 )

f(x 1 )

f è strettamente crescente in ogni punto di [c, d[∪]d, e] ma non è strettamente crescente in tutto [c, d[∪]d, e]: ∀x 1 ∈ [c, d[, x 2 ∈]d, e] ⇒ x 1 < x 2 , f (x 1 ) > f (x 2 )

Massimo relativo

Siano f una funzione definita e continua in X e x 0 ∈ X. Se esistono un intorno sinistro di x 0 in cui f è strettamente crescente; un intorno destro di x 0 in cui f è strettamente decrescente la funzione ha un massimo relativo in x 0 ; x 0 è detto punto di massimo relativo. x 0 è un punto di massimo relativo per f ⇔ esiste un intorno di x 0 in cui il massimo di f è f (x 0 ), cioè se

∃ I ∈ I(x 0 ) : f (x 0 ) ≥ f (x) , ∀ x ∈ I ∩ X

Esempio

Si consideri la funzione

x 1 è un punto di massimo relativo, x 2 è un punto di minimo relativo.

Esempio

La funzione è limitata inferiormente , inf f (x) = 0, non ha minimo assoluto ; ha un minimo relativo in x 2 ; ammette massimo assoluto nel punto b; ha un massimo relativo in x 1.

Segno della derivata in un punto

Siano f una funzione definita in X e x 0 ∈ X. Se f è dotata di derivata in x 0 allora f ′(x 0 ) > 0 ⇒ f strettamente crescente in x 0 ;

f ′(x 0 ) < 0 ⇒ f strettamente decrescente in x 0 ;

f ′(x 0 ) = 0 ⇒ nulla si può dire sul comportamento della funzione.

Teorema di Fermat

Siano f una funzione definita in X , x 0 ∈ X. Se la funzione presenta un minimo (massimo) relativo in x 0 allora vale una delle due alternative seguenti: esiste la derivata in x 0 e f ′(x 0 ) = 0; non esiste la derivata in x 0.

Teorema di Lagrange

Sia f : [a, b] → R. Se f è continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[ , allora ∃ x 0 ∈]a, b[ : f ′(x 0 ) = f (b) − f (a) b − a

Corollari del Teorema di Lagrange

Teorema 1 ( caratterizzazione delle funzioni costanti ) Una funzione è costante in un intervallo [a, b] se e solo se è derivabile in ]a, b[ e f ′(x) = 0 ∀ x ∈]a, b[.

Teorema 2 ( criterio di monotonia ) Sia f una funzione continua in un intervallo [a, b] e derivabile in ]a, b[. Allora f è crescente in [a, b] ⇔ f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈]a, b[. f è decrescente in [a, b] ⇔ f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈]a, b[.

Teorema 3 ( criterio di stretta monotonia ) Una funzione derivabile in un intervallo [a, b] è strettamente crescente (decrescente) in tutto [a, b] se e solo se f ′(x) ≥ 0 (≤ 0 ) ∀ x ∈]a, b[ ed inoltre, non esiste un intervallo I ⊂]a, b[ nel quale la derivata sia identicamente nulla.

Se f (k)(x 0 ) = 0 k = 1 , ..., n − 1 allora:

n f (n) pari positiva ⇒ x 0 punto di minimo relativo, pari negativa ⇒ x 0 punto di massimo relativo, dispari positiva ⇒ f strettamente crescente in x 0 , dispari negativa ⇒ f strettamente decrescente in x 0.

Teorema di Weierstrass

Se f è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora f è dotata di minimo e massimo:

∃m = min f , ∃M = max f ⇒

m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Di conseguenza esistono (^1) almeno un punto di minimo xm ∈ [a, b], f (xm) = m; (^2) almeno un punto di massimo xM ∈ [a, b], f (xM ) = M.

Ricerca di massimi e minimi

(^1) valutazione della funzione negli estremi del campo di esistenza; (^2) calcolo della derivata ricerca dei punti in cui la derivata si annulla e valutazione della funzione in corrispondenza dei punti suddetti; individuazione dei punti in cui non esiste la derivata e valutazione della funzione in corrispondenza dei punti suddetti. Il massimo ed il minimo della funzione, se esistono, sono dati, rispettivamente, dal massimo e dal minimo dei valori calcolati.

Esempio

Calcoliamo il massimo ed il minimo della funzione ex^ − x per x ∈ [− 2 , 3 ]. (^1) valutazione della funzione agli estremi:

f (− 2 ) = e−^2 + 2 ' 2. 13 , f ( 3 ) = e^3 − 3 ' 17. 08 ;

(^2) calcolo della derivata:

f ′(x) = D[ex^ − x] = ex^ − 1

ricerca dei punti in cui la derivata si annulla e valutazione della funzione in corrispondenza dei punti suddetti:

ex^ − 1 = 0 ⇔ x = 0 ; f ( 0 ) = 1 ;