SUCCESSIONI NUMERICHE
DEFINIZIONE
Le successioni numeriche sono particolari funzioni che hanno come dominio l’insieme dei
numeri naturali 𝑛∈ℕ→𝑎𝑛∈ℝ
NOTAZIONI
Le successioni si indicano in questi modi:
• (𝑎𝑛) (𝑎𝑛)𝑛 (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ
• 𝑎0,𝑎1,𝑎2,𝑎3,…,𝑎𝑛,…
SUCCESSIONI CONVERGENTI, DIVERGENTI, IRREGOLARI
lim
𝑛→+∞𝑎𝑛={𝑙∈ℝ→𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
±∞→𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒→ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 è 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒
ESEMPIO DI SUCCESSIONE CONVERGENTE
(1
𝑛)=1,1
2,1
3,1
4, … ,1
𝑛, …
La successione converge verso il valore 0
ESEMPIO DI SUCCESSIONE DIVERGENTE
(𝑛2)= 0,1,4, … , 𝑛2,…
La successione diverge a +∞
ESEMPIO DI SUCCESSIONE IRREGOLARE
(−1)𝑛= 1, −1,1, −1,1,−1, …
La successione è irregolare: non converge ad alcun valore né diverge
PROPRIETA’ DELLE SUCCESSIONI
• Se esiste 𝑓:ℝ→ℝ tale che 𝑓(𝑛)=𝑎𝑛 allora lim
𝑛→+∞𝑎𝑛= lim
𝑥→+∞𝑓(𝑥)
• Se 𝑎𝑛 è monotona (o è solo crescente o è solo decrescente) allora 𝑎𝑛 non ammette
limite; in particolare se 𝑎𝑛 è monotona e limitata allora 𝑎𝑛 è convergente.
ALCUNI LIMITI DI SUCCESSIONI
Sia 𝑛! il fattoriale e cioè 𝑛!=𝑛(𝑛−1)∙…∙2∙1
Allora lim
𝑛→+∞𝑛!=+∞ e di conseguenza lim
𝑛→+∞𝑛𝑛=+∞
