Scarica Limiti e successioni numeriche e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!
SUCCESSIONI NUMERICHE
DEF
:
f
:
IN
→ IR
f
n -
an
termine
generale
n
esimo della successione
}
indice
/posto
della
successione
RAPPRESENTAZIONI SUCCESSIONE di FIBONACCI
{ Un
}
{ Qo ,
Q
, ,
... .
, 0in
}
'
{ itsi È
'
_. - -
PER ENUMERATORE
{
a.
Q
,
= I
{
È /
MENO
}
ANALITICA
a n
=
Un-
i
In
{
È ;
an.
,
CON FORMULA ricorsiva
PROPRIETÀ → la successione
è
°
MONOTONA
CRESCENTE
se
qui
un
YNEIN
°
MONOTONA DECRESCENTE
se
un -1 ,
an fu
C- IN
°
COSTANTE
se
un
an tu
C- IN
°
LIMITATA SUPERIORMENTE se ] MEIR
/
un
EM In
C- IN
°
LIMITATA INFERIORMENTE
se 3- MEIR
/an
Zur
KEIN
LIMITATA se
valgono
le
precedenti
ILLIMITATA in caso
contrario
I
LIMITI DI SUCCESSIONI
il
dominio
di una successione
permette
un
solo
PUNTO
di
ACCUMULAZIONE
liman è
l' unico che ha senso calcolare
f-
l
)
it
}
}u{
o
}
+ o
a
seconda del risultato si classificano
le
successioni
UNICITÀ
DEL
LIMITE
linn
an
=L
,
liman-lali.la
n - > + ao n - sto
E
o
3-
no
/
tu
no
> /
an
E limite finito
PERMANENZA
DEL SEGNO
l > o
un
> o definitivamente
e- "
" "
" E
' → successione "" """
regolari
e..
a.
< o
"
un > o definitivamente
K
o ]
no
/
tu
ho
=)
Qn I
K
limon
=
so
una
" no
n - sta
☐
SUCCESSIONI INDETERMINATE
/
OSCILLANTI CONFRONTO
an
bn
cn
tali che :
$
limon
n →
o
i fan
,
cn
convergono
allo stesso
limite l
SOITOSUCCESSIONE
"
un } Ethan }
/
in
di ✗
n
È
una successione
an
ottenuta
prendendo
solo alcuni
valori
di
n
{
bn
converge
ad l
se 3- line
an
ogni
sotto successione
an
ammette lo stesso
limite
tankian }
h - > +o fan}
divergere
-10 →
bn
divergere
(non
vale il contrario
)
{
bn } diverge
a - • → {
bn } diverge
a
X TE > o 3-
ho
C- IN / turno / an
l
, /
E e Ian
la
E an
fi
)
n
ll ,
la
=
/
l
,
an
-10in
la /
E
l
,
Quill,
ZE
l
,
=
la
bn =
f- 1)
zn
✗ E
o
fan}
→ l /
an
e
< E definitivamente e > o
per ipotesi
→
an
o definitivamente
se anzi definitivamente non
può
essere lco
E
> o
valgono
l
E canile
,
C- { <
cnli-E.si
ha definitivamente l
Qn Ebn EC
nelle
→ l
E < bull -
dati
{
un
}
e
{
bn
}
se
Ian/ Ibn
definitivamente
limitano Eagan
n-sta
se
¥ 12
bn
o
/
un
}
limitata
=)
limanbn-oh-i-ooant-oliyzan.io
lim
an
a
bn-sbn-s-ioon-s-iosiffn-e.IE?I'-II-=j-
antbn
→ aib
Anbu
→ Qb
Enzo
/
E)
= e
ein
n
. >
(
È
=L
E'
g-
butto
fine
/
E)
' "
e
Enzo
/
fan )
:c
an
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ama
o
loganbn-slogaban.asoan.at-ibn.ba
ftp.yaocen-OEnt-O
(
Itaca
)
e
É"÷
logo
a
o
Castignano
→ a
l'
+Y
a
e
+ o
b.
C >
0 CRITERIO del rapporto
lim
an
(
an
=
oeoc
n
+a
an
' E ✗ E
nb
logout
b >
o
bn
__
fan
è
Cim
Cim
(
È
)
+ ×
bn-i-limn-s-ooo.IT
bn
è
{
an
} ,
{
bn
}
bn
o se
II
o an
=
alba )
o
piccolo
o se
[-
t
an
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SOMMA
Era
.
f- ( × ) =L
fiyy
.
galen
GMEIR
lim
[
fcxigcx
)
]
= leur
o
LIMITE INFINITO
- SOLO una domina sull' altra determinando
il limite
\
SEGNO
OPPOSTO
forma
indeterminata
entrambe
=
stesso segno
segno
finale
prodotto
Era
.
[
(×
glx
l.mn 0
io forma indeterminata
POTENZA
= pm
tl < ' M =
→ o
finga
.
[
1- ( ×
]
"
=L
fiyy
.
[1-1×1]
>
O Elli mi
= - o
co
l > i m = -1 O → + co
l
i nn =
o → o
00°F
.
QUOZIENTE
l -1-
mio →
a
lim
✗ → ×
.
È
l'
mio
F. 1
. COMPOSTE
f.
= o
mi
=
f- (× ) 2-
=
gcx
1-
(Z )
continua in zo
e
= a mi-a F. 1 .
Effige
)
Zo
line f- ( ge
)
= f- (
za
o
FORME INDETERMINATE
§
a-
ao
o
ai Ó
es .
fingi
=
§
lim
/ ✗ + ' )
=
lim
=
}
RACCOLGO AFAITOR COMUNE
.
)
semplifica
es.
lim
2x
=
°
n°
Cim -2x}+
=
line
✗ (
È )
RACCOLGO L' INCOGNITA di GRADO
MAGGIORE
×
☒
|
¥
,
solo
per
limiti che tendono a
LIMITI NOTEVOLI
FUNZIONI
GONIOMETRI
CHE
ftp.sirz-ilimi-Y#=0limi-cqsx-
=
; ✗
→ o ✗ → O
FUNZIONI
ESPONENZIALI
E
LOGARITMICHE
line
(
È =
e
fiyy
l¥
a
o
ftp.los#-H=logae
(
E)
✗
=
linn
Era e
=
' a
o
f.%
=
era
fica
= K
INFINITESIMI
f- (
×
)
è
INFINITESIMO
per
×
se
limi
f-
(x
=
o
a
CONFRONTO
Tra
INFINITESIMI
lim
fa)
×
.
¥
,
= o
f-
×
)
, GE
INFINITESIMI SIMULTANEI →
QUALE TENDE A 0
PIÙ
RAPIDAMENTE?
¥ 7
.
=L -1-0 =
infinitesimi dello STESSO ORDINE
fija
.
fa
è infinitesimo
di ordine superiore
a
gcx
fifa
=
o
( ×
è infinitesimo di ORDINE
INFERIORE a
g.
( ×)
fine
.
non esiste
infinitesimi
non confrontabili
fa
fine
.
%y
,
=L -1-0 fai è infinitesimo di ordine 8 rispetto
a
gcx
✗ > o
fuffa §y
=
I f- (×) e
gcx
sono EQUIVALENTI
/
ASINTOTICAMENTE UGUALI
INFINITI
f-
( x )
è
infinito
per
o
se
Effy
-11×1--1=00/
CONFRONTO TRA INFINITI
fini #
§
fa
)
, g
/
✗ I
INFINITI SIMULTANEI
o
g(
PIÙ RAPIDAMENTE?
¥ 7
.
§y
=
l -1-0 infiniti dello STESSO ORDINE
¥ 7
.
§Y
=
0 f-
(× )
è infinito
di ORDINE INFERIORE a
gas
¥ 7
. §_,
f-
(×
è infinito di ORDINE SUPERIORE a
gas
¥ 7
.
§Y
non
esiste infiniti
NON CONFRONTABILI
¥ 7
.
%¥_y
l = 0 1- ( ×
è infinito di ordine ✗
rispetto
a
ga
si > o
¥ 7
, §-
= I
f-
×
) e
gli
) sono
EQUIVALENTI
ASINTOTICAMENTE UGUALI
PRINCIPIO
di
SOSTITUZIONE EQUIVALENZE ASINTOTICHE
se esiste
il
limite del
rapporto
di due
es.
limi
✗ → o
=L Sin × si
comporta
come
quando
✗ → o
infinitesimi /
infiniti
SIMULTANEI
,
rimane
INVARIATO se si sostituisce ciascun
infinitesimo
con il suo
equivalente
f.
%
§,
=L
funge
) per
→ o
fnf
, line
×.
:*
:& :
g.
~
g ,
sin ✗ ~ ✗
i
~
{
×
'
tanxnx
è-
i
~ ✗ lnlix)
~ × (
i -1× 1 ×-
~ ✗ ×
f. ( × ,
~
g.
FA
7h
~
✗
l'
×
se esistono i
fi.az
'
fa /
×
gah
~÷%
e
fixing
,
A)
sono
uguali
.
f-
A)
~
gcx
) ✗ → ×
. ffcx
][ (
glx
]
"
PUNTI DI DISCONTINUITÀ
f- (
×
) non continua
in
o
lirn fcx
) # fa
.)
o
è
un
punto
di discontinuità
o
singolare
✗ → ✗ o
di
f-
(×
SPECIE
per
riconoscere
questi
punti deve
essere
possibile
se
valutare
linn f- ( ×
ossia che
o
sia PUNTO di
fini f-
(× )
=P
# fini f-
(
x )
=
la ✗ → ✗ o
✗ → ✗ a-
→ ✗ È
ACCUMULAZIONE
per
f-
(
×
)
/ la
,
/
è il SALTO della funzione
02
'
SPECIE
se
per
✗ o almeno uno dei limiti destro o
sinistro
di
f- (×
È
INFINITO O NON ESISTE
se
limi f- (x ) =L e
non
è definita
in ✗
o
offro)
+ l
✗ o
