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FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Prof. F. Bottacin, B. Chiarellotto 4 o^ Appello — 13 febbraio 2012
Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R^4 si considerino i seguenti sottospazi: V , generato dai vettori v 1 = (2, − 1 , 0 , 1), v 2 = (0, 2 , 3 , −1) e v 3 = (t, 0 , 3 , 1); W , generato dai vettori w 1 = (1, 0 , 2 , −1), w 2 = (− 1 , 2 , 0 , 3); U , di equazione x 1 + x 2 + x 3 = 0.
(a) Si determini la dimensione di V , al variare di t ∈ R. (b) E vero cheU ⊕ W = R^4? Perch´e? In caso di risposta negativa si determini un sottospazio U ′^ di U tale che U ′^ ⊕ W = R^4. (c) Per t = 0, si trovi una base di V ∩ W. (d) E possibile trovare un altro sottospazio U ′′^ ⊂ U tale che U ′^ ∩ U ′′^ = { 0 } e U ′′^ ⊕ W = R^4?
Esercizio 2. Sia f : R^4 → R^3 la funzione lineare di matrice (rispetto alle basi canoniche)
A =
Sia g : R^3 → R^4 la funzione lineare tale che g(1, 1 , 0) = (1, 4 , − 1 , 0), g(0, 1 , 1) = (− 1 , − 3 , 1 , 2) e g(1, − 1 , 0) = (1, 4 , − 1 , −2).
(a) Si determini la matrice di g rispetto alle basi canoniche. (b) Si determini la matrice della funzione composta G = f ◦ g : R^3 → R^3 (rispetto alle basi canoniche) e si stabilisca se G e iniettiva. (c) Si determinino gli autovalori e gli autovettori di G e si stabilisca se Ge diagonalizzabile. (d) Si dimostri che per ogni funzione f : R^4 → R^3 e per ogni funzione g : R^3 → R^4 , la funzione composta F = g ◦ f : R^4 → R^4 ha sempre un autovalore nullo.
Esercizio 3. Nello spazio vettoriale euclideo R^4 , dotato del prodotto scalare usuale, si considerino i vettori u = (3, − 2 , 1 , −2) e w = (1, − 1 , 0 , 1).
(a) Si determini la proiezione ortogonale del vettore u sul sottospazio di equazione x 1 +2x 2 −x 3 +x 4 = 0. (b) Si determini l’equazione di un sottospazio W , di dimensione 3, tale che il vettore w sia la proiezione ortogonale di u su W. Si determini inoltre una base ortogonale {w 1 , w 2 , w 3 } di W , tale che w 1 = w. (c) Sia f : R^4 → R^4 la funzione lineare definita da f (v) = (v · u)w + (v · w)u. Si determini una base del nucleo e una base dell’immagine di f. (d) Siano U 1 e U 2 i sottospazi generati, rispettivamente, da u 1 = (0, 0 , 1 , 0) e u 2 = (0, 1 , 0 , 1). Indichiamo con p 1 e p 2 le proiezioni ortogonali su U 1 e U 2. Si determini l’insieme F di tutti i vettori v ∈ R^4 tali che ‖p 1 (v)‖ = ‖p 2 (v)‖ e si dica se F `e un sottospazio vettoriale di R^4.
Esercizio 4. Nello spazio euclideo tridimensionale si consideri il fascio di piani
F : x + (t − 1)y + 2tz = t + 1, t ∈ R. (a) Si determini l’equazione cartesiana del piano π del fascio F passante per il punto P = (1, − 2 , 1). (b) Si determini l’equazione cartesiana del piano σ del fascio F che forma un angolo retto col piano π.
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Prof. F. Bottacin, B. Chiarellotto 4 o^ Appello — 13 febbraio 2012
Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R^4 si considerino i seguenti sottospazi: V , generato dai vettori v 1 = (1, 3 , − 2 , 0), v 2 = (2, 0 , − 1 , 1) e v 3 = (4, 6 , t, 1); W , generato dai vettori w 1 = (2, − 1 , 1 , 0), w 2 = (− 1 , 1 , 0 , 1); U , di equazione x 1 − x 2 + x 4 = 0.
(a) Si determini la dimensione di V , al variare di t ∈ R. (b) E vero cheU ⊕ W = R^4? Perch´e? In caso di risposta negativa si determini un sottospazio U ′^ di U tale che U ′^ ⊕ W = R^4. (c) Per t = 0, si trovi una base di V ∩ W. (d) E possibile trovare un altro sottospazio U ′′^ ⊂ U tale che U ′^ ∩ U ′′^ = { 0 } e U ′′^ ⊕ W = R^4?
Esercizio 2. Sia f : R^4 → R^3 la funzione lineare di matrice (rispetto alle basi canoniche)
A =
Sia g : R^3 → R^4 la funzione lineare tale che g(1, 0 , 1) = (1, 2 , 1 , 1), g(0, 1 , 1) = (1, 0 , 2 , 3) e g(1, 0 , −1) = (1, 2 , − 1 , −3).
(a) Si determini la matrice di g rispetto alle basi canoniche. (b) Si determini la matrice della funzione composta G = f ◦ g : R^3 → R^3 (rispetto alle basi canoniche) e si stabilisca se G e iniettiva. (c) Si determinino gli autovalori e gli autovettori di G e si stabilisca se Ge diagonalizzabile. (d) Si dimostri che per ogni funzione f : R^4 → R^3 e per ogni funzione g : R^3 → R^4 , la funzione composta F = g ◦ f : R^4 → R^4 ha sempre un autovalore nullo.
Esercizio 3. Nello spazio vettoriale euclideo R^4 , dotato del prodotto scalare usuale, si considerino i vettori u = (2, 2 , − 3 , 2) e w = (1, − 1 , − 2 , 0).
(a) Si determini la proiezione ortogonale del vettore u sul sottospazio di equazione x 1 −x 2 +2x 3 +x 4 = 0. (b) Si determini l’equazione di un sottospazio W , di dimensione 3, tale che il vettore w sia la proiezione ortogonale di u su W. Si determini inoltre una base ortogonale {w 1 , w 2 , w 3 } di W , tale che w 1 = w. (c) Sia f : R^4 → R^4 la funzione lineare definita da f (v) = (v · u)w + (v · w)u. Si determini una base del nucleo e una base dell’immagine di f. (d) Siano U 1 e U 2 i sottospazi generati, rispettivamente, da u 1 = (0, 1 , 0 , 0) e u 2 = (1, 0 , 0 , 1). Indichiamo con p 1 e p 2 le proiezioni ortogonali su U 1 e U 2. Si determini l’insieme F di tutti i vettori v ∈ R^4 tali che ‖p 1 (v)‖ = ‖p 2 (v)‖ e si dica se F `e un sottospazio vettoriale di R^4.
Esercizio 4. Nello spazio euclideo tridimensionale si consideri il fascio di piani
F : tx − 2 y + (t + 1)z = t − 1 , t ∈ R. (a) Si determini l’equazione cartesiana del piano π del fascio F passante per il punto P = (1, 1 , −1). (b) Si determini l’equazione cartesiana del piano σ del fascio F che forma un angolo retto col piano π.
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Prof. F. Bottacin, B. Chiarellotto 4 o^ Appello — 13 febbraio 2012
Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R^4 si considerino i seguenti sottospazi: V , generato dai vettori v 1 = (2, − 1 , 0 , 1), v 2 = (− 1 , 1 , 3 , 0) e v 3 = (t, − 1 , 3 , 2); W , generato dai vettori w 1 = (0, 2 , 3 , −1), w 2 = (1, − 1 , 0 , 2); U , di equazione x 1 − x 3 + x 4 = 0.
(a) Si determini la dimensione di V , al variare di t ∈ R. (b) E vero cheU ⊕ W = R^4? Perch´e? In caso di risposta negativa si determini un sottospazio U ′^ di U tale che U ′^ ⊕ W = R^4. (c) Per t = 0, si trovi una base di V ∩ W. (d) E possibile trovare un altro sottospazio U ′′^ ⊂ U tale che U ′^ ∩ U ′′^ = { 0 } e U ′′^ ⊕ W = R^4?
Esercizio 2. Sia f : R^4 → R^3 la funzione lineare di matrice (rispetto alle basi canoniche)
A =
Sia g : R^3 → R^4 la funzione lineare tale che g(1, 1 , 0) = (2, 3 , − 1 , 3), g(1, 0 , 1) = (3, 1 , 2 , 1) e g(1, 0 , −1) = (1, 1 , − 2 , 1).
(a) Si determini la matrice di g rispetto alle basi canoniche. (b) Si determini la matrice della funzione composta G = f ◦ g : R^3 → R^3 (rispetto alle basi canoniche) e si stabilisca se G e iniettiva. (c) Si determinino gli autovalori e gli autovettori di G e si stabilisca se Ge diagonalizzabile. (d) Si dimostri che per ogni funzione f : R^4 → R^3 e per ogni funzione g : R^3 → R^4 , la funzione composta F = g ◦ f : R^4 → R^4 ha sempre un autovalore nullo.
Esercizio 3. Nello spazio vettoriale euclideo R^4 , dotato del prodotto scalare usuale, si considerino i vettori u = (4, 0 , 2 , −1) e w = (1, 1 , 0 , −2).
(a) Si determini la proiezione ortogonale del vettore u sul sottospazio di equazione x 1 −x 2 +x 3 − 2 x 4 = 0. (b) Si determini l’equazione di un sottospazio W , di dimensione 3, tale che il vettore w sia la proiezione ortogonale di u su W. Si determini inoltre una base ortogonale {w 1 , w 2 , w 3 } di W , tale che w 1 = w. (c) Sia f : R^4 → R^4 la funzione lineare definita da f (v) = (v · u)w + (v · w)u. Si determini una base del nucleo e una base dell’immagine di f. (d) Siano U 1 e U 2 i sottospazi generati, rispettivamente, da u 1 = (1, 0 , 0 , 0) e u 2 = (0, 1 , 0 , −1). Indi- chiamo con p 1 e p 2 le proiezioni ortogonali su U 1 e U 2. Si determini l’insieme F di tutti i vettori v ∈ R^4 tali che ‖p 1 (v)‖ = ‖p 2 (v)‖ e si dica se F `e un sottospazio vettoriale di R^4.
Esercizio 4. Nello spazio euclideo tridimensionale si consideri il fascio di piani
F : (t + 1)x − y + (t − 1)z = t, t ∈ R. (a) Si determini l’equazione cartesiana del piano π del fascio F passante per il punto P = (1, − 2 , 1). (b) Si determini l’equazione cartesiana del piano σ del fascio F che forma un angolo retto col piano π.
